Rumus Vieta: Perbedaan antara revisi

Jelajahi riwayat secara interaktif

← Revisi sebelumnya

Konten dihapus Konten ditambahkan

VisualTeks wiki

Revisi per 18 Agustus 2020 07.01 sunting 123569yuuift (bicara \| kontrib) 2.955 suntingan Tidak ada ringkasan suntingan Tag: Suntingan perangkat seluler Suntingan peramban seluler Suntingan seluler lanjutan ← Revisi sebelumnya		Revisi terkini sejak 19 Agustus 2024 06.53 sunting balikkan The Winter Lettuce (bicara \| kontrib) 93 suntingan Memperbaharui halaman "Teorema Vieta" Tag: Suntingan visualeditor-wikitext
(26 revisi perantara oleh 15 pengguna tidak ditampilkan)
Baris 1: {{Short description\|Hubungan antara koefisien dan akar dari suatu polinomial}} ~~{{noref}}~~ [[Berkas:Francois Viete.jpeg\|jmpl\|[[François Viète]] matematikawan asal Prancis berhasil menemukan Rumus Vieta<ref>{{time interval\|1591\|show=ymd\|sep=,}}</ref>]] ~~{{Dalam perbaikan}}~~ Dalam [[matematika]], '''rumus Vieta''' atau '''teorema Vieta''' adalah sekumpulan [[rumus]] yang menghubungkan antara [[koefisien]] pada [[polinomial]] dengan hasil penjumlahan dan perkalian dari nilai [[Akar fungsi\|akar-akarnya]]. Rumus ini dinamai dari [[François Viète]] (yang lebih sering dirujuk dengan nama latinnya, yaitu "Franciscus Vieta"). ~~{{nocat}}~~ == Rumus dasar == ~~[[Berkas:Francois Viete.jpeg\|jmpl\|[[François Viète]] matematikawan asal Prancis berhasil menemukan Rumus Vieta]]~~ Misalkan <math>n \in \mathbb{N}</math> dan <math>a_n \neq 0</math>. Menurut [[teorema dasar aljabar]], maka setiap polinomial yang [[Derajat polinomial\|berderajat]] <math>n</math> dengan koefisien [[bilangan riil]] Dalam [[matematika]],'''Rumus''' '''Vieta''' adalah [[rumus]] antara [[koefisien]] pada [[polinomial]] bersama angka dan hasil nilai [[Akar fungsi\|akarnya]]. Ditemukan oleh [[François Viète]] rumus tersebut digunakan secara khusus dalam [[aljabar]]. <math display="block">P(x) = a_n x^n + a_{n - 1} x^{n - 1} + a_{n - 2} x^{n - 2} + \, \ldots \, + a_1 x + a_0</math> dapat dinyatakan sebagai <math display="block">P(x) = a_n \left( x - x_1 \right) \left( x - x_2 \right) \left( x - x_3 \right) \ldots \left( x - x_n \right)</math> dengan <math>x_1, \, x_2, \, \ldots, \, x_n</math> merupakan [[bilangan kompleks\|bilangan-bilangan kompleks]] yang tidak harus berbeda. Rumus-rumus Vieta menghubungkan koefisien polinomial dengan jumlahan dari hasil kali akar <math>x_1, \, x_2, \, \ldots, \, x_n</math> sebagai berikut: <math display="block">\begin{align} - \dfrac{a_{n - 1}}{a_n} &= x_1 + x_2 + \ldots + x_{n - 1} + x_n \\ \dfrac{a_{n - 2}}{a_n} &= x_1 x_2 + x_1 x_3 + \cdots + x_1 x_n \\ &\phantom{=} + x_2 x_3 + x_2 x_4 + \cdots + x_2 x_n + \cdots + x_{n - 1} x_n \\ &\phantom{=} \vdots \\ \left( -1 \right)^n \dfrac{a_0}{a_n} &= x_1 x_2 x_3 \cdot \ldots \cdot x_n \end{align}</math> Dengan menggunakan [[notasi Sigma]] dan notasi Pi kapital, maka rumus-rumus Vieta dapat juga ditulis sebagai <math display="block">\begin{align} - \dfrac{a_{n - 1}}{a_n} &= \sum_{i \, = \, 1}^n x_i \\ \dfrac{a_{n - 2}}{a_n} &= \sum_{1 \leq i < j \leq n} x_i x_j \\ &= \sum_{1 \leq i_1 < i_2 \leq