Wikipedia

Rumus Vieta: Perbedaan antara revisi

Jelajahi riwayat secara interaktif
← Revisi sebelumnya
Konten dihapus Konten ditambahkan
VisualTeks wiki
Dedhert.Jr (bicara | kontrib)
16.209 suntingan
Memperbaharui halaman "Teorema Vieta"
Tag: Suntingan visualeditor-wikitext
 
(5 revisi perantara oleh 5 pengguna tidak ditampilkan)
Baris 1:
{{Short description|Hubungan antara koefisien dan akar dari suatu polinomial}}
[[Berkas:Francois Viete.jpeg|jmpl|[[François Viète]] matematikawan asal Prancis berhasil menemukan Rumus Vieta<ref>{{time interval|1591|show=ymd|sep=,}}</ref>]]
Dalam [[matematika]], '''rumus Vieta''' atau '''teorema Vieta''' adalah sekumpulan [[rumus]] yang menghubungkan antara [[koefisien]] pada [[polinomial]] bersamadengan angkahasil penjumlahan dan hasilperkalian dari nilai [[Akar fungsi|akar-akarnya]]. DitemukanRumus olehini dinamai dari [[François Viète]] rumus(yang tersebutlebih digunakansering secaradirujuk khususdengan dalamnama [[aljabar]]latinnya, yaitu "Franciscus Vieta").
 
== Rumus dasar ==
François Viète mendefinisikan rumus tersebut untuk kasus menemukan akar positif. Di masa François Viète, diyakini bahwa hanya ada akar positif dalam persamaan. François Viète percaya bahwa tidak ada akar negatif dan hanya memahami sebagian hubungan antara akar persamaan dan koefisiennya. Pada 1629, matematikawan asal [[Prancis]] [[Albert Girard]], menemukan Rumus Vieta bersifat umum, tidak terbatas pada akar nyata positif .
Misalkan <math>n \in \mathbb{N}</math> dan <math>a_n \neq 0</math>. Menurut [[teorema dasar aljabar]], maka setiap polinomial yang [[Derajat polinomial|berderajat]] <math>n</math> dengan koefisien [[bilangan riil]]
<math display="block">P(x) = a_n x^n + a_{n - 1} x^{n - 1} + a_{n - 2} x^{n - 2} + \, \ldots \, + a_1 x + a_0</math>
dapat dinyatakan sebagai
<math display="block">P(x) = a_n \left( x - x_1 \right) \left( x - x_2 \right) \left( x - x_3 \right) \ldots \left( x - x_n \right)</math>
dengan <math>x_1, \, x_2, \, \ldots, \, x_n</math> merupakan [[bilangan kompleks|bilangan-bilangan kompleks]] yang tidak harus berbeda. Rumus-rumus Vieta menghubungkan koefisien polinomial dengan jumlahan dari hasil kali akar <math>x_1, \, x_2, \, \ldots, \, x_n</math> sebagai berikut:
<math display="block">\begin{align}
- \dfrac{a_{n - 1}}{a_n} &= x_1 + x_2 + \ldots + x_{n - 1} + x_n \\
\dfrac{a_{n - 2}}{a_n} &= x_1 x_2 + x_1 x_3 + \cdots + x_1 x_n \\
&\phantom{=} + x_2 x_3 + x_2 x_4 + \cdots + x_2 x_n + \cdots + x_{n - 1} x_n \\
&\phantom{=} \vdots \\
\left( -1 \right)^n \dfrac{a_0}{a_n} &= x_1 x_2 x_3 \cdot \ldots \cdot x_n
\end{align}</math>
Dengan menggunakan [[notasi Sigma]] dan notasi Pi kapital, maka rumus-rumus Vieta dapat juga ditulis sebagai
<math display="block">\begin{align}
- \dfrac{a_{n - 1}}{a_n} &= \sum_{i \, = \, 1}^n x_i \\
\dfrac{a_{n - 2}}{a_n} &= \sum_{1 \leq i < j \leq n} x_i x_j \\
&= \sum_{1 \leq i_1 < i_2 \leq n} \left( \prod_{j \, = \, 1}^2 x_{i_j} \right) \\
- \dfrac{a_{n - 3}}{a_n} &= \sum_{1 \leq i < j < k \leq n} x_i x_j x_k \\
&= \sum_{1 \leq i_1 < i_2 < i_3 \leq n} \left( \prod_{j \, = \, 1}^3 x_{i_j} \right) \\
&\vdots \\
\left( -1 \right)^k \dfrac{a_{n - k}}{a_n} &= \sum_{1 \leq i_1 < i_2 < \ldots < i_k \leq n} \left( \prod_{j \, = \, 1}^k x_{i_j} \right) \\
&\vdots \\
\left( -1 \right)^n \dfrac{a_0}{a_n} &= \prod_{j \, = \, 1}^n x_j
\end{align}</math>
Perhatikan bahwa <math>i_1</math> sampai dengan <math>i_k</math> diurutkan dengan urutan naik agar menjamin setiap hasil kali dari <math>k</math> akar digunakan tepat satu kali.
 
