Titik akumulasi: Perbedaan antara revisi
Konten dihapus Konten ditambahkan
k clean up |
Memperbaharui halaman "Titik akumulasi" Tag: Suntingan visualeditor-wikitext pranala ke halaman disambiguasi |
||
| (4 revisi perantara oleh 3 pengguna tidak ditampilkan) | |||
Baris 1:
{{Short description|Titik gugus pada ruang topologis}}
{{redirect|Titik limit|penggunaan dimana kata "titik" bersifat opsional|Limit (matematika)|dan|Limit#Matematika}}
Dalam [[matematika]], '''titik limit'''<ref>{{cite web
| url = https://pasti.kemdikbud.go.id/istilah_listdet.php?id=48475&char=L&page=60
| website = Pasti (Padanan Istilah)
| title = limit point
| publisher = Badan Pengembangan dan Pembinaan Bahasa
| access-date = 9 Desember 2024
}}</ref>, '''titik akumulasi'''<ref>{{cite web
| url = https://pasti.kemdikbud.go.id/istilah_listdet.php?id=44070&char=A&page=24
| website = Pasti (Padanan Istilah)
| title = accumulation point
| publisher = Badan Pengembangan dan Pembinaan Bahasa
| access-date = 9 Desember 2024
}}</ref>, atau '''titik gugus'''<ref>{{cite web
| url = https://pasti.kemdikbud.go.id/istilah_listdet.php?id=45349&char=C&page=136
| website = Pasti (Padanan Istilah)
| title = cluster point
| publisher = Badan Pengembangan dan Pembinaan Bahasa
| access-date = 9 Desember 2024
}}</ref> dari suatu [[himpunan (matematika)|himpunan]] <math>H</math> pada [[ruang topologis]] <math>X</math> adalah suatu titik <math>x</math> yang dapat "didekati" dengan titik-titik pada <math>H</math>, dalam artian bahwa setiap [[Lingkungan (matematika)|persekitaran]] dari <math>x</math> memuat titik dari <math>H</math> selain <math>x</math> itu sendiri. Titik limit dari himpunan <math>H</math> tidak harus termuat pada himpunan <math>H</math>.
Terdapat konsep yang berkaitan erat untuk [[barisan]]. '''Titik gugus''' atau '''titik akumulasi''' dari suatu [[barisan]] <math>\langle x_n \rangle</math> pada [[ruang topologis]] <math>X</math> adalah suatu titik <math>x</math> sedemikian sehingga, untuk setiap persekitaran <math>S</math> dari <math>x</math>, terdapat [[takhingga]] banyaknya [[bilangan asli]] <math>n</math> yang memenuhi <math>x_n \in S</math>. Definisi titik gugus atau titik akumulasi dari suatu barisan ini dapat diperumum untuk [[Jaring (matematika)|jaring]] dan [[Filter (teori himpunan)|filter]].
Konsep bernama serupa mengenai [[Limit barisan|<em>titik limit dari suatu barisan</em>]]{{sfn|Dugundji|1966|pp=209-210}} (berturut-turut, [[Filter (topologi)|titik limit dari suatu filter]]{{sfn|Bourbaki|1989|pp=68-83}}, [[Jaring (matematika)|titik limit dari suatu jaring]]) berdasarkan definisi, mengacu kepada suatu titik sedemikian sehingga [[limit barisan|barisannya konvergen]] (berturut-turut, [[Filter (topologi)|filternya konvergen]], [[Jaring (matematika)|jaringnya konvergen]]) ke titik tersebut. Walaupun "titik limit dari suatu himpunan" bersinonim dengan "titik gugus/akumulasi dari suatu himpunan", hal ini tidaklah berlaku untuk barisan (maupun jaring ataupun filter). Dengan kata lain, "titik limit dari suatu barisan" <em>bukanlah</em> sinonim dari "titik gugus/akumulasi dari suatu barisan".
