Rumus Vieta: Perbedaan antara revisi

Jelajahi riwayat secara interaktif

Konten dihapus Konten ditambahkan

VisualTeks wiki

Revisi per 14 Agustus 2020 08.35 sunting Darhnh (bicara \| kontrib) 196 suntingan ←Membuat halaman berisi Tag: tanpa kategori [ * ] VisualEditor		Revisi terkini sejak 19 Agustus 2024 06.53 sunting balikkan The Winter Lettuce (bicara \| kontrib) 93 suntingan Memperbaharui halaman "Teorema Vieta" Tag: Suntingan visualeditor-wikitext
(37 revisi perantara oleh 20 pengguna tidak ditampilkan)
Baris 1: {{Short description\|Hubungan antara koefisien dan akar dari suatu polinomial}} Dalam [[matematika]],'''Rumus''' '''Vieta''' adalah [[rumus]] antara [[koefisien]] pada [[polinomial]] bersama angka dan hasil nilai [[Akar fungsi\|akarnya]]. Ditemukan oleh [[François Viète]] rumus tersebut digunakan secara khusus dalam [[aljabar]]. [[Berkas:Francois Viete.jpeg\|jmpl\|[[François Viète]] matematikawan asal Prancis berhasil menemukan Rumus Vieta<ref>{{time interval\|1591\|show=ymd\|sep=,}}</ref>]] Dalam [[matematika]], '''rumus Vieta''' atau '''teorema Vieta''' adalah sekumpulan [[rumus]] yang menghubungkan antara [[koefisien]] pada [[polinomial]] dengan hasil penjumlahan dan perkalian dari nilai [[Akar fungsi\|akar-akarnya]]. Rumus ini dinamai dari [[François Viète]] (yang lebih sering dirujuk dengan nama latinnya, yaitu "Franciscus Vieta"). == Rumus ~~utama~~dasar == Misalkan <math>n \in \mathbb{N}</math> dan <math>a_n \neq 0</math>. Menurut [[teorema dasar aljabar]], maka setiap polinomial yang [[Derajat polinomial\|berderajat]] <math>n</math> dengan koefisien [[bilangan riil]] ~~Untuk nilai polinomial dengan hasil ''n''~~ <math display="block">P(x) = a_n x^n + a_{n - 1} x^{n - 1} + a_{n - 2} x^{n - 2} + \, \ldots \, + a_1 x + a_0</math> dapat dinyatakan sebagai <math display="block">P(x) = a_n \left( x - x_1 \right) \left( x - x_2 \right) \left( x - x_3 \right) \ldots \left( x - x_n \right)</math> dengan <math>x_1, \, x_2, \, \ldots, \, x_n</math> merupakan [[bilangan kompleks\|bilangan-bilangan kompleks]] yang tidak harus berbeda. Rumus-rumus Vieta menghubungkan koefisien polinomial dengan jumlahan dari hasil kali akar <math>x_1, \, x_2, \, \ldots, \, x_n</math> sebagai berikut: <math display="block">\begin{align} - \dfrac{a_{n - 1}}{a_n} &= x_1 + x_2 + \ldots + x_{n - 1} + x_n \\ \dfrac{a_{n - 2}}{a_n} &= x_1 x_2 + x_1 x_3 + \cdots + x_1 x_n \\ &\phantom{=} + x_2 x_3 + x_2 x_4 + \cdots + x_2 x_n + \cdots + x_{n - 1} x_n \\ &\phantom{=} \vdots \\ \left( -1 \right)^n \dfrac{a_0}{a_n} &= x_1 x_2 x_3 \cdot \ldots \cdot x_n \end{align}</math> Dengan menggunakan [[notasi Sigma]] dan notasi Pi kapital, maka rumus-rumus Vieta dapat juga ditulis sebagai <math display="block">\begin{align} - \dfrac{a_{n - 1}}{a_n} &= \sum_{i \, = \, 1}^n x_i \\ \dfrac{a_{n - 2}}{a_n} &= \sum_{1 \leq i < j \leq n} x_i x_j \\ &= \sum_{1 \leq i_1 < i_2 \leq n} \left( \prod_{j \, = \, 1}^2 x_{i_j} \right) \\ - \dfrac{a_{n - 3}}{a_n} &= \sum_{1 \leq i < j < k \leq n} x_i x_j x_k \\ &= \sum_{1 \leq i_1 < i_2 < i_3 \leq n} \left( \prod_{j \, = \, 