[[Ruas dari suatu persamaan|Ruas kanan]] dari rumus Vieta disebut sebagai [[polinomial simetri elementer]] dalam <math>n</math> variabel.
Ada juga spekulasi bahwa formula Viete sebenarnya ditemukan oleh Albert Girard sebelum François Viète. Misalnya, menurut matematikawan asal [[Inggris]] pada abad ke-18 [[Charles Hutton]], Albert Girard menulis tentang keadaan umum rumus Vieta dalam karyanya sebelum François Viète.
 
== Perumuman gelanggang ==
== Rumus Vieta dalam persamaan Kuadrat ==
Rumus Vieta sering digunakan pada polinomial dengan koefisien pada suatu [[ranah integral]] <math>R</math>. Maka, hasil bagi <math>\dfrac{a_i}{a_n}</math> akan termuat pada [[lapangan pecahan]] dari <math>R</math> (dan mungkin saja pada <math>R</math> itu sendiri, jika <math>a_n</math> merupakan [[unit (teori gelanggang)|elemen unit]] pada <math>R</math>) dan akarnya <math>x_i</math> diambil pada perluasan [[lapangan yang tertutup secara aljabar]]. Biasanya, <math>R</math> merupakan [[Gelanggang (matematika)|gelanggang]] [[bilangan bulat]], lapangan pecahannya merupakan [[Lapangan (matematika)|lapangan]] [[bilangan rasional]], dan lapangan yang ditutup secara aljabarnya merupakan lapangan [[bilangan kompleks]].
 
Rumus-rumus Vieta sangatlah berguna, sebab rumus-rumus tersebut memberikan hubungan antar akar-akar dari suatu polinomial tanpa harus mencari nilai akar-akarnya.
[[Berkas:Excel quadratic error.PNG|thumb|350px|Gambar 5. Grafik perbedaan antara pendekatan Vieta untuk akar persamaan kuadrat yang lebih kecil {{math|''x''<sup>2</sup> + ''bx'' + ''c'' {{=}} 0}} dibandingkan dengan nilai yang dihitung menggunakan rumus kuadrat. Perkiraan Vieta tidak akurat untuk yang kecil {{math|''b''}} tetapi akurat untuk ukuran besar {{math|''b''}}. Evaluasi langsung menggunakan rumus kuadrat akurat untuk yang kecil {{math|''b''}} dengan akar dari nilai yang sebanding tetapi mengalami hilangnya kesalahan signifikansi yang besar {{math|''b''}} dan akar berjarak lebar. Perbedaan antara perkiraan Vieta ''versus'' penghitungan langsung mencapai minimum pada titik-titik besar, dan pembulatan menyebabkan coretan di kurva melebihi minimum ini.|alt=Gambar 5. Grafik perbedaan antara pendekatan Vieta untuk akar persamaan kuadrat yang lebih kecil x kuadrat plus b x plus c sama dengan nol dibandingkan dengan nilai yang dihitung menggunakan rumus kuadrat. Selisihnya diplot sebagai fungsi dari b untuk dua nilai c yang berbeda, c sama dengan 4, dan c sama dengan 400.000. Grafik adalah grafik log log, dengan sumbu vertikal, perbedaannya, mulai dari sepuluh hingga. Sumbu horizontal, b, berkisar dari 10 di kiri hingga sepuluh hingga kedelapan di kanan. Pendekatan Vieta untuk akar yang lebih kecil tidak akurat untuk b kecil tetapi akurat untuk b besar. Evaluasi langsung dari akar yang lebih kecil menggunakan rumus kuadrat akurat untuk b kecil dengan nilai akar yang sebanding, tetapi mengalami hilangnya kesalahan signifikansi untuk b besar dan spasi lebar. Ketika c sama dengan 4, pendekatan Vieta dimulai dengan buruk di sebelah kiri, tetapi menjadi lebih baik dengan b yang lebih besar, perbedaan antara pendekatan Vieta dan rumus kuadrat mencapai minimum pada perkiraan. Perkiraan Vieta dan rumus kuadrat kemudian mulai divergen lagi karena rumus kuadrat mengalami error loss of signifikan. Jika c sama dengan empat ratus ribu, perbedaan antara pendekatan Vieta dan rumus kuadrat mencapai minimum pada kira-kira b sama dengan sepuluh pangkat tujuh. Kedua kurva tersebut lurus ke kiri minimum, menunjukkan hubungan kekuatan monomial sederhana antara selisih dan b. Demikian juga, kedua kurva tersebut kira-kira lurus ke kanan minimum, yang menunjukkan hubungan kekuatan, kecuali bahwa garis lurus memiliki coretan di dalamnya karena hilangnya signifikansi]]
 