Titik limit jangan dikelirukan dengan [[titik adheren]] (yang dikenal juga sebagai titik [[Ketertutupan (topologi)|penutup]]), yaitu suatu titik <math>x</math> yang setiap persekitarannya memuat ''suatu'' titik dari himpunan <math>H</math>. Berbeda dengan titik limit, titik adheren <math>x</math> pada <math>H</math> mungkin saja memiliki suatu persekitaran yang tidak memuat titik selain <math>x</math> itu sendiri. Titik limit dapat [[karakterisasi (matematika)|dikarakterkan]] sebagai titik adheren yang bukan merupakan [[titik terisolasi]].
Titik limit juga jangan dikelirukan dengan [[batas (topologi)|titik batas]]. Sebagai contoh, <math>0</math> merupakan titik batas (namun bukan merupakan titik limit) dari [[singleton (matematika)|singleton]] <math>\left\{ 0 \right\}</math> pada [[garis bilangan|<math>\mathbb{R}</math>]] dengan [[ruang koordinat riil#Sifat topologis|topologi baku]]. Di sisi lain, <math>\tfrac{1}{2}</math> merupakan titik limit (namun bukan merupakan titik batas) dari [[Selang (matematika)|selang]] <math>\left[ 0, \, 1 \right]</math> pada <math>\mathbb{R}</math> dengan topologi baku.<ref>{{Cite web
| date = 2021-01-13
| language = en
| title = Difference between boundary point & limit point.
| trans-title = Perbedaan antara titik batas & titik limit.
| url = https://math.stackexchange.com/a/1290541}}</ref><ref>{{Cite web
| date = 2021-01-13
| title = What is a limit point
| trans-title = Apa itu titik limit
| language = en
| url = https://math.stackexchange.com/a/663768}}</ref><ref>{{Cite web
| date = 2021-01-13
| title = Examples of Accumulation Points
| trans-title = Contoh dari titik akumulasi
| language = en
| url = https://www.bookofproofs.org/branches/examples-of-accumulation-points/
| access-date = 2021-01-14
| archive-date = 2021-04-21
| archive-url = https://web.archive.org/web/20210421215655/https://www.bookofproofs.org/branches/examples-of-accumulation-points/
| url-status = dead}}</ref> Untuk contoh titik limit yang tidak terlalu trivial, lihat takarir pertama.
Konsep ini memperumum gagasan [[limit (matematika)|limit]], dan menunjang pengertian konsep-konsep seperti [[himpunan tertutup]] dan [[Ketertutupan (topologi)|penutup himpunan]]. Suatu himpunan dikatakan tertutup [[jika dan hanya jika]] himpunan tersebut memuat semua titik limitnya, dan operasi penutup topologis dapat diartikan sebagai operasi yang memperkaya suatu himpunan dengan menggabungkan himpunan tersebut dengan titik-titik limitnya.
== Definisi ==
=== Titik akumulasi dari himpunan ===
[[File:Rational sequence with 2 accumulation points.svg|thumb|400px|Terhadap [[Ruang topologis#Contoh-contoh ruang topologis|topologi Euklides]], barisan [[bilangan rasional]] <math>x_n = \left( -1 \right)^n \dfrac{n}{n + 1}</math> tidak memiliki [[Limit barisan#Ruang topologis|limit]] (dengan kata lain, barisannya tidak konvergen), namun memiliki dua titik akumulasi (yang dianggap sebagai ''titik limit'' disini), yaitu <math>-1</math> dan <math>1</math>. Akibatnya, dengan memandang suku barisannya sebagai suatu himpunan, kedua titik ini merupakan titik limit dari himpunan <math>H = \left\{ \left. \left( -1 \right)^n \dfrac{n}{n + 1} \; \right| \, n \in \mathbb{N} \right\}</math>.]]
Misalkan <math>H</math> adalah himpunan bagian dari [[ruang topologis]] <math>X</math>. Suatu titik <math>x \in X</math> disebut sebagai '''titik limit''' atau '''titik gugus''' atau {{Visible anchor|'''titik akumulasi dari himpunan'''}} <math>H</math> jika setiap [[lingkungan (matematika)|persekitaran]] dari <math>x</math> memuat setidaknya satu titik pada <math>H</math> selain <math>x</math> itu sendiri.
