Konstanta Apéry: Perbedaan antara revisi

|rationality=IrrationalIrasional

Dalam [[matematika]], '''konstanta Apéry''' adalah [[penjumlahan|jumlah]] dari invers perkalian denagan pangkat kubik positif. Artinya, konstanta Apéry didefinisikan sebagai bilangan<math display="block">\begin{align}\zeta(3) &= \sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^3} \\&= \lim_{n \to \infty}\left(\frac{1}{1^3} + \frac{1}{2^3} + \cdots + \frac{1}{n^3}\right)\end{align}</math>dengan {{math|''ζ''}} adalah [[fungsi zeta Riemann]]. Bilangan ini memiliki nilai yang kira-kira sama dengan{{sfnp|Wedeniwski|2001}}

{{unsolved|matematika|Apakah konstanta Apéry adalah transendental?}}{{math|''ζ''(3)}} disebut sebagai konstanta Apéry, konstanta yang dinamai dari matematikawan berkebangsaan Prancis, [[Roger Apéry]]. Roger Apéry membuktikan bahwa konstanta itu adalah [[bilangan irasional]] pada tahun 1978.<ref name="Apery-1979">Lihat {{harvnb|Apéry|1979}}.</ref> Hasil tersebut dikenal sebagai [[teorema Apéry]]. Bukti aslinya rumit dan sulit dipahami,<ref>Lihat {{harvnb|van der Poorten|1979}}.</ref> tetapi kemudian ditemukan bukti yang lebih sederhana.<ref name="Beukers 1979">See {{harvnbharvtxt|Beukers|1979}}.</ref><ref>Lihat; {{harvnbharvtxt|Zudilin|2002}}.</ref>

Bukti irasionalitas Beuker yang disederhanakan melibatkan pendekatan integran dari integral rangkap tiga untuk <math>\zeta(3)</math>,<math display="block">\zeta(3) = \int_0^1 \int_0^1 \int_0^1 \frac{1}{1-xyz}\, dx\, dy\, dz,</math>

Selain mempunyai deret<math display="block">\zeta(3)=\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^3},</math>[[Leonhard Euler]] memberikan representasi deret{{sfnp|Euler|1773}}<math display="block">\zeta(3)=\frac{\pi^2}{7} \left( 1-4\sum_{k=1}^\infty \frac {\zeta (2k)} {2^{2k}(2k+1)(2k+2)} \right)</math>pada tahun 1772, yang kemudian ditemukan kembali berulang kali.{{sfnp|Srivastava|2000|loc=hlm. 571 (1.11)}}

Representasi deret berikut ditemukan oleh [[Andrey Markov]] pada tahun 1890,<ref>Lihat {{harvnb|Markov|1890}}.</ref> kemudian ditemukan kembali oleh Hjortnaes pada tahun 1953,<ref>Lihat {{harvnb|Hjortnaes|1953}}.</ref> dan sekali lagi, representasi deret tersebut ditemukan kembali dan diperkenalkan secara luas oleh Apéry pada tahun 1979:<ref name="Apery-1979" /><math display="block">\zeta(3) = \frac{5}{2} \sum_{k=1}^\infty (-1)^{k-1} \frac{k!^2}{(2k)!k^3}.</math>Representasi deret berikut ditemukan oleh Amdeberhan pada tahun 1996, yang memberikan (secara asimtotik) 1,43 dengan pembulatan letak desimal yang baruterbaru per suku:{{sfnp|Amdeberhan|1996}}<math display="block">\zeta(3) = \frac{1}{4} \sum_{k=1}^\infty (-1)^{k-1} \frac{(k-1)!^3(56k^2 - 32k + 5)}{(2k-1)^2(3k)!}.</math>

Representasi deret berikut ditemukan oleh Amdeberhan dan Zeilberger pada tahun 1997, yang memberikan (secara asimtotik) 3,01 dengan pembulatan letak desimal dengan yang baruterbaru per suku:{{sfnp|Amdeberhan|Zeilberger|1997}}<math display="block">\zeta(3) = \frac{1}{64} \sum_{k=0}^\infty (-1)^k \frac{k!^{10}(205k^2 + 250k + 77)}{(2k+1)!^5}.</math>

Representasi deret berikut ditemukan oleh Sebastian Wedeniwski pada tahun 1998, yang memberikan (secara asimtotik) 5,04 dengan pembulatan letak desimal yang baru per suku:<ref>Lihat {{harvnb|Wedeniwski|1998}} dan {{harvnb|Wedeniwski|2001}}. Dalam pesannya kepada Simon Plouffe, Sebastian Wedeniwski mengatakan bahwa ia mendapatkan rumus ini dari {{harvnb|Amdeberhan|Zeilberger|1997}}. Penemuannya pada tahun 1998 disebutkan dalam [http://plouffe.fr/simon/articles/TableofRecords.pdf Simon Plouffe's Table of Records] (8 April 2001).</ref><math display="block">\zeta(3) = \frac{1}{24} \sum_{k=0}^\infty (-1)^k \frac{(2k+1)!^3(2k)!^3k!^3(126392k^5 + 412708k^4 + 531578k^3 + 336367k^2 + 104000k + 12463)}{(3k+2)!(4k+3)!^3}.</math>Representasi deret ini digunakan oleh Wedeniwski untuk menghitung konstanta Apéry dengan beberapajutaan jutapembulatan tempatletak desimal.<ref>{{harvtxt|Wedeniwski|1998}}; yang benar{{harvtxt|Wedeniwski|2001}}.</ref>