n} \left( \prod_{j \, = \, 1}^2 x_{i_j} \right) \\ - \dfrac{a_{n - 3}}{a_n} &= \sum_{1 \leq i < j < k \leq n} x_i x_j x_k \\ &= \sum_{1 \leq i_1 < i_2 < i_3 \leq n} \left( \prod_{j \, = \, 1}^3 x_{i_j} \right) \\ &\vdots \\ \left( -1 \right)^k \dfrac{a_{n - k}}{a_n} &= \sum_{1 \leq i_1 < i_2 < \ldots < i_k \leq n} \left( \prod_{j \, = \, 1}^k x_{i_j} \right) \\ &\vdots \\ \left( -1 \right)^n \dfrac{a_0}{a_n} &= \prod_{j \, = \, 1}^n x_j \end{align}</math> Perhatikan bahwa <math>i_1</math> sampai dengan <math>i_k</math> diurutkan dengan urutan naik agar menjamin setiap hasil kali dari <math>k</math> akar digunakan tepat satu kali. [[Ruas dari suatu persamaan\|Ruas kanan]] dari rumus Vieta disebut sebagai [[polinomial simetri elementer]] dalam <math>n</math> variabel. ~~== Rumus Vieta dalam [[Persamaan Kuadrat]] ==~~ == Perumuman gelanggang == ~~<blockquote>''Definisi Rumus Vieta dalam Persamaan Kuadrat:''~~ Rumus Vieta sering digunakan pada polinomial dengan koefisien pada suatu [[ranah integral]] <math>R</math>. Maka, hasil bagi <math>\dfrac{a_i}{a_n}</math> akan termuat pada [[lapangan pecahan]] dari <math>R</math> (dan mungkin saja pada <math>R</math> itu sendiri, jika <math>a_n</math> merupakan [[unit (teori gelanggang)\|elemen unit]] pada <math>R</math>) dan akarnya <math>x_i</math> diambil pada perluasan [[lapangan yang tertutup secara aljabar]]. Biasanya, <math>R</math> merupakan [[Gelanggang (matematika)\|gelanggang]] [[bilangan bulat]], lapangan pecahannya merupakan [[Lapangan (matematika)\|lapangan]] [[bilangan rasional]], dan lapangan yang ditutup secara aljabarnya merupakan lapangan [[bilangan kompleks]]. Rumus-rumus Vieta sangatlah berguna, sebab rumus-rumus tersebut memberikan hubungan antar akar-akar dari suatu polinomial tanpa harus mencari nilai akar-akarnya. ~~Jika diberikan <math>f(x) = ax^2+bx+c</math> jika persamaannya <math>f(x) = 0</math> dalam akar kuadrat <math>r_1</math> dan <math>r_2</math>, yaitu~~ Untuk polinomial atas [[gelanggang komutatif]] yang bukan merupakan ranah integral, rumus Vieta hanya berlaku ketika <math>a_n</math> bukan merupakan [[pembagi nol]] dan <math>P(x)</math> dapat difaktorkan menjadi <math>a_n \left( x - x_1 \right) \left( x - x_2 \right) \cdot \ldots \cdot \left( x - x_n \right)</math>. Sebagai contoh, [[fungsi kuadrat]] ~~:<math>r_1 + r_2 = -\frac{b}{a}, \quad r_1 r_2 = \frac{c}{a}.\ _\square</math></blockquote>~~ <math display="block">P(x) = x^2 - 1</math> memiliki empat akar dalam gelanggang bilangan bulat [[Aritmetika modular\|modulo]] 8, yaitu 1, 3, 5, dan 7. Rumus-rumus Vieta akan bernilai salah jika dipilih <math>x_1 = 1</math> dan <math>x_2 = 3</math>, sebab <math>P(x) \neq \left( x - 1 \right) \left( x - 3 \right)</math>. Akan tetapi, <math>P(x)</math> dapat difaktorkan menjadi <math>\left( x - 1 \right) \left( x - 7 \right)</math> atau <math>\left( x - 3 \right) \left( x - 5 \right)</math>, dan rumus-rumus Vieta akan berlaku apabila dipilih <math>\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 7 \end{bmatrix}</math> atau <math>\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 \\ 5 \end{bmatrix}</math>. ~~Bukti dari pernyataan tersebut akan diberikan di akhir bagian.