|
[[ImageBerkas:EulerIdentity2.svg |rightka|150px]]
{{E (konstanta matematika)}}
Dalam [[analisis matematika]], '''Identitas Euler''' adalah persamaan
'''Identitas Euler'''{{#tag:ref | Istilah "identitas Euler" juga digunakan untuk merujuk pada konsep lain, termasuk fungsi umum {{math|e<sup>''ix''</sup> {{=}} cos ''x'' + ''i'' sin ''x''}},<ref>Dunham, 1999, [https://books.google.com/books?id=uKOVNvGOkhQC&pg=PR24 p. xxiv].</ref> dan [[Fungsi_zeta_Riemann#Identitas darab Euler|Identitas darab Euler]].<ref name=EOM>{{cite encyclopedia | last=Stepanov | first=S. A. | encyclopedia=[[Encyclopedia of Mathematics]] | title=Euler identity | publisher= | url=http://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=Euler_identity&oldid=11612 | date=7 February 2011 | accessdate=18 February 2014}}</ref> | group=n}} ({{Lang-en|Euler's identity}}), juga dikenal sebagai '''persamaan Euler''' ({{Lang-en|Euler's equation}}), dalam [[analisis matematika]], adalah suatu [[persamaan]] yang dirumuskan sebagai:
:<math>e^{i \pi} + 1 = 0, \,\!</math>
di mana <math>e\,\!</math> adalah [[E (konstanta matematika)|bilangan Euler]], <math>i\,\!</math> adalah [[unit imajiner]] dan <math>\pi\,\!</math> adalah [[pi]] (atau [[konstanta Archimedes]]).
dimana persamaan tersebut menunjukkan hubungan yang erat antar kelima bilangan paling penting dalam matematika, yaitu:
:<math>0\,\!</math> adalah identitas penjumlahan,
:<math>1\,\!</math> adalah identitas perkalian,
:<math>e\,\!</math> adalah [[E (konstanta matematika)|bilangan Euler]], basis logaritma natural, yang nilainya adalah mendekati 2.71828182845905,
:<math>i\,\!</math> adalah [[unit imajiner]], salah satu dari dua [[bilangan kompleks]] yang kuadratnya negatif satu (bilangan yang satu lagi adalah <math>-i\,\!</math>), dan
:<math>\pi\,\!</math> adalah [[Pi]], [[rasio]] perbandingan antara keliling lingkaran dengan diameternya, yang nilainya adalah mendekati 3.14159265358979.
== Analisis ==
Identitas Euler dinamakan untuk mengenang ahli matematika [[Leonhard Euler]].
[[Berkas:Euler's formula.svg|jmpl|ka|250px|Rumus Euler untuk suatu sudut umum]]{{Tanpa referensi|date=November 2021}}
<!--
Persamaan tersebut menunjukkan hubungan yang erat antar kelima bilangan paling penting dalam matematika, yaitu:
* <math>0\,\!</math> adalah [[0 (angka)|identitas penambahan]],
* <math>1\,\!</math> adalah [[1 (angka)|identitas perkalian]],
* <math>e\,\!</math> adalah [[E (konstanta matematika)|bilangan Euler]], basis logaritma natural, yang nilainya ≈ 2.718281828459045,
* <math>i\,\!</math> adalah [[unit imajiner]], salah satu dari dua [[bilangan kompleks]] yang kuadratnya negatif satu (bilangan yang satu lagi adalah <math>-i\,\!</math>), dan
* <math>\pi\,\!</math> adalah [[pi]], [[rasio]] perbandingan antara keliling lingkaran dengan diameternya, yang nilainya ≈ 3.141592653589793.
Perhatikan juga bahwa dalam persamaan tersebut terdapat operasi dasar [[aritmetika]] yaitu [[penambahan]], [[perkalian]], dan [[perpangkatan]], dan masing-masing muncul tepat satu kali.
Identitas Euler dinamakan untuk mengenang ahli matematika [[Leonhard Euler]].
==Perceptions of the identity==
Euler's identity is remarkable for its [[mathematical beauty]]. Three basic [[arithmetic]] functions are present exactly once: [[addition]], [[multiplication]], and [[exponentiation]]. As well, the identity links five fundamental [[mathematical constant]]s:
* The [[0 (number)|number 0]].
* The [[1 (number)|number 1]].
* The [[pi|number ''π'']], which is ubiquitous in [[trigonometry]], [[Euclidean geometry]], and [[mathematical analysis]].
* The [[e (number)|number ''e'']], the base of [[natural logarithms]], which occurs widely in [[mathematical analysis]].