Perhatikan
[[File:Diagonal argument.svg|thumb|Sebuah barisan yang [[enumerasi|mencacah]] semua [[bilangan rasional]] positif. Setiap [[bilangan riil]] merupakan titik gugus.]]
Jika <math>X</math> merupakan [[ruang T1|ruang <math>T_1</math>]] (seperti [[ruang metrik]]), maka <math>x \in X</math> merupakan titik limit dari <math>H</math> [[jika dan hanya jika]] setiap persekitaran dari <math>x</math> memuat takhingga banyaknya titik pada <math>H</math>.{{sfn|Munkres|2000|pp=97-102}} Faktanya, ruang <math>T_1</math> [[karakterisasi (matematika)|dikarakterkan]] oleh sifat ini.
Jika <math>X</math> merupakan [[ruang metrik]] atau [[ruang pertama-terhitung]] (atau secara umum, [[ruang Fréchet–Urysohn]]), maka <math>x \in X</math> merupakan titik limit dari <math>H</math> [[jika dan hanya jika]] terdapat suatu [[barisan]] titik-titik pada <math>H \setminus \left\{ x \right\}</math> yang [[limit barisan|limitnya]] ialah <math>x</math>. Faktanya, ruang Fréchet–Urysohn [[karakterisasi (matematika)|dikarakterkan]] oleh sifat ini.
Himpunan seluruh titik limit dari <math>H</math> disebut [[Himpunan turunan (matematika)|himpunan turunan]] dari <math>H</math>.
Titik akumulasi dapat dibedakan menjadi beberapa jenis, diantaranya:
# Jika setiap persekitaran dari titik <math>x</math> memuat [[takhingga]] banyaknya titik pada <math>H</math>, maka <math>x</math> merupakan titik limit berjenis khusus yang disebut '''{{visible anchor|titik akumulasi ω}}''' dari <math>H</math>.
# Jika setiap persekitaran dari titik <math>x</math> memuat [[himpunan taktercacah|takterhitung banyaknya]] titik pada <math>H</math>, maka <math>x</math> merupakan titik limit berjenis khusus yang disebut '''[[titik kondensasi]]''' dari <math>H</math>.
# Jika [[irisan (teori himpunan)|irisan]] dari himpunan <math>H</math> dengan setiap persekitaran dari titik <math>x</math> memiliki [[kardinalitas]] yang sama dengan kardinalitas <math>H</math>, maka <math>x</math> merupakan titik limit berjenis khusus yang disebut '''{{visible anchor|titik akumulasi lengkap}}''' dari <math>H</math>.
=== Titik akumulasi dari barisan dan jaring ===
{{anchor|Titik akumulasi barisan|Titik gugus dari barisan dan jaring}}
{{See also|Jaring (matematika)#Titik gugus dari jaring|Filter (topologi)#Kekonvergenan, limit, dan titik gugus}}
Dalam ruang topologis <math>X</math>, titik <math>x \in X</math> disebut sebagai '''{{visible anchor|titik gugus dari suatu barisan|text=titik gugus}}''' atau '''{{visible anchor|titik akumulasi dari suatu barisan}}''' <math>\langle x_n \rangle</math> jika untuk setiap [[lingkungan (matematika)|persekitaran]] <math>S</math> dari <math>x</math>, terdapat takhingga banyaknya <math>n \in \mathbb{N}</math> sedemikian sehingga <math>x_n \in S</math>. Hal ini setara dengan mengatakan bahwa untuk setiap persekitaran <math>S</math> dari <math>x</math> dan untuk setiap <math>k \in \mathbb{N}</math>, terdapat suatu <math>n \geq k</math> sedemikian sehingga <math>x_n \in S</math>. Jika <math>X</math> merupakan [[ruang metrik]] atau [[ruang pertama-terhitung]] (atau secara umum, [[ruang Fréchet–Urysohn]]), maka <math>x</math> merupakan titik gugus dari <math>\langle x_n \rangle</math> jika dan hanya jika <math>x</math> merupakan limit dari suatu [[subbarisan]] dari <math>\langle x_n \rangle</math>. Himpunan semuaa titik-titik gugus dari suatu barisan dikenal sebagai [[himpunan limit]].