Untuk polinomial atas [[gelanggang komutatif]] yang bukan merupakan ranah integral, rumus Vieta hanya berlaku ketika <math>a_n</math> bukan merupakan [[pembagi nol]] dan <math>P(x)</math> dapat difaktorkan menjadi <math>a_n \left( x - x_1 \right) \left( x - x_2 \right) \cdot \ldots \cdot \left( x - x_n \right)</math>. Sebagai contoh, [[fungsi kuadrat]]
Rumus Vieta memberikan hubungan sederhana antara akar polinomial dan koefisiennya. Dalam kasus polinomial kuadrat, mereka mengambil bentuk berikut:
:<math display="block"> x_1 + x_2P(x) = x^2 -\frac{b}{a} 1</math>
memiliki empat akar dalam gelanggang bilangan bulat [[Aritmetika modular|modulo]] 8, yaitu 1, 3, 5, dan 7. Rumus-rumus Vieta akan bernilai salah jika dipilih <math>x_1 = 1</math> dan <math>x_2 = 3</math>, sebab <math>P(x) \neq \left( x - 1 \right) \left( x - 3 \right)</math>. Akan tetapi, <math>P(x)</math> dapat difaktorkan menjadi <math>\left( x - 1 \right) \left( x - 7 \right)</math> atau <math>\left( x - 3 \right) \left( x - 5 \right)</math>, dan rumus-rumus Vieta akan berlaku apabila dipilih <math>\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 7 \end{bmatrix}</math> atau <math>\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 \\ 5 \end{bmatrix}</math>.
dan
:<math> x_1 x_2 = \frac{c}{a}.</math>
Hasil ini langsung mengikuti dari relasi:
:<math>\left( x - x_1 \right) \left( x-x_2 \right ) = x^2 - \left( x_1+x_2 \right)x +x_1 x_2 = 0,</math>
yang dapat dibandingkan istilah demi istilah dengan
:<math> x^2 + (b/a)x +c/a = 0.</math>
 
Rumus pertama di atas menghasilkan ekspresi yang sesuai saat membuat grafik fungsi kuadrat. Karena grafiknya simetris terhadap garis vertikal melalui [[Fungsi kuadrat#Puncak|simpul]], ketika ada dua akar nyata, koordinat {{math|''x''}} titik koordinat terletak di av. Jadi {{math|''x''}} koordinat dari simpul diberikan oleh ekspresi
:<math> x_V = \frac {x_1 + x_2} {2} = -\frac{b}{2a}.</math>
{{math|''y''}} koordinat dapat diperoleh dengan mensubstitusi hasil di atas ke dalam persamaan kuadrat yang diberikan, memberikan
:<math> y_V = - \frac{b^2}{4a} + c = - \frac{ b^2 - 4ac} {4a}.</math>
 