~~ ~~Jika rumus persamaan kuadrat dirumuskan <math>b^2 - 4acb</math>~~ <math>\frac { - b \pm \sqrt{ b^2 - 4ac } } { 2a} = \frac{1}{2} \left( \frac{ -b}{a} \pm \sqrt{ \frac{ b^2 - 4ac } { a^2 } } \right) = \frac { ( \alpha + \beta ) \pm \| \alpha - \beta \| } { 2} = \alpha \text{ or } \beta,</math> ~~Diatas merupakan rumus persamaan kuadrat yang membuktikan rumus kuadrat.~~ ~~== Rumus Vieta dalam Kuadrat ==~~ ~~- Dalam pengembangan -~~ ~~== Rumus utama ==~~ ~~Untuk nilai polinomial dengan hasil ''n''~~ ~~<math>P(x)=a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} +\cdots + a_1 x+ a_0</math>~~ Rumus tersebut bersama [[ Teorema dasar aljabar\|teorema fundamental aljabar]] hanya memiliki nila {{Math\|''n''}} berbeda dengan akar kompleks {{Math\|''r''<sub>1</sub>, ''r''<sub>2</sub>, ..., ''r''<sub>''n''</sub>}} . Rumus Vieta menghubungkan koefisien polinomial dengan jumlah yang ditandatangani dari produk akar {{Math\|''r''<sub>1</sub>, ''r''<sub>2</sub>, ..., ''r''<sub>''n''</sub>}} sebagai berikut: ~~<math>\begin{cases} r_1 + r_2 + \dots + r_{n-1} + r_n = -\dfrac{a_{n-1}}{a_n} \\~~ ~~(r_1 r_2 + r_1 r_3+\cdots + r_1 r_n) + (r_2r_3 + r_2r_4+\cdots + r_2r_n)+\cdots + r_{n-1}r_n = \dfrac{a_{n-2}}{a_{n}} \\~~ ~~{} \quad \vdots \\ r_1 r_2 \dots r_n = (-1)^n \dfrac{a_0}{a_n}. \end{cases}</math>~~ ~~Rumus Vieta dapat dibuat secara ekuivalen sebagai~~ ~~<math>\sum_{1\le i_1 < i_2 < \cdots < i_k\le n} \left(\prod_{j = 1}^k r_{i_j}\right)=(-1)^k\frac{a_{n-k}}{a_n},</math>~~ ~~== Generalisasi cincin ==~~ Rumus Vieta sering digunakan hubungan dengan polinomial hasil koefisien dalam [[ Domain integral\|domain integral]] {{Mvar\|R}} . Setelah itu hasil quotients <math>a_i/a_n</math> memiliki [[ Cincin pecahan\|cincin pecahan]] {{Mvar\|R}} dan akarnya <math>r_i</math> diambil dalam [[ Bidang tertutup secara aljabar\|ekstensi tertutup aljabar]]. Biasanya, ~~Rumus{{Mvar\|R}} adalah cincin [[bilangan bulat]], bidang pecahan adalah bidang [[bilangan rasional]] dan bidang yang ditutup secara aljabar adalah bidang [[bilangan kompleks]] .~~ == Contoh == Rumus Vieta ~~dapat~~saat diterapkan pada [[fungsi kuadrat\|polinomial kuadrat]] dan [[fungsi kubik\|kubik]]: Akar-akar ~~kuadrat~~<math>x_1</math> ~~dari~~dan <math>~~r_1, r_2~~x_2</math> dari [[polinomial kuadrat]] <math>P(x) = ax^2 + bx + c</math>, ~~yaitu~~akan memenuhi persamaan <math display="block">\begin{align} ~~:<math> r_1 + r_2 = -\frac{b}{a}, \quad r_1 r_2 = \frac{c}{a}.</math>~~ x_1 + x_2 &= - \dfrac{b}{a} \\ x_1 x_2 &= \dfrac{c}{a} \end{align}</math> Persamaan pertama dapat digunakan untuk mencari nilai minimum (atau maksimum) dari ~~nilai~~fungsi {{<math~~\|''~~>P~~''}}~~</math>; lihat {{slink\|Persamaan kuadrat\|Rumus-rumus Vieta}}. Akar ~~kuadrat dari~~-akar <math>~~r_1~~x_1</math>, ~~r_2,~~<math>x_2</math> ~~r_3~~dan <math>x_3</math> dari [[polinomial kubik]] <math>P(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d</math>, ~~yaitu~~akan memenuhi persamaan <math display="block">\begin{align} ~~:<math> r_1 + r_2 + r_3 = -\frac{b}{a}, \quad r_1 r_2 + r_1 r_3 + r_2 r_3 = \frac{c}{a}, \quad r_1 r_2 r_3 = -\frac{d}{a}.