1}^3 x_{i_j} \right) \\ &\vdots \\ \left( -1 \right)^k \dfrac{a_{n - k}}{a_n} &= \sum_{1 \leq i_1 < i_2 < \ldots < i_k \leq n} \left( \prod_{j \, = \, 1}^k x_{i_j} \right) \\ &\vdots \\ \left( -1 \right)^n \dfrac{a_0}{a_n} &= \prod_{j \, = \, 1}^n x_j \end{align}</math> Perhatikan bahwa <math>i_1</math> sampai dengan <math>i_k</math> diurutkan dengan urutan naik agar menjamin setiap hasil kali dari <math>k</math> akar digunakan tepat satu kali. [[Ruas dari suatu persamaan\|Ruas kanan]] dari rumus Vieta disebut sebagai [[polinomial simetri elementer]] dalam <math>n</math> variabel. ~~<math>P(x)=a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} +\cdots + a_1 x+ a_0</math>~~ == Perumuman gelanggang == Rumus tersebut bersama [[ Teorema dasar aljabar\|teorema fundamental aljabar]] hanya memiliki nila {{Math\|''n''}} berbeda dengan akar kompleks {{Math\|''r''<sub>1</sub>, ''r''<sub>2</sub>, ..., ''r''<sub>''n''</sub>}} . Rumus Vieta menghubungkan koefisien polinomial dengan jumlah yang ditandatangani dari produk akar {{Math\|''r''<sub>1</sub>, ''r''<sub>2</sub>, ..., ''r''<sub>''n''</sub>}} sebagai berikut: Rumus Vieta sering digunakan pada polinomial dengan koefisien pada suatu [[ranah integral]] <math>R</math>. Maka, hasil bagi <math>\dfrac{a_i}{a_n}</math> akan termuat pada [[lapangan pecahan]] dari <math>R</math> (dan mungkin saja pada <math>R</math> itu sendiri, jika <math>a_n</math> merupakan [[unit (teori gelanggang)\|elemen unit]] pada <math>R</math>) dan akarnya <math>x_i</math> diambil pada perluasan [[lapangan yang tertutup secara aljabar]]. Biasanya, <math>R</math> merupakan [[Gelanggang (matematika)\|gelanggang]] [[bilangan bulat]], lapangan pecahannya merupakan [[Lapangan (matematika)\|lapangan]] [[bilangan rasional]], dan lapangan yang ditutup secara aljabarnya merupakan lapangan [[bilangan kompleks]]. Rumus-rumus Vieta sangatlah berguna, sebab rumus-rumus tersebut memberikan hubungan antar akar-akar dari suatu polinomial tanpa harus mencari nilai akar-akarnya. ~~<math>\begin{cases} r_1 + r_2 + \dots + r_{n-1} + r_n = -\dfrac{a_{n-1}}{a_n} \\~~ ~~(r_1 r_2 + r_1 r_3+\cdots + r_1 r_n) + (r_2r_3 + r_2r_4+\cdots + r_2r_n)+\cdots + r_{n-1}r_n = \dfrac{a_{n-2}}{a_{n}} \\~~ ~~{} \quad \vdots \\ r_1 r_2 \dots r_n = (-1)^n \dfrac{a_0}{a_n}. \end{cases}</math>~~ Untuk polinomial atas [[gelanggang komutatif]] yang bukan merupakan ranah integral, rumus Vieta hanya berlaku ketika <math>a_n</math> bukan merupakan [[pembagi nol]] dan <math>P(x)</math> dapat difaktorkan menjadi <math>a_n \left( x - x_1 \right) \left( x - x_2 \right) \cdot \ldots \cdot \left( x - x_n \right)</math>. Sebagai contoh, [[fungsi kuadrat]] ~~Rumus Vieta dapat dibuat secara ekuivalen sebagai~~ <math display="block">P(x) = x^2 - 1</math> memiliki empat akar dalam gelanggang bilangan bulat [[Aritmetika modular\|modulo]] 8, yaitu 1, 3, 5, dan 7. Rumus-rumus Vieta akan bernilai salah jika dipilih <math>x_1 = 1</math> dan <math>x_2 = 3</math>, sebab <math>P(x) \neq \left( x - 1 \right) \left( x - 3 \right)</math>. Akan tetapi, <math>P(x)</math> dapat difaktorkan