Sebagai masalah praktis, rumus Vieta menyediakan metode yang berguna untuk menemukan akar kuadrat dalam kasus di mana satu akar jauh lebih kecil dari yang lain. Bila {{math|{{!}}&#8239;''x'' <sub>2</sub>{{!}} &lt;&lt; {{!}}&#8239;''x'' <sub>1</sub>{{!}}}}, maka {{math|''x'' <sub>1</sub> + ''x'' <sub>2</sub> &asymp; ''x'' <sub>1</sub>}}, dan kami memiliki perkiraan:
:<math> x_1 \approx -\frac{b}{a} .</math>
Rumus Vieta kedua kemudian memberikan:
:<math>x_2 = \frac{c}{a x_1} \approx -\frac{c}{b} .</math>
Rumus-rumus ini jauh lebih mudah untuk dievaluasi daripada rumus kuadrat dengan syarat satu akar besar dan satu akar kecil, karena rumus kuadrat mengevaluasi akar kecil sebagai selisih {{math|''b''}}), yang menyebabkan [[kesalahan pembulatan]] dalam evaluasi numerik. Gambar 5 menunjukkan perbedaan antara (i) evaluasi langsung menggunakan rumus kuadrat (akurat ketika akar memiliki nilai yang berdekatan) dan (ii) evaluasi berdasarkan perkiraan rumus Vieta di atas (akurat ketika akar berjarak lebar). Sebagai koefisien linear {{math|''b''}} meningkat, awalnya rumus kuadrat akurat, dan rumus perkiraan meningkatkan keakuratannya, yang mengarah ke perbedaan yang lebih kecil antara metode sebagai {{math|''b''}} meningkat. Namun, pada titik tertentu rumus kuadrat mulai kehilangan akurasinya karena kesalahan pembulatan, sedangkan metode perkiraan terus ditingkatkan. Akibatnya, perbedaan antara metode-metode tersebut mulai meningkat karena rumus kuadrat menjadi semakin buruk.
 
Situasi ini umumnya muncul dalam desain amplifier, di mana akar yang terpisah jauh diinginkan untuk memastikan operasi yang stabil (lihat [[respons langkah]]).
 
Bukti dari pernyataan tersebut akan diberikan di akhir bagian.
 
Jika rumus persamaan kuadrat dirumuskan <math>b^2 - 4acb</math>
 
<math>\frac { - b \pm \sqrt{ b^2 - 4ac } } { 2a} = \frac{1}{2} \left( \frac{ -b}{a} \pm \sqrt{ \frac{ b^2 - 4ac } { a^2 } } \right) = \frac { ( \alpha + \beta ) \pm | \alpha - \beta | } { 2} = \alpha \text{ or } \beta,</math>
 
Diatas merupakan rumus persamaan kuadrat yang membuktikan rumus kuadrat.
 
== Rumus utama ==
Untuk nilai polinomial dengan hasil ''n''
 
<math>P(x)=a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} +\cdots + a_1 x+ a_0</math>
 
Rumus tersebut bersama [[Teorema dasar aljabar|teorema fundamental aljabar]] hanya memiliki nila {{Math|''n''}} berbeda dengan akar kompleks {{Math|''r''<sub>1</sub>, ''r''<sub>2</sub>, ..., ''r''<sub>''n''</sub>}} . Rumus Vieta menghubungkan koefisien polinomial dengan jumlah yang ditandatangani dari produk akar {{Math|''r''<sub>1</sub>, ''r''<sub>2</sub>, ..., ''r''<sub>''n''</sub>}} sebagai berikut:
 
<math>\begin{cases} r_1 + r_2 + \dots + r_{n-1} + r_n = -\dfrac{a_{n-1}}{a_n} \\
(r_1 r_2 + r_1 r_3+\cdots + r_1 r_n) + (r_2r_3 + r_2r_4+\cdots + r_2r_n)+\cdots + r_{n-1}r_n = \dfrac{a_{n-2}}{a_{n}} \\
{} \quad \vdots \\ r_1 r_2 \dots r_n = (-1)^n \dfrac{a_0}{a_n}. \end{cases}</math>
 
Rumus Vieta dapat dibuat secara ekuivalen sebagai
 
<math>\sum_{1\le i_1 < i_2 < \cdots < i_k\le n} \left(\prod_{j = 1}^k r_{i_j}\right)=(-1)^k\frac{a_{n-k}}{a_n},</math>
 
== Generalisasi gelanggang ==
Rumus Vieta sering digunakan hubungan dengan polinomial hasil koefisien dalam [[ranah integral]] {{Mvar|R}}. Maka, hasil bagi <math>a_i/a_n</math> memiliki [[gelanggang pecahan]] {{Mvar|R}} dan akarnya <math>r_i</math> diambil dalam [[medan tertutup secara aljabar|ekstensi tertutup aljabar]]. Biasanya,
 
Rumus {{Mvar|R}} adalah gelanggang [[bilangan bulat]], medan pecahan adalah medan [[bilangan rasional]] dan medan yang ditutup secara aljabar adalah bidang [[bilangan kompleks]].
 
