|
=== Melalui rumus Vieta ===
SalahBukti satuyang buktipertama adalah melalui rumus Vieta. Bukti teorema ini melibatkan subpembagian poligon menjadi menjadi segitiga dengan tiga verteks bilangan bulat dan tidak ada titik bilangan bulat lain. Lalu, rumus ini dapat membuktikan bahwa setiap subpembagian segitiga memiliki luas setidaknya <math>\tfrac{1}{2}</math>. Oleh karena itu, luas seluruh poligon sama dengan setengah jumlah segitiga yang dibagi. Setelah mengaitkan luas dengan jumlah segitiga, bukti teorema ini dapat diselesaikan dengan mengaitkan jumlah segitiga dengan jumlah titik kisi dalam poligon melalui [[rumus polihedron Euler]].{{r|az}}
[[Berkas:Pick_triangle_tessellation.svg|jmpl|Pengubinan bidang melalui salinan segitiga dengan tiga simpul bilangan bulat dan tidak ada titik bilangan bulat lain. Ini dipakai dalam membuktikan teorema Pick.]]
Bagian pertama mengenai bukti ini memperlihatkan bahwa segitiga dengan tiga verteks bilangan bulat dan tidak ada titik bilangan bulat lain memiliki setidaknya <math>\tfrac{1}{2}</math>, seperti yang dijelaskan melalui rumus Pick. Faktanya, bukti ini menggunakan semua segitiga yang [[Teselasi|mengubin di bidang]]<u>,</u> dengan segitiga yang berdampingan berputar 180° <u>fromdari eachmasing-masing othersisi aroundsegitiga theirlain shared edgedisekitarnya.</u>{{r|edward}} ForPada tilingspengubinan bysegitiga amelalui triangletiga withpuncak threebilangan integerbulat verticesdan andbukan notitik otherbilangan integerbulat pointslainnya, each pointmasing-masing oftitik thedari integerkisi gridbilangan isbulat amerupakan vertexpuncak ofdari sixenam tilespengubinan. Because the number of triangles per grid point (six) is twice the number of grid points per triangle (three), the triangles are twice as dense in the plane as the grid points. Any scaled region of the plane contains twice as many triangles (in the limit as the scale factor goes to infinity) as the number of grid points it contains. Therefore, each triangle has area <math>\tfrac{1}{2}</math>, as needed for the proof.{{r|az}} A different proof that these triangles have area <math>\tfrac{1}{2}</math> is based on the use of [[Minkowski's theorem]] on lattice points in symmetric convex sets.{{r|minkowski}}
[[Berkas:Grid_polygon_triangulation.svg|jmpl|SubdivisionSumbpembagian ofpoligon akisi gridmenjadi polygonsegitiga into special triangleskhusus]]
Bukti ini sudah membuktikan rumus Pick untuk poligon yang merupakan salah satu dari segitiga-segitiga khusus tersebut. Suatu poligon lain dapat dibagi lagi menjadi segitiga khusus. <u>To do so, add non-crossing line segments within the polygon between pairs of grid points until no more line segments can be added.</u> Poligon yang tidak dapat dibagi lagi menjadi bentuk yang lebih kecil hanyalah segitiga khusus. Oleh karena itu, <u>only special triangles can appear in the resulting subdivision</u>. Karena luas setiap segitiga khusus adalah <math>\tfrac{1}{2}</math>, luas poligon <math>A</math> dapat dibagi menjadi segitiga khusus dengan luas <math>2A</math>.{{r|az}}
Poligon yang dapat dibagi menjadi segitiga membentuk [[graf planar]], dan rumus Euler <math>V - E + F = 2</math> memberikan persamaan yang berlaku untuk jumlah simpul, tepi dan wajah suatu poligon. Simpul poligon tersebut hanya berupa jumlah kisi dari poligon, yang berjumlahkan <math>V = i + b</math>. <u>Wajahnya merupakan segitiga dari subpembagian poligon, dan merupakan daerah tunggaltunggalnya diluarberada di luar bidang poligon</u>.<sup>[butuh perbaikan?]</sup> Jumlah segitiganya adalah <math>2A</math>, sehingga terdapat <math>F=2A+1</math> wajah. Untuk menghitung jumlah tepi, amati bahwa ada <math>6A</math> sisi segitiga dalam subpembagian polihedron. Each edge interior to the polygon is the side of two triangles. However, there are <math>b</math> edges of triangles that lie along the boundary of the polygon, and form part of only one triangle. Therefore, the number of sides of triangles obeys an equation <math>6A=2E-b</math> from which one can solve for the number of edges, <math>E=\tfrac{6A+b}{2}</math>. Plugging these values for <math>V</math>, <math>E</math>, and <math>F</math> into Euler's formula <math>V-E+F=2</math> gives<math display="block">(i+b) - \frac{6A+b}{2} + (2A+1) = 2.</math>Rumus Pick dapat diperoleh dengan menyederhanakan [[persamaan linear]] tersebut dan mencarimemberikan solusi untuk nilai <math>A</math>.{{r|az}} <u>PerhitunganAdapun perhitungan lainlainnya, yakni perhitungan di sepanjang garis yang sama melibatkan pembuktian bahwa ada jumlah tepi yang sama dengan subpembagian yang sama adalahdirumuskan sebagai <math>E=3i+2b-3</math>, Perhitungan tersebut mengarah kepada hasil yang sama</u>.{{r|funkenbusch}}<sup>[terj. masih kasar]</sup>
ItPerhitungan istersebut alsojuga possibledapat todilakukan gomelalui thecara otherlain direction,dengan usingmenggunakan teorema Pick's theorem (provedyang indibuktikan adengan differentcara wayyang berbeda) assebagai thedasar basisuntuk forpembuktian a proof ofrumus Euler's formula.{{r|wells|equivalence}}
=== Bukti lainnya ===
== Pranala luar ==
* [http://demonstrations.wolfram.com/PicksTheorem/ Pick's Theorem] byoleh [[Ed Pegg, Jr.]], the [[Wolfram Demonstrations Project]].
* [https://www.geogebra.org/m/y2nuDV37 Pi using Pick's Theorem] byoleh Mark Dabbs, [[GeoGebra]]
| 