Perhatikan bahwa sudah terdapat gagasan mengenai [[Limit barisan#Ruang topologis|limit barisan]], yaitu suatu titik <math>x</math> dimana barisan tersebut konvergen (yaitu, setiap persekitaran dari <math>x</math> memuat seluruh kecuali berhingga banyaknya elemen barisannya). Itulah mengapa istilah <em>titik limit</em> dari suatu barisan bukanlah sinonim dari titik akumulasi dari barisan.
Konsep [[Jaring (matematika)|jaring]] memperumum konsep [[barisan]]. Jaring merupakan suatu fungsi <math>j : \left( P, \, \leq \right) \to \left( X, \, T \right)</math> dengan <math>\left( P, \, \leq \right)</math> merupakan [[himpunan berarah]] dan <math>\left( X, \, T \right)</math> merupakan ruang topologis. Suatu titik <math>x \in X</math> disebut sebagai [[Jaring (matematika)|'''{{visible anchor|titik gugus dari suatu jaring|text=titik gugus}}''']] atau [[Jaring (matematika)|'''{{visible anchor|titik akumulasi dari suatu jaring}}''']] <math>j</math> jika, untuk setiap [[lingkungan (matematika)|persekitaran]] <math>S</math> dari titik <math>x</math> dan untuk setiap <math>p \in P</math>, terdapat suatu <math>q \geq p</math> sedemikian sehingga <math>j \! \left( q \right) \in S</math>, atau secara ekuivalen, jika <math>j</math> memiliki [[subjaringan (matematika)|subjaringan]] yang konvergen ke <math>x</math>. Titik gugus pada jaring mencakup gagasan mengenai titik kondensasi dan titik akumulasi ω. [[Filter (topologi)|Penggugusan]] dan [[Filter (topologi)|titik limit]] juga dapat didefinisikan untuk [[Filter (teori himpunan)|filter]].
== Sifat-sifat ==
Setiap [[Limit barisan#Ruang topologis|limit]] dari barisan tak konstan merupakan titik akumulasi dari barisan tersebut, dan berdasarkan definisi, setiap titik limit merupakan [[titik adheren]].
Penutup dari himpunan <math>H</math> (yang ditulis sebagai <math>\overline{H}</math>) merupakan [[gabungan lepas]] dari himpunan titik-titik limitnya beserta himpunan [[titik terisolasi|titik-titik terisolasinya]]. Secara matematis, maka
<math display="block">\overline{H} = L \! \left( H \right) \cup I \! \left( H \right) \qquad \text{dan} \qquad L \! \left( H \right) \cap I \! \left( H \right) = \varnothing</math>
{{math theorem
| name = Sifat 1
| math_statement = Suatu titik <math>x \in X</math> merupakan titik limit dari <math>H \subseteq X</math> jika dan hanya jika <math>x</math> termuat pada [[Ketertutupan (topologi)|penutup]] dari <math>H \setminus \left\{ x \right\}</math>.}}
{{math proof | proof =
Diambil sembarang <math>H \subseteq X</math> dan sembarang titik <math>x \in X</math>. Akan digunakan definisi penutup suatu himpunan berdasarkan persekitaran: suatu titik <math>x \in X</math> adalah anggota dari <math>\overline{H}</math> jika dan hanya jika setiap persekitaran dari <math>x</math> memuat titik pada <math>H</math>, yang secara matematis dapat ditulis sebagai
<math display="block">\overline{H} = H \cup \partial H</math>
dengan <math>\partial H</math> menyatakan [[batas (topologi)|batas]] dari himpunan <math>H</math>.
'''Bagian 1.''' Jika <math>x</math> merupakan titik limit dari <math>H</math>, maka berdasarkan definisi dari titik limit, setiap persekitaran dari <math>x</math> memuat titik pada <math>H</math> selain <math>x</math> itu sendiri. Dengan kata lain, setiap persekitaran dari <math>x</math> memuat titik pada <math>H \setminus \left\{ x \right\}</math>. Berdasarkan definisi dari penutup himpunan, maka terbukti bahwa <math>x</math> termuat pada penutup dari <math>H \setminus \left\{ x \right\}</math>.