== Contoh ==
Rumus Vieta dapatsaat diterapkan pada [[fungsi kuadrat|polinomial kuadrat]] dan [[fungsi kubik|kubik]]:
 
Akar-akar kuadrat<math>x_1</math> daridan <math>r_1, r_2x_2</math> dari [[polinomial kuadrat]] <math>P(x) = ax^2 + bx + c</math>, yaituakan memenuhi persamaan
<math display="block">\begin{align}
:<math> r_1 + r_2 = -\frac{b}{a}, \quad r_1 r_2 = \frac{c}{a}.</math>
x_1 + x_2 &= - \dfrac{b}{a} \\
x_1 x_2 &= \dfrac{c}{a}
\end{align}</math>
 
Persamaan pertama dapat digunakan untuk mencari nilai minimum (atau maksimum) dari nilaifungsi {{<math|''>P''}}</math>; lihat {{slink|Persamaan kuadrat|Rumus-rumus Vieta}}.
 
Akar kuadrat dari-akar <math>r_1x_1</math>, r_2,<math>x_2</math> r_3dan <math>x_3</math> dari [[polinomial kubik]] <math>P(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d</math>, yaituakan memenuhi persamaan
<math display="block">\begin{align}
:<math> r_1 + r_2 + r_3 = -\frac{b}{a}, \quad r_1 r_2 + r_1 r_3 + r_2 r_3 = \frac{c}{a}, \quad r_1 r_2 r_3 = -\frac{d}{a}.</math>
r_1 + r_2 + r_3 &= -\frac{b}{a} \\
r_1 r_2 + r_1 r_3 + r_2 r_3 &= \frac{c}{a} \\
r_1 r_2 r_3 &= -\frac{d}{a}
\end{align}</math>
 
== Bukti ==
=== Pemecahan Masalah Rumus Vieta ===
=== Bukti langsung ===
{{Periksa terjemahan}}
Menurut [[teorema dasar aljabar]], jika <math>x_1, \, x_2, \, \ldots, \, x_n</math> merupakan akar-akar dari polinomial
Menunjukkan bahwa
<math display="block">P(x) = a_n x^n + a_{n - 1} x^{n - 1} + \cdots + a_1 x + a_0</math>
maka <math>P(x)</math> dapat dinyatakan sebagai
<math display="block">P(x) = a_n \left( x - x_1 \right) \left( x - x_2 \right) \cdot \ldots \cdot \left( x - x_n \right)</math>
Akibatnya, diperoleh persamaan
<math display="block">a_n x^n + a_{n - 1} x^{n - 1} + \cdots + a_1 x + a_0 = a_n \left( x - x_1 \right) \left( x - x_2 \right) \cdot \ldots \cdot \left( x - x_n \right)</math>
Rumus Vieta dapat [[Pembuktian matematika|dibuktikan]] dengan menjabarkan ekspresi di ruas kanan, dan membandingkan koefisien dari masing-masing pangkat dari <math>x</math>.
 
Secara formal, jika ekspresi <math>\left( x - x_1 \right) \left( x - x_2 \right) \cdot \ldots \cdot \left( x - x_n \right)</math> dijabarkan, maka terdapat tepat <math>n</math> pilihan biner pada setiap suku (ikutkan <math>x</math> atau <math>- x_i</math>). Jika <math>k</math> pilihan digunakan untuk memilih <math>x</math> sebagai faktor pada suku hasil penjabarannya, maka sisa <math>n - k</math> faktor lainnya haruslah <math>- x_i</math>. Akibatnya, suku yang diperoleh memiliki bentuk umum <math>\left( -1 \right)^{n - k} \left( x_1 \right)^{b_1} \left( x_2 \right)^{b_2} \cdot \ldots \cdot \left( r_n \right)^{b_n} x^k</math>, dengan <math>b_i</math> bernilai 0 atau 1, tergantung apakah <math>r_i</math> menjadi bagian dari hasil kali atau tidak. Secara geometris, hal ini dapat diartikan sebagai simpul dari suatu hiperkubus. Pengelompokkan suku-suku yang sama berdasarkan derajat <math>x</math> nya akan menghasilkan polinomial simetris elementer dalam <math>x_i</math>.
<math>\sum_{j=1}^n \cot^2\Big(\tfrac{j \pi}{2n+1}\Big) \; = \; \tfrac13n(2n-1)</math>
 
=== Induksi matematika ===
untuk bilangan bulat apa pun <math>n \ge 1</math>
Rumus-rumus Vieta juga dapat dibuktikan menggunakan [[Induksi matematika|induksi]] sebagai berikut.
 
