Pengguna:Hadithfajri/Limit barisan: Perbedaan antara revisi
Konten dihapus Konten ditambahkan
Hadithfajri (bicara | kontrib) Tidak ada ringkasan suntingan |
Hadithfajri (bicara | kontrib) Tag: Suntingan visualeditor-wikitext |
||
| (8 revisi perantara oleh pengguna yang sama tidak ditampilkan) | |||
Baris 1:
== Limit barisan bilangan ==
Misalkan <math>(x_n)</math> suatu [[barisan]] tak hingga dari bilangan ([[Bilangan riil|riil]] atau [[Bilangan kompleks|kompleks]]). Suatu bilangan <math>L</math> adalah limit dari <math>(x_n)</math> apabila suku-suku barisan <math>(x_n)</math> semakin mendekati <math>L</math> saat <math>n</math> membesar tanpa batas<ref>{{Cite book|last=Ayres|first=Frank|last2=Mendelson|first2=Elliot|date=2006|title=Kalkulus|location=Jakarta|publisher=Penerbit Erlangga|translator-last=Nur Danarjaya, M.Sc.|url-status=live}}</ref>. Jika <math>L</math> adalah limit dari barisan <math>(x_n)</math> maka barisan tersebut dikatakan '''''konvergen''' ke <math>L</math>'' atau ''mempunyai limit <math>L</math>'' atau ''memusat pada bilangan <math>L</math><ref>{{Cite book|last=Panggabean|first=A.B|date=2014|title=Kalkulus Tingkat Lanjut|location=Yogyakarta|publisher=Graha Ilmu|isbn=978-602-262-264-2|url-status=live}}</ref
Secara lebih tepat, suatu bilangan <math>L</math> adalah limit dari barisan bilangan tak hingga <math>(x_n)</math> apabila berlaku<ref>{{Cite book|last=Martono|first=Koko|date=2000|title=Sari Informasi Fungsi Kompleks|location=Bandung|publisher=Himpunan Pegawai Matematika ITB|url-status=live}}</ref>
Baris 8:
yakni, untuk sebarang bilangan positif <math>\varepsilon</math>, dapat ditentukan <math>N</math> yang bergantung pada <math>\varepsilon</math> sedemikian rupa, sehingga untuk semua bilangan bulat positif <math>n>N</math> berlaku <math>\mid x_n-L\mid<\varepsilon</math>, dengan <math>\mid \cdot\mid</math> melambangkan [[Nilai absolut|nilai mutlak]] untuk bilangan riil dan [[Operasi modulus|nilai modulus]] untuk bilangan kompleks<ref>{{Cite book|last=Handali|first=Daniel|last2=Pamuntjak|first2=Rasyidin J.|date=2004|title=Kalkulus Perubah Banyak|location=Bandung|publisher=Penerbit ITB|isbn=979-3507-12-8|url-status=live}}</ref><ref>{{Cite book|last=Dedy|first=Endang|last2=Sumiyaty|first2=Encum|date=2019|title=Fungsi Variabel Kompleks|location=Jakarta|publisher=PT Bumi Aksara|isbn=978-602-444-713-7|url-status=live}}</ref>.
Notasi untuk barisan <math>(x_n)</math> yang konvergen menuju <math>L</math> ditulis sebagai <math>\lim_{n\to\infty}x_n=L</math>. Terkadang juga ditulis <math>x_n\to L</math><ref>{{Cite book|last=Endang Cahya|last2=Makbul Muksar|date=2011|title=Analisis Real|location=Tanggerang Selatan|publisher=Universitas Terbuka|isbn=978-979-011-674-0|url-status=live}}</ref>.<gallery mode="packed" heights="
Berkas:Folgenglieder im KOSY.svg|Contoh barisan yang konvergen ke <math>a</math>.
Berkas:Epsilonschlauch.svg|Untuk sebarang <math>\varepsilon > 0</math> yang dipilih, terdapat bilangan bulat <math>N_0</math>sedemikian sehingga seluruh nilai barisan dari suku ke-<math>N_0</math> sampai seterusnya berada di lingkungan <math>(a-\varepsilon,a+\varepsilon)</math>.
Baris 15:
</gallery>
=== Limit tak sebenarnya ===
Suatu barisan <math>(x_n)</math> dikatakan '''mendekati takhingga''', ditulis <math>x_n \to \infty</math> atau <math display="inline">\lim_{n\to\infty}x_n = \infty</math>, jika untuk setiap bilangan real ''<math>
K</math>'', terdapat suatu bilangan bulat <math>N</math> sedemikian sehingga untuk setiap <math>n \geq N</math>, <math>x_n > K</math>; yaitu, suku barisan pada akhirnya akan lebih besar daripada sembarang ''<math>
K</math>'' yang dipilih. Dengan cara yang serupa, <math>x_n \to -\infty</math> jika untuk setiap ''<math>
K</math>'', terdapat suatu ''<math>N</math>'' sehingga untuk setiap <math>n \geq N</math>, <math>x_n < K</math>.