'''Bagian 2.''' Jika <math>x</math> termuat pada penutup dari <math>H \setminus \left\{ x \right\}</math>, maka berdasarkan definisi penutup himpunan, setiap persekitaran dari <math>x</math> memuat titik pada <math>H \setminus \left\{ x \right\}</math>. Dengan kata lain, setiap persekitaran dari <math>x</math> memuat titik pada <math>H</math> selain <math>x</math> itu sendiri. Berdasarkan definisi dari titik limit, maka terbukti bahwa <math>x</math> merupakan titik limit dari <math>H</math>.}}
Jika <math>L \! \left( H \right)</math> menyatakan himpunan titik-titik limit dari <math>H</math>, maka diperoleh [[karakterisasi (matematika)|karakterisasi]] lain dari penutup <math>H</math>. Karakterisasi ini terkadang digunakan sebagai ''definisi'' dari operator penutup himpunan.
{{math theorem
| name = Sifat 2
| math_statement = Penutup dari <math>H</math> merupakan [[gabungan (teori himpunan)|gabungan]] dari <math>H</math> dan <math>L \! \left( H \right)</math>. Secara simbolis, maka
<math display="block">\overline{H} = H \cup L \! \left( H \right)</math>}}
{{math proof | proof =
'''Bagian 1.''' Diambil sembarang <math>H \subseteq X</math> dan <math>x \in \overline{H}</math>. Akan dibuktikan bahwa <math>\overline{H} \subseteq H \cup L \! \left( H \right)</math>.
# Jika <math>x \in H</math>, maka pembuktiannya selesai.
# Jika <math>x \not \in H</math>, maka setiap persekitaran dari <math>x</math> memuat suatu titik pada <math>H</math>, dan titik ini bukanlah <math>x</math>. Dengan kata lain, <math>x</math> merupakan titik limit <math>H</math>, sehingga <math>x \in L \! \left( H \right)</math>.
Akibatnya, terbukti bahwa <math>\overline{H} \subseteq H \cup L \! \left( H \right)</math>.
'''Bagian 2.''' Diambil sembarang <math>H \subseteq X</math> dan <math>x \in H \cup L \! \left( H \right)</math>. Akan dibuktikan bahwa <math>H \cup L \! \left( H \right) \subseteq \overline{H}</math>.
# Jika <math>x \in H</math>, maka jelas bahwa setiap persekitaran dari <math>x</math> memuat suatu titik dari <math>H</math>. Berdasarkan definisi dari penutup himpunan, maka <math>x \in \overline{H}</math>.
# Jika <math>x \in L \! \left( H \right)</math>, maka berdasarkan definisi dari titik limit, setiap persekitaran dari <math>x</math> memuat suatu titik dari <math>H</math> selain dari <math>x</math> itu sendiri. Berdasarkan definisi dari penutup himpunan, maka <math>x \in \overline{H}</math>.
Pada kedua kasus di atas, maka terbukti bahwa <math>H \cup L \! \left( H \right) \subseteq \overline{H}</math>.}}
Akibat dari hasil di atas ialah [[karakterisasi (matematika)|karakterisasi]] lain dari himpunan tertutup, yang dinyatakan sebagai berikut
{{math theorem
| name = Sifat 3
| math_statement = Suatu himpunan <math>H \subseteq X</math> merupakan himpunan tertutup jika dan hanya jika <math>H</math> memuat seluruh titik-titik limitnya.}}
{{math proof | proof =
Diambil sembarang himpunan <math>H \subseteq X</math>. Akan digunakan definisi himpunan tertutup menggunakan penutup himpunan: suatu himpunan <math>H</math> merupakan himpunan tertutup jika dan hanya jika <math>H = \overline{H}</math>
'''Bagian 1.''' Jika himpunan <math>H</math> merupakan himpunan tertutup, maka
<math display="block">\begin{align}
H &= \overline{H} \\
&= H \cup L \! \left( H \right)
\end{align}</math>
Akibatnya, <math>L \! \left( H \right) \subseteq H</math>, yang berarti himpunan <math>H</math> memuat seluruh titik-titik limitnya.
