Pengguna:Dedhert.Jr/Uji halaman 01/7: Perbedaan antara revisi

[[Berkas:Grid_polygon_triangulation.svg|jmpl|SumbpembagianSubpembagian poligon kisi menjadi segitiga khusus]]

Bukti ini sudah membuktikan rumus Pick untuk poligon yang merupakan salah satu dari segitiga-segitiga khusus tersebut. Suatu poligon lain dapat dibagi lagi menjadi segitiga khusus. <u>Todengan domenambahkan so,ruas addgaris non-crossingyang linetidak segmentsdisilang withindalam thepoligon polygondi betweenantara pairspasangan oftitik gridkisi pointssehingga untiltidak noada moreruas linegaris segmentsyang can bedapat addedditambahkan.</u> Poligon yang tidak dapat dibagi lagi menjadi bentuk yang lebih kecil hanyalah segitiga khusus. Oleh karena itu, <u>onlyhanya specialsegitiga trianglesistimewa canyang appeardapat inmuncul thedalam resultingsubpembagian yang subdivision</u>dihasilkan. Karena luas setiap segitiga khusus adalah <math>\tfrac{1}{2}</math>, luas poligon <math>A</math> dapat dibagi menjadi segitiga khusus dengan luas <math>2A</math>.{{r|az}}

Poligon yang dapat dibagi menjadi segitiga membentuk [[graf planar]], dan rumus Euler <math>V - E + F = 2</math> memberikan persamaan yang berlaku untuk jumlah simpul, tepi dan wajah suatu poligon. Simpul poligon tersebut hanya berupa jumlah kisi dari poligon, yang berjumlahkan <math>V = i + b</math>. Wajahnya merupakan segitiga dari subpembagian poligon, dan daerah tunggalnya berada di luar bidang poligon. Jumlah segitiganya adalah <math>2A</math>, sehingga terdapat <math>F=2A+1</math> wajah. Untuk menghitung jumlah tepi, amati bahwa ada <math>6A</math> sisi segitiga dalam subpembagian polihedron. Each edge interior to the polygon is the side of two triangles. However, there are <math>b</math> edges of triangles that lie along the boundary of the polygon, and form part of only one triangle. Therefore, the number of sides of triangles obeys an equation <math>6A=2E-b</math> from which one can solve for the number of edges, <math>E=\tfrac{6A+b}{2}</math>. PluggingDengan thesememasukkan valuesnilai foruntuk <math>V</math>, <math>E</math>, anddan <math>F</math> intoke Euler'spersamaan formulaEuler <math>V-E+F=2</math> givesmemberikan persamaan<math display="block">(i+b) - \frac{6A+b}{2} + (2A+1) = 2.</math>Rumus Pick dapat diperoleh dengan menyederhanakan [[persamaan linear]] tersebut dan memberikan solusi untuk nilai <math>A</math>.{{r|az}} Adapun perhitungan lainnya, yakni perhitungan di sepanjang garis yang sama melibatkan pembuktian bahwa ada jumlah tepi yang sama dengan subpembagian yang sama dirumuskan sebagai <math>E=3i+2b-3</math>, Perhitungan tersebut mengarah pada hasil yang sama.{{r|funkenbusch}}

* OneBukti canlainnya recursivelydapat decomposemengurai thepoligon givenyang polygondiberikan intosecara trianglesberulang menjadi segitiga, allowingsehingga somememungkinkan trianglessetiap ofsegitiga thedari subdivisionsubpembagiannya tomempunyai haveluas areayang largerlebih thanbesar dari <math>\tfrac{1}{2}</2math>. BothLuas thesegtiga areabeserta andjumlah thetitiknya countsdipakai ofdalam points used inrumus Pick's formula add together <u>in the same way as each other, so the truth of Pick's formula for general polygons follows from its truth for triangles</u>. AnyHal triangleini subdividesberarti itsbahwa setiap segitiga yang membagi [[boundingkotak boxbatas]]<nowiki/>nya intolagi themenjadi trianglesegitiga itselfyang andserupa additionaldengannya dan menjadi [[Rightsegitiga triangle|right trianglessiku-siku]] tambahan, andserta theluas areaskotak ofbatas bothdan thesegitiga boundingdapat boxdihitung anddengan themudah. rightDengan trianglesmenggabungkan areperhitungan easyluas toini compute.memberikan Combiningrumus thesePick areauntuk computationssegitiga, givesdan Pick'sdengan formulamenggabungkan forsegitiga triangles,memberikan and combining triangles givesrumus Pick's formulauntuk forpoligon arbitrary polygonssembarang.{{r|discretely|ball|varberg}}

* Teorema Pick's theoremjuga maydapat alsodibuktikan be proved based onberdasarkan [[complexintegrasi integrationkompleks]] of asuatu [[doublyfungsi periodicperiodik functionganda]] relatedyang toterkait dengan [[Weierstrass'sfungsi ellipticeliptik functionsWeierstrass]].{{r|diaz-robins}}

* ApplyingDengan themenerapkan [[Poissonrumus summationpenjumlahan formulaPoisson]] to thedengan [[characteristicfungsi functionkarakteristik]] ofdari poligon themengacu polygonpada leadsbukti toteorema anotherPick prooflainnya.{{r|bcrt}}

Generalizations toTeorema Pick's theoremuntuk topoligon non-simplebukan polygonssederhana aredapat possiblediperumum, butnamun arehal moreini complicatedmenjadi andlebih requirerumit moredan informationmemerlukan thaninformasi justyang thelebih numberbanyak ofdaripada interiorsekedar andmenghitung boundaryverteks dalam dan verteks verticesbatas.{{r|gs|rosenholtz}} ForSebagai instancecontoh, asebuah polygonpoligon withdengan <math>h</math> holesluang boundedyang bydibatasi simpledengan integerpoligon polygonsbilangan bulat sederhana, disjointyang fromterlepas eachdari othersatu andsama fromlain thedan boundarydari batasnya, hasmempunyai area{{r|sankri}}luas<math display="block">A = i + \frac{b}{2} + h - 1.</math>ItHal isini alsojuga possibledapat tomemperumum generalizeteorema Pick's theoremuntuk todaerah regionsyang boundeddibatasi by more complexoleh [[Planargraf straight-linegaris lurus graph|planar straight-line graphs]] withyang integerlebih vertexbanyak coordinatesdengan koordinat verteks bilangan bulat, <u>using additional terms defined using the [[Euler characteristic]] of the region and its boundary</u>,{{r|rosenholtz}} or to polygons with a single boundary polygon that can cross itself, using a formula involving the [[winding number]] of the polygon around each integer point as well as its total winding number.{{r|gs}}