Jika suatu barisan cenderung ke takhingga atau negatif takhingga, maka barisan tersebut adalah divergen. Namun, suatu barisan divergen bukanlah syarat perlu untuk suatu barisan mendekati takhingga atau negatif takhingga, seperti [[barisan tanda]] <math>x_n=(-1)^n</math>. Perilaku limit barisan divergen yang terbatas dapat ditelaah dengan memperhatikan [[barisan bagian|barisan bagiannya]], limit superior dan inferior, serta titik limit.
=== Contoh-contoh ===
* Jika <math>x_n = c</math> untuk suatu konstanta ''c'', maka <math>x_n \to c</math>.<ref group="bukti">''Bukti'': Pilih nilai <math>N = 1</math>. Untuk setiap <math>n \geq N</math>, <math>|x_n - c| = 0 < \epsilon</math></ref><ref name=":0">{{Cite web|title=Limit of Sequences {{!}} Brilliant Math & Science Wiki|url=https://brilliant.org/wiki/limits-of-sequences/|website=brilliant.org|language=Inggris Amerika|access-date=2020-08-18}}</ref>
* Jika <math>x_n = 1/{n}</math>, maka <math>x_n \to 0</math>.<ref group="bukti">''Bukti'': Pilih <math>N = \left\lfloor\frac1{\epsilon}\right\rfloor</math> + 1 ([[Fungsi bilangan bulat terbesar dan terkecil|fungsi lantai]]). Untuk setiap <math>n \geq N</math>, <math>|x_n - 0| \le x_N = \frac1{\lfloor1/\epsilon\rfloor + 1} < \epsilon</math>.</ref><ref name=":0" />
* Jika <math>x_n = 1/n</math> untuk <math>n</math> genap, dan <math display="inline">x_n = 1/{n^2}</math> untuk <math>n</math> ganjil, maka <math>x_n \to 0</math>. (Kenyataan bahwa <math>x_{n+1} > x_n</math> apabila <math>n</math> ganjil tidak penting.)
* Diberikan sebarang bilangan real; suatu barisan yang konvergen menuju suatu bilangan dapat dengan mudah dibangun dengan mengambil hampiran desimal. Misal, barisan <math>0.3, 0.33, 0.333, 0.3333, ...</math> konvergen menuju <math>1/3</math>. Perhatikan bahwa [[representasi desimal]] <math>0.3333...</math> adalah ''limit'' dari barisan sebelumnya, yang ditentukan oleh <math display="inline"> 0.3333...\triangleq\lim_{n\to\infty} \sum_{i=1}^n \frac{3}{10^i}</math>.
* Limit suatu barisan tidak selalu dapat ditemukan dengan mudah. Dua contohnya adalah <math display="inline">\lim_{n\to\infty}\left(1 + \frac1{n}\right)^n</math> (limitnya adalah [[E (konstanta matematika)|bilangan ''e'']]) dan [[purata aritmetika–geometrik]] (limitnya 13,458...). [[Teorema apit]] sering kali berguna dalam pencarian limit barisan yang sebegini.
=== Sifat-sifat ===
* Limit suatu barisan, apabila ada, adalah tunggal.
* Misal diketahui dua barisan konvergen <math>x_n\to L</math> dan <math>y_n\to M</math>,
** barisan hasil jumlah atau hasil pengurangan kedua barisan tersebut adalah konvergen pula, dan berturut-turut limitnya adalah jumlah atau selilsish limit dua barisan yang diketahui.
*:: <math> (x_n\pm y_n)\to L\pm M</math>
** barisan hasil kali kedua barisan tersebut adalah konvergen pula, dan limitnya adalah perkalian limit dua barisan yang diketahui.
*:: <math> (x_ny_n)\to LM</math>
** apabila <math>M\neq0 </math>, barisan hasil bagi kedua barisan tersebut adalah konvergen pula, dan limitnya adalah perkalian limit dua barisan yang diketahui.
*:: <math> \left(\frac{x_n}{y_n}\right)\to \frac{L}{M}</math>
* Jika <math>a_n \leq b_n</math> untuk semua <math>n</math> lebih besar dari suatu <math>N</math>, maka <math display="inline">\lim_{n\to\infty} a_n \leq \lim_{n\to\infty} b_n </math>.
* Jika <math>a_n \leq c_n \leq b_n</math> untuk semua <math>n > N</math>, dan <math display="inline">\lim_{n\to\infty} a_n = \lim_{n\to\infty} b_n = L</math>, maka <math display="inline">\lim_{n\to\infty} c_n = L</math>. ([[teorema apit]])
* Jika suatu barisan mempunyai limit, maka barisan itu [[Barisan#Barisan terbatas|terbatas]].
* Jika suatu barisan terbatas dan [[Barisan#Kemonotonan barisan|monoton]], maka barisan itu mempunyai limit (teorema kekonvergenan barisan monoton).
* Suatu barisan adalah konvergen jika dan hanya jika setiap [[Barisan bagian|barisan bagiannya]] konvergen.
== Limit barisan pada ruang metrik ==
| |||