'''Bagian 2.''' Jika himpunan <math>H</math> memuat seluruh titik-titik limitnya, maka <math>L \! \left( H \right) \subseteq H</math>. Akibatnya,
<math display="block">\begin{align}
H \cup L \! \left( H \right) &= H \\
\overline{H} &= H
\end{align}</math>
sehingga himpunan <math>H</math> merupakan himpunan tertutup.}}
{{math theorem
| name = Sifat 4
| math_statement = [[titik terisolasi]] bukanlah titik limit dari himpunan manapun.}}
{{math proof | Definisi dari titik terisolasi merupakan [[negasi]] dari definisi titik limit.
Untuk setiap himpunan <math>H \subseteq X</math> dan sembarang titik <math>x \in H</math>, pernyataan "terdapat suatu persekitaran dari titik <math>x</math> yang tidak memuat titik lain pada <math>H</math>" merupakan negasi dari "setiap persekitaran dari titik <math>x</math> memuat titik lain pada <math>H</math>". Secara simbolis, maka
<math display="block">\underbrace{\left( \exists S_x \right) \left( S_x \cap H = \left\{ x \right\} \right)}_{\text{definisi titik terisolasi}} = \neg \; \underbrace{\left( \left( \forall S_x \right) \left( S_x \cap H \neq \left\{ x \right\} \right) \right)}_{\text{definisi titik limit}}</math>}}
{{math theorem
| name = Sifat 5
| math_statement = Suatu ruang <math>X</math> merupakan [[ruang diskret]] jika dan hanya jika tidak ada himpunan bagian dari <math>X</math> yang memiliki titik limit.}}
{{math proof | proof =
'''Bagian 1.''' Jika <math>X</math> merupakan ruang diskret, maka berdasarkan definisi, setiap [[singleton (matematika)|singleton]] merupakan himpunan terbuka. Berdasarkan definisi dari titik terisolasi, suatu titik <math>x</math> dikatakan sebagai titik terisolasi pada himpunan <math>H \subseteq X</math> jika terdapat suatu himpunan terbuka <math>B</math> sedemikian sehingga <math>B \cap H = \left\{ x \right\}</math>. Dengan memilih <math>B = \left\{ x \right\}</math> dan <math>H = X</math>, maka setiap titik <math>x \in X</math> merupakan titik terisolasi. Akibatnya, <math>x</math> bukanlah titik limit dari himpunan manapun.
'''Bagian 2.''' Jika <math>X</math> bukan merupakan ruang diskret, maka maka berdasarkan definisi, terdapat suatu singleton <math>\left\{ x \right\}</math> yang tidak terbuka. Misalkan <math>S</math> adalah persekitaran terbuka dari <math>\left\{ x \right\}</math>. Andaikan <math>S</math> tidak memuat titik lain selain <math>x</math>, maka <math display="block">S = \left\{ x \right\}</math> Akan tetapi, himpunan <math>S</math> merupakan himpunan terbuka, sedangkan diketahui bahwa singleton <math>\left\{ x \right\}</math> tidak terbuka. Akibatnya, setiap persekitaran terbuka dari <math>\left\{ x \right\}</math> memuat suatu titik <math>p \neq x</math>. Berdasarkan definisi dari titik limit, maka <math>x</math> merupakan titik limit pada <math>X</math>.}}
== Lihat juga ==
{{Div col|colwidth=25em}}
* [[Titik adheren]]
* [[Titik kondensasi]]
* [[Filter (topologi)]]
* [[Himpunan turunan (matematika)]]
* [[Titik terisolasi]]
* [[Limit fungsi]]
* [[Limit barisan]]
* [[Limit subbarisan]]
{{div col end}}
== Rujukan ==
{{reflist|group=note}}
{{reflist}}
== Referensi ==
* {{
== Pranala luar ==
* {{planetmath reference|id=1240|title=limit point}}
{{Topologi}}
[[Kategori:Himpunan limit]]
[[Kategori:Topologi]]
[[Kategori:Topologi umum]]
| |||