menjadi <math>\left( x - 1 \right) \left( x - 7 \right)</math> atau <math>\left( x - 3 \right) \left( x - 5 \right)</math>, dan rumus-rumus Vieta akan berlaku apabila dipilih <math>\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 7 \end{bmatrix}</math> atau <math>\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 \\ 5 \end{bmatrix}</math>. == Contoh == ~~<math>\sum_{1\le i_1 < i_2 < \cdots < i_k\le n} \left(\prod_{j = 1}^k r_{i_j}\right)=(-1)^k\frac{a_{n-k}}{a_n},</math>~~ Rumus Vieta saat diterapkan pada [[fungsi kuadrat\|polinomial kuadrat]] dan [[fungsi kubik\|kubik]]: Akar-akar <math>x_1</math> dan <math>x_2</math> dari polinomial kuadrat <math>P(x) = ax^2 + bx + c</math> akan memenuhi persamaan <math display="block">\begin{align} x_1 + x_2 &= - \dfrac{b}{a} \\ x_1 x_2 &= \dfrac{c}{a} \end{align}</math> Persamaan pertama dapat digunakan untuk mencari nilai minimum (atau maksimum) dari fungsi <math>P</math>; lihat {{slink\|Persamaan kuadrat\|Rumus-rumus Vieta}}. Akar-akar <math>x_1</math>, <math>x_2</math> dan <math>x_3</math> dari polinomial kubik <math>P(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d</math> akan memenuhi persamaan <math display="block">\begin{align} r_1 + r_2 + r_3 &= -\frac{b}{a} \\ r_1 r_2 + r_1 r_3 + r_2 r_3 &= \frac{c}{a} \\ r_1 r_2 r_3 &= -\frac{d}{a} \end{align}</math> == Bukti == === Bukti langsung === Menurut [[teorema dasar aljabar]], jika <math>x_1, \, x_2, \, \ldots, \, x_n</math> merupakan akar-akar dari polinomial <math display="block">P(x) = a_n x^n + a_{n - 1} x^{n - 1} + \cdots + a_1 x + a_0</math> maka <math>P(x)</math> dapat dinyatakan sebagai <math display="block">P(x) = a_n \left( x - x_1 \right) \left( x - x_2 \right) \cdot \ldots \cdot \left( x - x_n \right)</math> Akibatnya, diperoleh persamaan <math display="block">a_n x^n + a_{n - 1} x^{n - 1} + \cdots + a_1 x + a_0 = a_n \left( x - x_1 \right) \left( x - x_2 \right) \cdot \ldots \cdot \left( x - x_n \right)</math> Rumus Vieta dapat [[Pembuktian matematika\|dibuktikan]] dengan menjabarkan ekspresi di ruas kanan, dan membandingkan koefisien dari masing-masing pangkat dari <math>x</math>. Secara formal, jika ekspresi <math>\left( x - x_1 \right) \left( x - x_2 \right) \cdot \ldots \cdot \left( x - x_n \right)</math> dijabarkan, maka terdapat tepat <math>n</math> pilihan biner pada setiap suku (ikutkan <math>x</math> atau <math>- x_i</math>). Jika <math>k</math> pilihan digunakan untuk memilih <math>x</math> sebagai faktor pada suku hasil penjabarannya, maka sisa <math>n - k</math> faktor lainnya haruslah <math>- x_i</math>. Akibatnya, suku yang diperoleh memiliki bentuk umum <math>\left( -1 \right)^{n - k} \left( x_1 \right)^{b_1} \left( x_2 \right)^{b_2} \cdot \ldots \cdot \left( r_n \right)^{b_n} x^k</math>, dengan <math>b_i</math> bernilai 0 atau 1, tergantung apakah <math>r_i</math> menjadi bagian dari hasil kali atau tidak. Secara geometris, hal ini dapat diartikan sebagai simpul dari suatu hiperkubus. Pengelompokkan suku-suku yang sama berdasarkan derajat <math>x</math> nya akan menghasilkan polinomial