* The [[i (number)|number ''i'']], [[imaginary unit]] of the [[complex number]]s, which contain the roots of all nonconstant polynomials and lead to deeper insight into many operators, such as [[Integral|integration]].
Secara geometris persamaan ini dapat dibayangkan sebagai [[rotasi]] titik <math>(1,0)</math> pada [[bidang kompleks]] sebesar [[180°]] (<math>\pi</math> [[radian]]), dilanjutkan dengan [[translasi]] sebesar <math> 1 </math> searah sumbu <math> x </math>. Deretan [[transformasi]] tersebut tiba pada [[titik asal]] <math> (0, 0) </math>.
Furthermore, in mathematical analysis, equations are commonly written with zero on one side.
== Bukti ==
A reader poll conducted by ''Physics World'' in 2004 named Euler's identity the "greatest equation ever", together with [[Maxwell's equations]].
Identitas Euler dapat dibuktikan menggunakan [[rumus Euler]], yaitu:
Constance Reid even claimed that Euler's identity was "the most famous formula in all mathematics".
After proving the identity in a lecture, [[Benjamin Peirce]], a noted [[nineteenth century]] [[mathematician]] and [[Harvard]] professor, said, "It is absolutely paradoxical; we cannot understand it, and we don't know what it means, but we have proved it, and therefore we know it must be the truth." <ref>Maor p.160 and Kasner & Newman p.103–104.</ref>
[[Carl Friedrich Gauss|Gauss]] is reported to have commented that if this formula were not immediately obvious, the reader would never be a first-class mathematician.<ref>Derbyshire.</ref>
==Derivation==
[[image:Euler's formula.svg|thumb|right|300px|Euler's formula for a general angle.]]
The identity is a special case of [[Euler's formula]] from [[complex analysis]], which states that
: <math>e^{ix} = \cos x + i \sin x \,\!</math>
dengan mensubtitusikan <math>x</math> dengan <math>\pi</math> didapat:
for any [[real number]] ''x''. In particular, if
: <math>x\begin{align} e^{i\pi} &= \cos \pi, + i \,sin \!pi \\ &= -1 + i \cdot 0 \\ &= -1 \end{align} </math>
sehingga dengan menambahkan kedua ruas dengan 1 diperoleh persamaan:
then
: <math>e^{i \pi} =+ \cos1 \pi= +0 i \sin \pi.\,\!</math>. Q.E.D.
== Lihat pula ==
Since
* [[Bilangan kompleks]]
:<math>\cos \pi = -1 \, \! </math>
== Catatan ==
<references group="n"/>
and
== Referensi ==
{{reflist}}
{{Leonhard Euler}}
:<math>\sin \pi = 0,\,\!</math>
{{Authority control}}
it follows that
: <math>e^{i \pi} = -1,\,\!</math>
which gives the identity
: <math>e^{i \pi} +1 = 0.\,\!</math>
==Notes==
<references />
==References==
* Crease, Robert P., "[http://physicsweb.org/articles/world/17/10/2 The greatest equations ever]", PhysicsWeb, October 2004.
* Derbyshire, J. <i>Prime Obsession: Bernhard Riemann and the Greatest Unsolved Problem in Mathematics</i> (New York: Penguin, 2004).
* Kasner, E., and Newman, J., ''Mathematics and the Imagination'' (Bell and Sons, 1949).
* Maor, Eli, ''e: The Story of a number'' (Princeton University Press, 1998), ISBN 0691058547
* Reid, Constance, ''From Zero to Infinity'' (Mathematical Association of America, various editions).
==See also==
* [[Exponential function]]
[[Category:Complex analysis]]
[[Category:Exponentials]]
[[Category:Mathematical identities]]
[[Category:Mathematical theorems]]
-->
[[Kategori:Identitas matematika]]
[[Kategori:Matematika]]
[[pl:Wzór Eulera#Tożsamość Eulera]]
[[ca:Identitat d'Euler]]
[[de:Eulersche Identität]]
[[en:Euler's identity]]
[[es:Identidad de Euler]]
[[fr:Identité d'Euler]]
[[he:זהות אוילר]]
[[it:Identità di Eulero]]
[[ja:オイラーの等式]]
[[ko:오일러의 등식]]
[[nl:Formule van Euler]]
[[pt:Identidade de Euler]]
[[sl:Eulerjeva enačba]]
[[sr:Ојлеров идентитет]]
[[th:เอกลักษณ์ของออยเลอร์]]
[[zh:歐拉恆等式]]
| 