Representasi deret berikut ditemukan oleh Mohamud Mohammed pada tahun 2005, yang memberikan (secara asimtotik) 3.,92 dengan pembulatan letak desimal desimal yang baruterbaru per suku:<ref>Lihat {{harvnb|Mohammed|2005}}.</ref><math display="block">\zeta(3) = \frac{1}{2}\,\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k(2k)!^3(k+1)!^6(40885k^5 + 124346k^4 + 150160k^3 + 89888k^2 + 26629k + 3116)}{(k+1)^2(3k+3)!^4}.</math>

Pada tahun 1998, Broadhurst memberikan wakilanrepresentasi deret yang memungkinkan menghitung [[digit biner]] sembarang, dan untuk konstanta yang akan diperoleh dalam [[waktu linier]] dekat, dan [[ruang logaritma]].<ref>Lihat {{harvnb|Broadhurst|1998}}.</ref>

Terdapat rumus lain, yaitu<ref>Lihat {{harvnbsfnp|Jensen|1895}}.</ref><math display="block">\zeta(3)=\pi\!\!\int_{0}^{\infty} \! \frac{\cos(2\arctan{x})}{\left(x^2+1\right)\left(\cosh\frac{1}{2}\pi x\right)^2}\, dx,</math>dan<ref name="{{sfnp|Beukers |1979" />}}<math display="block">\zeta(3) =-\frac{1}{2}\int_0^1 \!\!\int_0^1 \frac{\log(xy)}{\,1-xy\,}\, dx \, dy = -\int_0^1 \!\!\int_0^1 \frac{\log(1-xy)}{\,xy\,}\, dx \, dy.</math>

Rumus yang lebih rumit lainnya juga adalah:{{sfnp|Blagouchine|2014}}<math display="block">\begin{align} \zeta(3) &= \frac{8\pi^2}{7}\!\!\int_0^1 \! \frac{x\left(x^4-4x^2+1\right)\log\log\frac{1}{x}}{\,(1+x^2)^4\,}\, dx \\&= \frac{8\pi^2}{7}\!\!\int_1^\infty \!\frac{x\left(x^4-4x^2+1\right)\log\log{x}}{\,(1+x^2)^4\,}\, dx.\end{align}</math>Terdapat sebuah kaitan dengan turunan dari [[fungsi gamma]]<math display="block">\zeta(3) = -\tfrac{1}{2}\Gamma'''(1)+\tfrac{3}{2}\Gamma'(1)\Gamma''(1)- \big(\Gamma'(1)\big)^3 = -\tfrac{1}{2} \, \psi^{(2)}(1),</math>dan rumus tersebut juga sangat berguna untuk menghitung turunan dari berbagai representasi integral dengan menggunakan rumus integral yang diketahui untuk gamma dan [[fungsi poligamma]].{{sfnp|Evgrafov|Bezhanov|Sidorov|Fedoriuk|1969|loc=exercise 30.10.1}}

Selama beberapa dekade terakhir, jumlah digit yang diketahui dari konstanta Apéry {{math|''ζ''(3)}} semakin meningkat dengan pesatbanyak. Hal ini disebabkan karena peningkatan kinerja komputer dan algoritme yang berkembang.

| Desember 1998 ||align="right"| {{val|128000026}} || Sebastian Wedeniwski<ref name="{{sfnp|Wedeniwski |2001"/>}}

| Januari 21, Januari 2009 ||align="right"| {{val|15510000000}} || Alexander J. Yee & Raymond Chan<ref name="Yee-2009">Lihat {{harvnb|Yee|2009}}.</ref>

| Februari 15, Februari 2009 ||align="right"| {{val|31026000000}} || Alexander J. Yee & Raymond Chan<ref name="Yee-2009" />

| September 17, September 2010 ||align="right"| {{val|100000001000}} || Alexander J. Yee<ref name="Yee-2017">Lihat {{harvnb|Yee|2017}}.</ref>

| September 23, September 2013 ||align="right"| {{val|200000001000}} || Robert J. Setti<ref name="Yee-2017" />

| Agustus 7, Agustus 2015 ||align="right"| {{val|250000000000}} || Ron Watkins<ref name="Yee-2017" />

| Desember 21, Desember 2015 ||align="right"| {{val|400000000000}} || Dipanjan Nag<ref name="Nag-2015">Lihat {{harvnb|Nag|2015}}.</ref>

| Agustus 13, Agustus 2017 ||align="right"| {{val|500000000000}} || Ron Watkins<ref name="Yee-2017" />

| Mei 26, Mei 2019 ||align="right"| {{val|1000000000000}} || Ian Cutress<ref>{{Cite web|url=http://www.numberworld.org/y-cruncher/records.html|title=Records set by y-cruncher|access-date=June 8, 2019}}</ref>

| Juli 26, Juli 2020 ||align="right"| {{val|1200000000100}} || Seungmin Kim<ref>{{Cite web|url=http://www.numberworld.org/y-cruncher/|title=Records set by y-cruncher|archive-url=https://web.archive.org/web/20200810062250/http://www.numberworld.org/y-cruncher/|access-date=August 10, Agustus 2020|archive-date=2020-08-10}}</ref><ref>{{Cite web|url=https://smkm.github.io/world-record/aperys-constant/|title=Apéry's constant world record by Seungmin Kim|access-date=July 28, Juli 2020|archive-date=2020-08-03|archive-url=https://web.archive.org/web/20200803203946/https://smkm.github.io/world-record/aperys-constant/|dead-url=yes}}</ref>