</math>~~ r_1 + r_2 + r_3 &= -\frac{b}{a} \\ r_1 r_2 + r_1 r_3 + r_2 r_3 &= \frac{c}{a} \\ r_1 r_2 r_3 &= -\frac{d}{a} \end{align}</math> == Bukti == ~~=== Pemecahan Masalah Rumus Vieta ===~~ === Bukti langsung === Menurut [[teorema dasar aljabar]], jika <math>x_1, \, x_2, \, \ldots, \, x_n</math> merupakan akar-akar dari polinomial <math display="block">P(x) = a_n x^n + a_{n - 1} x^{n - 1} + \cdots + a_1 x + a_0</math> maka <math>P(x)</math> dapat dinyatakan sebagai <math display="block">P(x) = a_n \left( x - x_1 \right) \left( x - x_2 \right) \cdot \ldots \cdot \left( x - x_n \right)</math> Akibatnya, diperoleh persamaan <math display="block">a_n x^n + a_{n - 1} x^{n - 1} + \cdots + a_1 x + a_0 = a_n \left( x - x_1 \right) \left( x - x_2 \right) \cdot \ldots \cdot \left( x - x_n \right)</math> Rumus Vieta dapat [[Pembuktian matematika\|dibuktikan]] dengan menjabarkan ekspresi di ruas kanan, dan membandingkan koefisien dari masing-masing pangkat dari <math>x</math>. Secara formal, jika ekspresi <math>\left( x - x_1 \right) \left( x - x_2 \right) \cdot \ldots \cdot \left( x - x_n \right)</math> dijabarkan, maka terdapat tepat <math>n</math> pilihan biner pada setiap suku (ikutkan <math>x</math> atau <math>- x_i</math>). Jika <math>k</math> pilihan digunakan untuk memilih <math>x</math> sebagai faktor pada suku hasil penjabarannya, maka sisa <math>n - k</math> faktor lainnya haruslah <math>- x_i</math>. Akibatnya, suku yang diperoleh memiliki bentuk umum <math>\left( -1 \right)^{n - k} \left( x_1 \right)^{b_1} \left( x_2 \right)^{b_2} \cdot \ldots \cdot \left( r_n \right)^{b_n} x^k</math>, dengan <math>b_i</math> bernilai 0 atau 1, tergantung apakah <math>r_i</math> menjadi bagian dari hasil kali atau tidak. Secara geometris, hal ini dapat diartikan sebagai simpul dari suatu hiperkubus. Pengelompokkan suku-suku yang sama berdasarkan derajat <math>x</math> nya akan menghasilkan polinomial simetris elementer dalam <math>x_i</math>. ~~Menunjukkan bahwa~~ === Induksi matematika === ~~<math>\sum_{j=1}^n \cot^2\Big(\tfrac{j \pi}{2n+1}\Big) \; = \; \tfrac13n(2n-1)</math>~~ Rumus-rumus Vieta juga dapat dibuktikan menggunakan [[Induksi matematika\|induksi]] sebagai berikut. ==== Hipotesis ==== Misalkan # <math>P(x)</math> adalah polinomial berderajat <math>n</math> # <math>P(x)</math> memiliki akar-akar kompleks <math>\left\{ x_1, \, x_2, \, \ldots, \, x_n \right\}</math> # <math>P(x)</math> memiliki koefisien kompleks <math>\left\{ a_0, \, a_1, \, a_2, \, \ldots, \, a_n \right\}</math>, dengan <math>a_n \neq 0</math> maka <math display="block">P(x) = a_n x^n + a_{n - 1} x^{n - 1} + \ldots + a_1 x + a_0 = a_n \left( x^n - \left( x_1 + x_2 + \ldots + x_n \right) x^{n - 1} + \, \ldots \, + \left( -1 \right)^n x_1 x_2 \cdot \ldots \cdot x_n \right)</math> ==== Kasus dasar (n = 2) ==== Menurut teorema dasar aljabar, maka diperoleh persamaan <math display="block">a_2 x^2 + a_1 x + a_0 = a_2 \left( x - x_1 \right) \left( x - x_2 \right)</math> Dengan menggunakan [[sifat distributif]], diperoleh <math display="block">\begin{align} a_2 x^2 + a_1 x + a_0 &= a_2 \left( x - x_1 \right) \left( x - x_2 \right) \\ &= a_2 \left( x - x_1 x - x_2 x + x_1 x_2 \right) \\ &= a_2 \left( x - \left( x_1 + x_2 \right) x + x_1 x_2 \right) \end{align}</math> sehingga kasus dasar terbukti. ==== Langkah induksi ==== Diasumsikan hipotesisnya bernilai benar untuk suatu nilai <math>n = k</math>, dengan <math>k \geq 2</math>. Akan diperiksa kebenaran hipotesis untuk <math>n = k + 1</math>. <math display="block">P(x) = a_{n + 1} x^{n + 1} + a_n x^n + a_{n - 1} x^{n - 1} + \ldots + a_1 x + a_0</math> Berdasarkan [[teorema faktor]], maka <math>\left( x - x_{n + 1} \right)</math> dapat difaktorkan dari <math>P(x)</math>, dengan sisa bagi 0. Hal ini mengakibatkan <math display="block">\begin{align} P(x) &= a_{n + 1} x^{n + 1} + a_n x^n + a_{n - 1} x^{n - 1} + \ldots + a_1 x + a_0 \\ &= a_{n + 1} \left( x^{n + 1} + \dfrac{a_n}{a_{n + 1}} x^n + \dfrac{a_{n - 1}}{a_{n + 1}} x^{n - 1} + \ldots + \dfrac{a_1}{a_{n + 1}} x + \dfrac{a_0}{a_{n + 1}} \right) \\ &= a_{n + 1} \left( x - x_{n + 1} \right) \cdot \dfrac{x^{n + 1} + \tfrac{a_n}{a_{n + 1}} x^n + \tfrac{a_{n - 1}}{a_{n + 1}} x^{n - 1} + \ldots + \tfrac{a_1}{a_{n + 1}} x + \tfrac{a_0}{a_{n + 1}}}{x - x_{n + 1}} \\ &= a_{n + 1} \left( x - x_{n + 1} \right) \left( x^n + c_{n - 1} x^{n - 1} + \, \ldots \, + c_1 x + c_0 \right) \\ &= a_{n + 1} \left( x - x_{n + 1} \right) \left( x^n - \left( x_1 + x_2 + \ldots + x_n \right) x^{n - 1} + \, \ldots \, + \left( -1 \right)^n x_1 x_2 \cdot \ldots \cdot x_n \right) \\ &= a_{n + 1} \left( x \left( x^n - \left( x_1 + x_2 + \ldots + x_n \right) x^{n - 1} + \, \ldots \, + \left( -1 \right)^n x_1 x_2 \cdot \ldots \cdot x_n \right) \right. \\ &\phantom{= a_{n + 1}} \left. - x_{n + 1} \left( x^n - \left( x_1 + x_2 + \ldots + x_n \right) x^{n - 1} + \, \ldots \, + \left( -1 \right)^n x_1 x_2 \cdot \ldots \cdot x_n \right) \right) \\ &= a_{n + 1} \left( x^{n + 1} - \left( x_1 + x_2 + \ldots + x_n + x_{n + 1} \right) x^n + \ldots + \left( -1 \right)^{n + 1} x_1 x_2 \cdot \ldots \cdot x_n x_{n + 1} \right) \end{align}</math> ==== Kesimpulan ==== Oleh karena hipotesisnya bernilai benar untuk kasus <math>n = k + 1</math>, maka hipotesisnya bernilai benar untuk sembarang <math>n \in \mathbb{N} \setminus \left\{ 1 \right\}</math>. <math display="block">a_n x^n + a_{n - 1} x^{n - 1} + \ldots + a_1 x + a_0 = a_n \left( x^n - \left( x_1 + x_2 + \ldots + x_n \right) x^{n - 1} + \, \ldots \, + \left( -1 \right)^n x_1 x_2 \cdot \ldots \cdot x_n \right)</math> Dengan membagi kedua ruas dengan <math>x_n</math>, maka kebenaran rumus-rumus Vieta terbukti. == Sejarah == ~~untuk bilangan bulat apa pun <math>n \ge 1</math>~~ Sesuai dengan namanya, rumus-rumus ini ditemukan oleh [[matematikawan]] asal [[Prancis]] abad ke-16 [[François Viète]], untuk kasus akar positif. Menurut pendapat matematikawan asal [[Inggris]] abad ke-18 [[Charles Hutton]], seperti yang dikutip oleh Funkhouser,<ref>{{Harv\|Funkhouser\|1930}}</ref> prinsip utama (tidak hanya untuk akar riil positif) pertama kali dipahami oleh matematikawan Prancis abad ke-17 [[Albert Girard]]: ~~Dengan ini yang pertama dengan menggunakan [[teorema De-Moivre]] untuk bilangan bulat positif {{math\|''m''}}:~~ <blockquote>...