Pengguna:Dedhert.Jr/Uji halaman 01/7: Perbedaan antara revisi

Dalam [[geometri]], '''teorema Pick''' merupakan sebuah rumus luas [[poligon sederhana]] dengan koordinat vertekssimpul berupa bilangan bulat dengan menjumlahkan titik-titik bilangan bulat dalam poligon dan batasnya. Hasil teorema ini dijelaskan pertama kali oleh [[Georg Alexander Pick]] pada tahun 1899.<ref>[[Georg Alexander Pick|Pick, Georg]] (1899). [https://www.biodiversitylibrary.org/item/50207#page/327 "Geometrisches zur Zahlenlehre"]. ''Sitzungsberichte des deutschen naturwissenschaftlich-medicinischen Vereines für Böhmen "Lotos" in Prag''. (Neue Folge). '''19''': 311–319. JFM [https://zbmath.org/?format=complete&q=an:33.0216.01 33.0216.01]. [http://citebank.org/node/47270 CiteBank:47270]</ref> Teorema ini dipopulerkan dalam bahasa Inggris oleh [[Hugo Steinhaus]] dalam bukunya berjudul ''Mathematical Snapshots'', edisi tahun 1950.<ref>[[Branko Grünbaum|Grünbaum, Branko]]; [[Geoffrey Colin Shephard|Shephard, G. C]]. (Februari 1993). "Pick's theorem". ''[[The American Mathematical Monthly]]''. '''100''' (2): 150–161. [[Pengenal objek digital|doi]]:[[doi:10.2307/2323771|10.2307/2323771]]. [[JSTOR]] [https://www.jstor.org/stable/2323771 2323771]. [[Mathematical Reviews|MR]] [https://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=1212401 1212401].</ref><ref>[[Hugo Steinhaus|Steinhaus, H.]] (1950). ''Mathematical Snapshots''. Oxford University Press. hlm. 76. [[Mathematical Reviews|MR]] [https://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=0036005 0036005].</ref> Teorema ini memiliki banyak bukti, dan teorema ini dapat dirampat ke rumus untuk jenis-jenis poligon tak sederhana.

Tinjau bahwa sebuah poligon memiliki koordinat bilangan bulat untuk semua vertekssimpul pada poligon. Misalkan <math>i</math> adalah jumlah titik bilangan bulat yang ada di dalam poligon, dan misalkan <math>b</math> adalah jumlah titik bilangan bulat pada batas poligon (termasuk verteks dan juga titik di sisi-sisi poligon). Maka, luas poligon <math>A</math> adalah:<ref name=":0">[[Martin Aigner|Aigner, Martin]]; [[Günter M Ziegler|Ziegler, Günter M]]. (2018). "Three applications of Euler's formula: Pick's theorem". ''[[:en:Proofs_from_THE_BOOK|Proofs from THE BOOK]]'' (6th ed.). Springer. hlm. 93–94. doi:[[doi:10.1007/978-3-662-57265-8|10.1007/978-3-662-57265-8]]. ISBN 978-3-662-57265-8.</ref><ref>Wells, David (1991). "Pick's theorem". ''The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry''. Penguin Books. hlm. 183–184.</ref><ref>Beck, Matthias; Robins, Sinai (2015). "2.6 Pick's theorem". ''Computing the Continuous Discretely: Integer-Point Enumeration in Polyhedra''. Undergraduate Texts in Mathematics (2nd ed.). Springer. hlm. 40–43. doi:[[doi:10.1007/978-1-4939-2969-6|10.1007/978-1-4939-2969-6]]. ISBN 978-1-4939-2968-9. [[Mathematical Reviews|MR]] [https://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=3410115 3410115].</ref><ref>[[Keith Martin Ball|Ball, Keith]] (2003). "Chapter 2: Counting Dots". ''Strange Curves, Counting Rabbits, and Other Mathematical Explorations''. Princeton University Press, Princeton, NJ. hlm. 25–40. ISBN 0-691-11321-1. [[Mathematical Reviews|MR]] [https://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=2015451 2015451].</ref>

[[Berkas:Pick triangle tessellation.svg|jmpl|Pengubinan bidang melalui salinan segitiga dengan tiga vertekssimpul bilangan bulat dan tidak ada titik bilangan bulat lain. Ini dipakai dalam membuktikan teorema Pick.]]

Salah satu bukti teorema ini melibatkan subpembagian poligon menjadi menjadi segitiga dengan tiga verteks bilangan bulat dan tidak ada titik bilangan bulat lain. Lalu, rumus ini dapat membuktikan bahwa setiap subpembagian segitiga memiliki luas setidaknya <math>\tfrac{1}{2}</math>. Oleh karena itu, luas seluruh poligon sama dengan setengah jumlah segitiga yang dibagi. Setelah mengaitkan luas dengan jumlah segitiga, bukti teorema ini dapat diselesaikan dengan mengaitkan jumlah segitiga dengan jumlah titik ''grid''kisi dalam poligon melalui [[rumus polihedron Euler]].<ref name=":0" />

Bagian pertama mengenai bukti ini memperlihatkan bahwa segitiga dengan tiga verteks bilangan bulat dan tidak ada titik bilangan bulat lain memiliki setidaknya <math>\tfrac{1}{2}</math>, seperti yang dijelaskan melalui rumus Pick. Faktanya, bukti ini menggunakan semua segitiga yang [[Teselasi|mengubin di bidang]]<u>,</u> dengan segitiga yang berdampingan berputar 180° <u>from each other around their shared edge.</u><ref>Martin, George Edward (1982). ''[https://books.google.com/books?id=gevlBwAAQBAJ&pg=PA120 Transformation geometry]''. Undergraduate Texts in Mathematics. Springer-Verlag. Theorem 12.1, hlm. 120. doi:[[doi:10.1007/978-1-4612-5680-9|10.1007/978-1-4612-5680-9]]. ISBN 0-387-90636-3. [[Mathematical Reviews|MR]] [https://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=0718119 0718119].</ref>

Bukti ini sudah membuktikan rumus Pick untuk poligon yang merupakan salah satu dari segitiga-segitiga khusus tersebut. Suatu poligon lain dapat dibagi lagi menjadi segitiga khusus. <u>To do so, add non-crossing line segments within the polygon between pairs of grid points until no more line segments can be added.</u>