simetris elementer dalam <math>x_i</math>. === Induksi matematika === Rumus-rumus Vieta juga dapat dibuktikan menggunakan [[Induksi matematika\|induksi]] sebagai berikut. ==== Hipotesis ==== Misalkan # <math>P(x)</math> adalah polinomial berderajat <math>n</math> # <math>P(x)</math> memiliki akar-akar kompleks <math>\left\{ x_1, \, x_2, \, \ldots, \, x_n \right\}</math> # <math>P(x)</math> memiliki koefisien kompleks <math>\left\{ a_0, \, a_1, \, a_2, \, \ldots, \, a_n \right\}</math>, dengan <math>a_n \neq 0</math> maka <math display="block">P(x) = a_n x^n + a_{n - 1} x^{n - 1} + \ldots + a_1 x + a_0 = a_n \left( x^n - \left( x_1 + x_2 + \ldots + x_n \right) x^{n - 1} + \, \ldots \, + \left( -1 \right)^n x_1 x_2 \cdot \ldots \cdot x_n \right)</math> ==== Kasus dasar (n = 2) ==== Menurut teorema dasar aljabar, maka diperoleh persamaan <math display="block">a_2 x^2 + a_1 x + a_0 = a_2 \left( x - x_1 \right) \left( x - x_2 \right)</math> Dengan menggunakan [[sifat distributif]], diperoleh <math display="block">\begin{align} a_2 x^2 + a_1 x + a_0 &= a_2 \left( x - x_1 \right) \left( x - x_2 \right) \\ &= a_2 \left( x - x_1 x - x_2 x + x_1 x_2 \right) \\ &= a_2 \left( x - \left( x_1 + x_2 \right) x + x_1 x_2 \right) \end{align}</math> sehingga kasus dasar terbukti. ==== Langkah induksi ==== Diasumsikan hipotesisnya bernilai benar untuk suatu nilai <math>n = k</math>, dengan <math>k \geq 2</math>. Akan diperiksa kebenaran hipotesis untuk <math>n = k + 1</math>. <math display="block">P(x) = a_{n + 1} x^{n + 1} + a_n x^n + a_{n - 1} x^{n - 1} + \ldots + a_1 x + a_0</math> Berdasarkan [[teorema faktor]], maka <math>\left( x - x_{n + 1} \right)</math> dapat difaktorkan dari <math>P(x)</math>, dengan sisa bagi 0. Hal ini mengakibatkan <math display="block">\begin{align} P(x) &= a_{n + 1} x^{n + 1} + a_n x^n + a_{n - 1} x^{n - 1} + \ldots + a_1 x + a_0 \\ &= a_{n + 1} \left( x^{n + 1} + \dfrac{a_n}{a_{n + 1}} x^n + \dfrac{a_{n - 1}}{a_{n + 1}} x^{n - 1} + \ldots + \dfrac{a_1}{a_{n + 1}} x + \dfrac{a_0}{a_{n + 1}} \right) \\ &= a_{n + 1} \left( x - x_{n + 1} \right) \cdot \dfrac{x^{n + 1} + \tfrac{a_n}{a_{n + 1}} x^n + \tfrac{a_{n - 1}}{a_{n + 1}} x^{n - 1} + \ldots + \tfrac{a_1}{a_{n + 1}} x + \tfrac{a_0}{a_{n + 1}}}{x - x_{n + 1}} \\ &= a_{n + 1} \left( x - x_{n + 1} \right) \left( x^n + c_{n - 1} x^{n - 1} + \, \ldots \, + c_1 x + c_0 \right) \\ &= a_{n + 1} \left( x - x_{n + 1} \right) \left( x^n - \left( x_1 + x_2 + \ldots + x_n \right) x^{n - 1} + \, \ldots \, + \left( -1 \right)^n x_1 x_2 \cdot \ldots \cdot x_n \right) \\ &= a_{n + 1} \left( x \left( x^n - \left( x_1 + x_2 + \ldots + x_n \right) x^{n - 1} + \, \ldots \, + \left( -1 \right)^n x_1 x_2 \cdot \ldots \cdot x_n \right) \right. \\ &\phantom{= a_{n + 1}} \left. - x_{n + 1} \left( x^n - \left( x_1 + x_2 + \ldots + x_n \right) x^{n - 1} + \, \ldots \, + \left( -1 \right)^n x_1 x_2 \cdot \ldots \cdot x_n \right) \right) \\ &= a_{n + 1} \left( x^{n + 1} - \left( x_1 + x_2 + \ldots + x_n + x_{n + 1} \right) x^n + \ldots + \left( -1 \right)^{n + 1} x_1 x_2 \cdot \ldots \cdot x_n x_{n + 1} \right) \end{align}</math> ==== Kesimpulan ==== Oleh karena hipotesisnya bernilai benar untuk kasus <math>n = k + 1</math>, maka hipotesisnya bernilai benar untuk sembarang <math>n \in \mathbb{N} \setminus \left\{ 1 \right\}</math>. <math display="block">a_n x^n + a_{n - 1} x^{n - 1} + \ldots + a_1 x + a_0 = a_n \left( x^n - \left( x_1 + x_2 + \ldots + x_n \right) x^{n - 1} + \, \ldots \, + \left( -1 \right)^n x_1 x_2 \cdot \ldots \cdot x_n \right)</math> Dengan membagi kedua ruas dengan <math>x_n</math>, maka kebenaran rumus-rumus Vieta terbukti. == Sejarah == Sesuai dengan namanya, rumus-rumus ini ditemukan oleh [[matematikawan]] asal [[Prancis]] abad ke-16 [[François Viète]], untuk kasus akar positif. Menurut pendapat matematikawan asal [[Inggris]] abad ke-18 [[Charles Hutton]], seperti yang dikutip oleh Funkhouser,<ref>{{Harv\|Funkhouser\|1930}}</ref> prinsip utama (tidak hanya untuk akar riil positif) pertama kali dipahami oleh matematikawan Prancis abad ke-17 [[Albert Girard]]: <blockquote>...[Girard ialah] orang pertama yang memahami doktrin umum dari pembentukan koefisien pangkat dari jumlahan akar-akar beserta hasil kalinya. Dia adalah orang pertama yang menemukan aturan untuk menjumlahan perpangkatan akar-akar dari sembarang persamaan.</blockquote> == Lihat juga == {{Portal\|Matematika}} * [[Bagian primitif dan konten]] * [[Aturan tanda Descartes]] * [[Identitas Newton]] * [[Teorema Gauss-Lucas]] * [[Sifat geometris dari akar polinomial]] * [[Teorema akar rasional]] * [[Polinomial simetris]] dan [[polinomial simetri elementer]] == Referensi == {{Reflist}} * {{springer\|title=Teorema Viète\|id=p/v096630}} * {{Citation \| first = H. Gray \| last = Funkhouser \| authorlink = Howard G. Funkhouser \| title = A short account of the history of symmetric functions of roots of equations \| trans-title = Penjelasan singkat tentang sejarah fungsi simetris dari akar persamaan \| journal = American Mathematical Monthly \| year = 1930 \| volume = 37 \| issue = 7 \| pages = 357–365 \| doi = 10.2307/2299273 \| jstor = 2299273 \| publisher = Mathematical Association of America }} * {{Citation \| last = Vinberg \| first = E. B. \| authorlink = Ernest Vinberg \| title = A course in algebra \| trans-title = Kursus aljabar \| lang = en \| publisher = American Mathematical Society, Providence, R.I \| year = 2003 \| pages = \| isbn = 0-8218-3413-4}} * {{Citation \| last = Djukić \| first = Dušan \| title = The IMO compendium: a collection of problems suggested for the International Mathematical Olympiads, 1959–2004 \| trans-title = Ringkasan IMO: kumpulan masalah yang disarankan untuk Olimpiade Matematika Internasional, 1959–2004 \| lang = en \| publisher = Springer, New York, NY \| year = 2006 \| pages = \| isbn = 0-387-24299-6 \| display-authors = etal}} == Pranala luar == * {{Citation \| title = Vieta's Formula \| url = https://brilliant.org/wiki/vietas-formula \| trans-title = Rumus Vieta \| lang = en}} {{DEFAULTSORT:Viete's Formulas}} [[Kategori:Artikel yang memuat pembuktian]] [[Kategori:Polinomial]] [[Kategori:Aljabar elementer]]