[Girard ialah] orang pertama yang memahami doktrin umum dari pembentukan koefisien pangkat dari jumlahan akar-akar beserta hasil kalinya. Dia adalah orang pertama yang menemukan aturan untuk menjumlahan perpangkatan akar-akar dari sembarang persamaan.</blockquote> <math>\begin{aligned} (\cos x+i\sin x)^m&=\cos mx+i\sin mx\\ \frac{\cos mx+i\sin mx}{\sin^m x}&=(\cot x+i)^m\\ &=\cot^m x+\binom{m}{1}\cot^{m-1}(x)i+\cdots+\binom{m}{m-1}\cot(x)i^{m-1} + i^m. \end{aligned}</math> ~~Saat dapat mengelompokkan RHS sebagai berikut sejak kami memilikinya <math>i^2=-1</math>:~~ ~~<math>\text{RHS} =\left(\cot^m x-\binom{m}{2}\cot^{m-2} x+\cdots\right)+i\left(\binom{m}{1}\cot^{m-1}x-\binom{m}{3}\cot^{m-3} x+\cdots\right).</math>~~ ~~Menyamakan bagian imajiner di kiri dan kanan, kita dapatkan~~ ~~<math>\binom{m}{1}\cot^{m-1}x-\binom{m}{3}\cot^{m-3}x+\cdots = \frac{\sin mx}{\sin^m x}.</math>~~ Membiarkan nilai <math>\cot^2 x = u,</math> maka persamaannya dalam ''u'' dan jumlah akarnya diberikan oleh <math>\displaystyle \frac{\binom{2n+1}{3}}{\binom{2n+1}{1}}</math> seperti yang kita ketahui dari formula Vieta. Sejak nilai <math>x=\frac{j\pi}{2n+1},x= ~~2n+1</math>~~ ~~<math>\begin{aligned} \sum_{j=1}^{n}\cot^2 \frac{j\pi}{2n+1} &= \frac{\binom{2n+1}{3}}{\binom{2n+1}{1}}\\ &= \frac{1}{6}2n(2n-1)\\ &= \frac{1}{3}n(2n-1). \ _\square \end{aligned}</math>~~ ~~== Keterangan ==~~ ~~Rumus Vieta dapat dibuktikan dengan memperluas persamaan:~~ ~~: <math>a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} +\cdots + a_1 x+ a_0 = a_n(x-r_1)(x-r_2)\cdots (x-r_n)</math>~~ (yang benar yaitu nilai <math>r_1, r_2, \dots, r_n</math> apakah semua akar dari polinomial ini), mengalikan faktor-faktor dari sisi kanan, dan mengidentifikasi koefisien dari masing-masing pangkat <math>x.</math> Secara formal, jika ada yang mengembang pada nilai <math>(x-r_1)(x-r_2)\cdots(x-r_n),</math> istilahnya adalah nilai <math>(-1)^{n-k}r_1^{b_1}\cdots r_n^{b_n} x^k,</math> darimana nilai <math>b_i</math> adalah 0 atau 1, sesuai dengan apakah <math>r_i</math> termasuk dalam produk atau tidak, dan '' k '' adalah jumlah pada nilai <math>r_i</math> hal yang ini tidak seharusnya digunakan, jadi jumlah total faktor dalam produk adalah ''n'' (dengan perhitungan ''<math>x^k</math>'' dengan keserbaragaman ''k'') sebagaimana adanya nilai ''n'' pilihan biner (yang termasuk perhitungan <math>r_i</math> atau ''x''), dan <math>2^n</math> istilah tersebut dapat dicari dalam bentuk geometris, hal ini dapat memahami sebagai simpul dari [[kubusganda]]. Mengelompokkan persamaan tersebut berdasarkan derajat menghasilkan polinomial simetris dasar di <math>r_i</math> untuk nilai ''x<sup>k</sup>,'' mendapatkan semua produk lipat pada nilai ''k'' yang berbeda dari <math>r_i.</math> ~~{{Math-stub}}~~ ~~== Sejarah ==~~ ~~Seperti yang tercermin dalam namanya, rumus tersebut ditemukan oleh [[ahli matematika]] asal [[Prancis]] abad ke-16 [[François Viète]], untuk kasus akar positif.