Lipatan (matematika): Perbedaan antara revisi

[[Berkas:BoysSurfaceTopView.PNG|jmpl| [[Bidang proyektif nyata]] adalah manifoldlipatan dua dimensi yang tidak dapat terwujud dalam tiga dimensi tanpa swa-simpang (titik potong), sebagaimana ditampilkan dalam gambar ini, sering disebut ''[[Boy's surface]]''.]]

Dalam [[matematika]], '''manifoldlipatan''' adalah suatu [[ruang topologis]] yang secara lokal menyerupai [[ruang euklides]] di dekat setiap titiknya. Lebih tepatnya, setiap titik dalam ''n''-dimensi manifoldlipatan memiliki [[lingkungan (matematika)|lingkungan]] yang [[homeomorfis]] ke ruang Euklides dimensi ''n''.

ManifoldLipatan berdimensi-satu meliputi [[Garis (geometri)|garis]] dan [[lingkaran]], tetapi tidak termasuk [[Lemniscate|angka delapan]] (karena mereka memiliki ''titik persimpangan'' yang secara lokal tidak homeomorfis ke ruang Euklides berdimensi-1). ManifoldLipatan berdimensi-dua juga disebut [[Permukaan (topologi)|permukaan]]. Contohnya termasuk [[Bidang (geometri)|bidang]], [[sphere|bulatan]], dan [[torus]], yang semuanya dapat [[embedding|tertanam]] (terbentuk tanpa swa-simpang, atau tanpa titik potong) dalam ruang nyata tiga dimensi, tetapi juga termasuk [[Botol Klein]] dan [[bidang proyektif nyata]], yang akan selalu memiliki swa-simpang ketika [[Pencelupan (matematika)|terbenam]] dalam ruang tiga dimensi nyata.

Meskipun manifoldlipatan secara lokal menyerupai ruang Euklides, tetapi secara global tidaklah serupa. Misalnya, permukaan [[bola]] bukanlah sebuah ruang Euklides, tetapi dalam suatu daerah dapat dipetakan dengan [[proyeksi peta]] daerah itu ke dalam [[bidang euklides]] (dalam konteks manifoldlipatan mereka disebut ''[[Atlas (topologi)#Grafik|grafik]]''). Ketika suatu daerah muncul dalam dua grafik berdekatan, dua representasi tidak bertepatan persis dan transformasi yang diperlukan untuk melampaui dari satu ke yang lain disebut '' peta transisi ''.

Konsep manifoldlipatan adalah pusat dari banyak bidang [[geometri]] dan [[matematika fisikal]] modern. Karena konsep ini memungkinkan struktur yang lebih rumit untuk dijelaskan dan dipahami dalam sifat relatif yang dapat dipahami dari ruang Euklides. ManifoldLipatan secara alami muncul sebagai solusi set [[sistem persamaan]] dan sebagai [[Grafik fungsi|grafik]] fungsi. ManifoldLipatan mungkin memiliki fitur tambahan. Salah satu kelas penting dari manifoldlipatan adalah kelas [[manifoldlipatan terdiferensiasiterdiferensialkan]]. [[struktur terdiferensiasi]] ini memungkinkan penerapan [[kalkulus]] pada manifoldlipatan. Sebuah [[Metrik Riemannian]] pada manifoldlipatan memungkinkan [[jarak]] dan [[sudut]] diukur. [[ManifoldLipatan simplektik]] berfungsi sebagai [[ruang fase]] dalam [[mekanika Hamiltonian|formalisme Hamiltonian]] dalam [[mekanika klasik]], sedangkan model empat-dimensi [[ManifoldLipatan LorentzianLorentz]] adalah model [[ruang-waktu]] dalam [[relativitas umum]].