==== Hipotesis ====
Dengan ini yang pertama dengan menggunakan [[teorema De-Moivre]] untuk bilangan bulat positif {{math|''m''}}:
Misalkan
 
# <math>P(x)</math> adalah polinomial berderajat <math>n</math>
<math>\begin{aligned} (\cos x+i\sin x)^m&=\cos mx+i\sin mx\\ \frac{\cos mx+i\sin mx}{\sin^m x}&=(\cot x+i)^m\\ &=\cot^m x+\binom{m}{1}\cot^{m-1}(x)i+\cdots+\binom{m}{m-1}\cot(x)i^{m-1} + i^m. \end{aligned}</math>
# <math>P(x)</math> memiliki akar-akar kompleks <math>\left\{ x_1, \, x_2, \, \ldots, \, x_n \right\}</math>
 
# <math>P(x)</math> memiliki koefisien kompleks <math>\left\{ a_0, \, a_1, \, a_2, \, \ldots, \, a_n \right\}</math>, dengan <math>a_n \neq 0</math>
Saat dapat mengelompokkan RHS sebagai berikut sejak kami memilikinya <math>i^2=-1</math>:
maka
 
<math display="block">\textP(x) = a_n x^n + a_{RHSn - 1} x^{n - 1} + \ldots + a_1 x + a_0 = a_n \left(\cot^m x^n - \binom{m}{2}left( x_1 + x_2 + \cotldots + x_n \right) x^{mn -2 1} x+ \cdots, \right)ldots \, +i \left(\binom{m}{ -1} \cotright)^{m-1}x-n x_1 x_2 \binom{m}{3}cdot \cot^{m-3}ldots x+\cdotscdot x_n \right).</math>
==== Kasus dasar (n = 2) ====
 
Menurut teorema dasar aljabar, maka diperoleh persamaan
Menyamakan bagian imajiner di kiri dan kanan, kita dapatkan
<math display="block">a_2 x^2 + a_1 x + a_0 = a_2 \left( x - x_1 \right) \left( x - x_2 \right)</math>
 
Dengan menggunakan [[sifat distributif]], diperoleh
<math>\binom{m}{1}\cot^{m-1}x-\binom{m}{3}\cot^{m-3}x+\cdots = \frac{\sin mx}{\sin^m x}.</math>
<math display="block">\begin{align}
 
a_2 x^2 + a_1 x + a_0 &= a_2 \left( x - x_1 \right) \left( x - x_2 \right) \\
Membiarkan nilai <math>\cot^2 x = u,</math> maka persamaannya dalam ''u'' dan jumlah akarnya diberikan oleh <math>\displaystyle \frac{\binom{2n+1}{3}}{\binom{2n+1}{1}}</math> seperti yang kita ketahui dari formula Vieta. Sejak nilai <math>x=\frac{j\pi}{2n+1},x=
&= a_2 \left( x - x_1 x - x_2 x + x_1 x_2 \right) \\
2n+1</math>
&= a_2 \left( x - \left( x_1 + x_2 \right) x + x_1 x_2 \right)
 
\end{align}</math>
<math>\begin{aligned} \sum_{j=1}^{n}\cot^2 \frac{j\pi}{2n+1} &= \frac{\binom{2n+1}{3}}{\binom{2n+1}{1}}\\ &= \frac{1}{6}2n(2n-1)\\ &= \frac{1}{3}n(2n-1). \ _\square \end{aligned}</math>
sehingga kasus dasar terbukti.
 
==== KeteranganLangkah induksi ====
Diasumsikan hipotesisnya bernilai benar untuk suatu nilai <math>n = k</math>, dengan <math>k \geq 2</math>. Akan diperiksa kebenaran hipotesis untuk <math>n = k + 1</math>.
Rumus Vieta dapat dibuktikan dengan memperluas persamaan:
<math display="block">P(x) = a_{n + 1} x^{n + 1} + a_n x^n + a_{n - 1} x^{n - 1} + \ldots + a_1 x + a_0</math>
 
Berdasarkan [[teorema faktor]], maka <math>\left( x - x_{n + 1} \right)</math> dapat difaktorkan dari <math>P(x)</math>, dengan sisa bagi 0. Hal ini mengakibatkan
: <math>a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} +\cdots + a_1 x+ a_0 = a_n(x-r_1)(x-r_2)\cdots (x-r_n)</math>
<math display="block">\begin{align}
 