~~ == Lihat juga == Menurut pendapat ahli matematika asal [[Inggris]] abad ke-18 [[Charles Hutton]], seperti dikutip oleh Funkhouser,<ref>{{Harv\|Funkhouser\|1930}}</ref> prinsip utama (tidak hanya untuk akar nyata positif) pertama kali dipahami oleh ahli matematika Prancis abad ke-17 [[Albert Girard]]: {{Portal\|Matematika}} <blockquote>...[Girard was] orang pertama yang memahami doktrin umum pembentukan koefisien kekuatan dari jumlah akar dan produknya. Dia adalah orang pertama yang menemukan aturan untuk sum.</blockquote> * [[Bagian primitif dan konten]] * [[Aturan tanda Descartes]] * [[Identitas Newton]] * [[Teorema Gauss-Lucas]] * [[Sifat geometris dari akar polinomial]] * [[Teorema akar rasional]] * [[Polinomial simetris]] dan [[polinomial simetri elementer]] == Referensi == {{Reflist}} * {{springer\|title=Teorema Viète\|id=p/v096630}} * {{Citation * {{Citation\| first= H. Gray \| last=Funkhouser \| authorlink = Howard G. Funkhouser \| title=Penjelasan singkat tentang sejarah fungsi simetris dari akar persamaan \| journal=Bulanan Matematika Amerika \| year=1930 \| volume= 37 \| issue=7 \| pages=357–365 \| doi=10.2307/2299273\| jstor= 2299273\| publisher= Mathematical Association of America }} \| first = H. Gray {{Citation \| last = ~~Vinberg~~Funkhouser \| ~~first~~authorlink = E.Howard BG. Funkhouser \| title = A short account of the history of symmetric functions of roots of equations ~~\| authorlink= Ernest Vinberg~~ \| trans-title = Penjelasan singkat tentang sejarah fungsi simetris dari akar persamaan ~~\| title = Kursus aljabar~~ \| ~~publisher~~journal = American Mathematical ~~Society, Providence, R.I~~Monthly \| year = ~~2003~~1930 \| ~~pages~~volume = 37 \| ~~isbn~~issue = ~~0-8218-3413-4~~7 \| pages = 357–365 }} \| doi = 10.2307/2299273 \| jstor = 2299273 \| publisher = Mathematical Association of America }} {{Citation \| last = Vinberg \| first = E. B. \| authorlink = Ernest Vinberg \| title = A course in algebra \| trans-title = Kursus aljabar \| lang = en \| publisher = American Mathematical Society, Providence, R.I \| year = 2003 \| pages = \| isbn = 0-8218-3413-4}} * {{Citation \| last = Djukić \| first = Dušan \| title = The IMO compendium: a collection of problems suggested for the International Mathematical Olympiads, 1959–2004 \| trans-title = Ringkasan IMO: kumpulan masalah yang disarankan untuk Olimpiade Matematika Internasional, 1959–2004 \| lang = en \| publisher = Springer, New York, NY \| year = 2006 \| pages = \| isbn = 0-387-24299-6 \| display-authors = etal}} == Pranala luar == {{Citation {{Citation ~~\| last = Djukić~~ \| title = Vieta's Formula ~~\| first = Dušan\| title = Ringkasan IMO: kumpulan masalah yang disarankan untuk Olimpiade Matematika Internasional, 1959–2004~~ \| url = https://brilliant.org/wiki/vietas-formula ~~\| publisher = Springer, New York, NY~~ \| ~~year~~ trans-title = ~~2006~~Rumus Vieta \| ~~pages~~lang = en}} ~~\| isbn = 0-387-24299-6~~ ~~\|display-authors=etal}}~~ {{DEFAULTSORT:Viete's Formulas}} [[Kategori:Artikel yang memuat pembuktian]] [[Kategori:Polinomial]] [[Kategori:Aljabar elementer]]