P(x) &= a_{n + 1} x^{n + 1} + a_n x^n + a_{n - 1} x^{n - 1} + \ldots + a_1 x + a_0 \\
(yang benar yaitu nilai <math>r_1, r_2, \dots, r_n</math> apakah semua akar dari polinomial ini), mengalikan faktor-faktor dari sisi kanan, dan mengidentifikasi koefisien dari masing-masing pangkat <math>x.</math>
&= a_{n + 1} \left( x^{n + 1} + \dfrac{a_n}{a_{n + 1}} x^n + \dfrac{a_{n - 1}}{a_{n + 1}} x^{n - 1} + \ldots + \dfrac{a_1}{a_{n + 1}} x + \dfrac{a_0}{a_{n + 1}} \right) \\
 
&= a_{n + 1} \left( x - x_{n + 1} \right) \cdot \dfrac{x^{n + 1} + \tfrac{a_n}{a_{n + 1}} x^n + \tfrac{a_{n - 1}}{a_{n + 1}} x^{n - 1} + \ldots + \tfrac{a_1}{a_{n + 1}} x + \tfrac{a_0}{a_{n + 1}}}{x - x_{n + 1}} \\
Secara formal, jika ada yang mengembang pada nilai <math>(x-r_1)(x-r_2)\cdots(x-r_n),</math> istilahnya adalah nilai <math>(-1)^{n-k}r_1^{b_1}\cdots r_n^{b_n} x^k,</math> darimana nilai <math>b_i</math> adalah 0 atau 1, sesuai dengan apakah <math>r_i</math> termasuk dalam produk atau tidak, dan '' k '' adalah jumlah pada nilai <math>r_i</math> hal yang ini tidak seharusnya digunakan, jadi jumlah total faktor dalam produk adalah ''n'' (dengan perhitungan ''<math>x^k</math>'' dengan keserbaragaman ''k'') sebagaimana adanya nilai ''n'' pilihan biner (yang termasuk perhitungan <math>r_i</math> atau ''x''), dan <math>2^n</math> istilah tersebut dapat dicari dalam bentuk geometris, hal ini dapat memahami sebagai simpul dari [[kubusganda]]. Mengelompokkan persamaan tersebut berdasarkan derajat menghasilkan polinomial simetris dasar di <math>r_i</math> untuk nilai ''x<sup>k</sup>,'' mendapatkan semua produk lipat pada nilai ''k'' yang berbeda dari <math>r_i.</math>
&= a_{n + 1} \left( x - x_{n + 1} \right) \left( x^n + c_{n - 1} x^{n - 1} + \, \ldots \, + c_1 x + c_0 \right) \\
&= a_{n + 1} \left( x - x_{n + 1} \right) \left( x^n - \left( x_1 + x_2 + \ldots + x_n \right) x^{n - 1} + \, \ldots \, + \left( -1 \right)^n x_1 x_2 \cdot \ldots \cdot x_n \right) \\
&= a_{n + 1} \left( x \left( x^n - \left( x_1 + x_2 + \ldots + x_n \right) x^{n - 1} + \, \ldots \, + \left( -1 \right)^n x_1 x_2 \cdot \ldots \cdot x_n \right) \right. \\
&\phantom{= a_{n + 1}} \left. - x_{n + 1} \left( x^n - \left( x_1 + x_2 + \ldots + x_n \right) x^{n - 1} + \, \ldots \, + \left( -1 \right)^n x_1 x_2 \cdot \ldots \cdot x_n \right) \right) \\
&= a_{n + 1} \left( x^{n + 1} - \left( x_1 + x_2 + \ldots + x_n + x_{n + 1} \right) x^n + \ldots + \left( -1 \right)^{n + 1} x_1 x_2 \cdot \ldots \cdot x_n x_{n + 1} \right)
\end{align}</math>
==== Kesimpulan ====
Oleh karena hipotesisnya bernilai benar untuk kasus <math>n = k + 1</math>, maka hipotesisnya bernilai benar untuk sembarang <math>n \in \mathbb{N} \setminus \left\{ 1 \right\}</math>.
<math display="block">a_n x^n + a_{n - 1} x^{n - 1} + \ldots + a_1 x + a_0 = a_n \left( x^n - \left( x_1 + x_2 + \ldots + x_n \right) x^{n - 1} + \, \ldots \, + \left( -1 \right)^n x_1 x_2 \cdot \ldots \cdot x_n \right)</math>
Dengan membagi kedua ruas dengan <math>x_n</math>, maka kebenaran rumus-rumus Vieta terbukti.
 
== Sejarah ==
SepertiSesuai yang tercermin dalamdengan namanya, rumus-rumus tersebutini ditemukan oleh [[ahli matematikamatematikawan]] asal [[Prancis]] abad ke-16 [[François Viète]], untuk kasus akar positif.
 
Menurut pendapat ahli matematikamatematikawan asal [[Inggris]] abad ke-18 [[Charles Hutton]], seperti yang dikutip oleh Funkhouser,<ref>{{Harv|Funkhouser|1930}}</ref> prinsip utama (tidak hanya untuk akar nyatariil positif) pertama kali dipahami oleh ahli matematikamatematikawan Prancis abad ke-17 [[Albert Girard]]:
<blockquote>...[Girard wasialah] orang pertama yang memahami doktrin umum dari pembentukan koefisien kekuatanpangkat dari jumlahjumlahan akar-akar danbeserta produknyahasil kalinya. Dia adalah orang pertama yang menemukan aturan untuk summenjumlahan perpangkatan akar-akar dari sembarang persamaan.</blockquote>
 
== Lihat pulajuga ==
{{Portal|Matematika}}
*[[Lompat Akar Vieta]]
* [[Bagian primitif dan konten]]
*[[:Portal:Matematika/TopikMatematika]]
* [[Aturan tanda Descartes]]
* [[Identitas Newton]]
* [[Teorema Gauss-Lucas]]
* [[Sifat geometris dari akar polinomial]]
* [[Teorema akar rasional]]
* [[Polinomial simetris]] dan [[polinomial simetri elementer]]
 
== Referensi ==
{{Reflist}}
* {{springer|title=Teorema Viète|id=p/v096630}}
* {{Citation
| first = H. Gray
| last = Funkhouser
| authorlink = Howard G. Funkhouser
| title = A short account of the history of symmetric functions of roots of equations
| trans-title = Penjelasan singkat tentang sejarah fungsi simetris dari akar persamaan
| journal = American Mathematical Monthly
| year = 1930
| volume = 37
| issue = 7
| pages = 357–365
| doi = 10.2307/2299273
| jstor = 2299273
| publisher = Mathematical Association of America }}
* {{Citation
| last = Vinberg
| first = E. B.
| authorlink = Ernest Vinberg
| title = A course in algebra
| trans-title = Kursus aljabar
| lang = en
| publisher = American Mathematical Society, Providence, R.I
| year = 2003
| pages =
| isbn = 0-8218-3413-4}}
* {{Citation
| last = Djukić
| first = Dušan
| title = The IMO compendium: a collection of problems suggested for the International Mathematical Olympiads, 1959–2004
| trans-title = Ringkasan IMO: kumpulan masalah yang disarankan untuk Olimpiade Matematika Internasional, 1959–2004
| lang = en
| publisher = Springer, New York, NY
| year = 2006
| pages =
| isbn = 0-387-24299-6
| display-authors = etal}}
 
== Pranala luar ==
* {{Citation
* {{Citation|title=Rumus Viète di Brilliant.org|url=https://brilliant.org/wiki/vietas-formula/?subtopic=advanced-polynomials&chapter=vietas-formula-2}}
| title = Vieta's Formula
*{{springer|title=Teorema Viète|id=p/v096630}}
| url = https://brilliant.org/wiki/vietas-formula
* {{Citation| first= H. Gray | last=Funkhouser | authorlink = Howard G. Funkhouser | title=Penjelasan singkat tentang sejarah fungsi simetris dari akar persamaan | journal=Bulanan Matematika Amerika | year=1930 | volume= 37 | issue=7 | pages=357–365 | doi=10.2307/2299273| jstor= 2299273| publisher= Mathematical Association of America }}
| trans-title = Rumus Vieta
*{{Citation
| lastlang = Vinbergen}}
| first = E. B.
| authorlink= Ernest Vinberg
| title = Kursus aljabar
| publisher = American Mathematical Society, Providence, R.I
| year = 2003
| pages =
| isbn = 0-8218-3413-4
}}
 
*{{Citation
| last = Djukić
| first = Dušan| title = Ringkasan IMO: kumpulan masalah yang disarankan untuk Olimpiade Matematika Internasional, 1959–2004
| publisher = Springer, New York, NY
| year = 2006
| pages =
| isbn = 0-387-24299-6
|display-authors=etal}}
 
{{Kategori:Aljabar|*}}
 
{{Authority control}}
 
{{DEFAULTSORT:Viete's Formulas}}
[[Kategori:Artikel yang memuat pembuktian]]
[[Kategori:Polinomial]]
[[Kategori:Aljabar elementer]]
Diperoleh dari "https://wiki-indonesia.club/wiki/Rumus_Vieta"