Bentuk modular: Perbedaan antara revisi
Konten dihapus Konten ditambahkan
Juliandane (bicara | kontrib) Menambahkan bagian definisi bentuk modular untuk SL(2, Z) |
Juliandane (bicara | kontrib) Memberikan contoh bentuk modular untuk SL2(Z) |
||
Baris 2:
{{redirect|Modular function|text=Penggunaan yang berbeda dari istilah ini muncul dalam kaitannya dengan [[Ukuran Haar#Fungsi modular|Ukuran Haar]]}}
Dalam [[matematika]], '''bentuk modular''' adalah
'''Fungsi modular''' adalah fungsi yang, seperti bentuk modular, adalah invarian sehubungan dengan grup modular, tetapi tanpa syarat itu {{math|''f'' (''z'')}} menjadi [[Fungsi holomorfik|holomorfik]] di bidang setengah atas. Sebaliknya, fungsi modular adalah [[Fungsi meromorfik|meromorfik]] (artinya, holomorfik di mana-mana, kecuali di titik-titik yang saling terisolasi satu sama lain; titik-titik ini merupakan pole).
Baris 56:
Ide utama yang digunakan untuk membuktikan ekuivalensi kedua definisi di atas adalah fungsi ''{{mvar|F}}'' dapat diketahui dari nilainya pada kekisi yang dapat dituliskan sebagai {{math|'''Z''' + '''Z'''''τ''}}, dengan {{math|''τ'' ∈ '''H'''}}, karena kondisi kedua.
=== Contoh ===
'''I. Deret Eisenstein'''
Contoh termudah dari bentuk modular adalah [[deret Eisenstein]]. Untuk setiap bilangan genap {{math|''k'' > 2}}, {{math|''G<sub>k</sub>''(Λ)}} didefinisikan sebagai deret dari {{math|''λ''<sup>−''k''</sup>}} dengan indeks ''{{mvar|λ}}'' bergerak pada semua vektor tak nol pada kekisi {{math|Λ}}:
: <math>G_k(\Lambda) = \sum_{0 \neq\lambda\in\Lambda}\lambda^{-k}.</math>
Maka ''{{mvar|G<sub>k</sub>}}'' adalah bentuk modular dengan bobot ''{{mvar|k}}''. Untuk {{math|Λ {{=}} '''Z''' + '''Z'''''τ''}}, berlaku
: <math>G_k(\Lambda) = G_k(\tau) = \sum_{ (0,0) \neq (m,n)\in\mathbf{Z}^2} \frac{1}{(m + n \tau)^k},</math>
dan
: <math>\begin{align}
G_k\left(-\frac{1}{\tau}\right) &= \tau^k G_k(\tau), \\
G_k(\tau + 1) &= G_k(\tau).
\end{align}</math>
Syarat {{math|''k'' > 2}} diperlukan untuk menjamin deret [[Konvergensi mutlak|konvergen]]; andaikan ''{{mvar|k}}'' ganjil maka suku {{math|''λ''<sup>−''k''</sup>}} dan suku {{math|(−''λ'')<sup>−''k''</sup>}} saling mengeliminasi satu sama lain pada deret, sehingga deretnya menjadi fungsi nol.
'''II. Fungsi theta pada kekisi unimodular genap'''
[[Kekisi unimodular|Kekisi unimodular genap]] ''{{mvar|L}}'' pada {{math|'''R'''<sup>''n''</sup>}} adalah kekisi yang dibangkitkan oleh ''{{mvar|n}}'' vektor yang membentuk kolom-kolom suatu matriks dengan determinan 1 dan memenuhi kuadrat panjang setiap vektor di ''{{mvar|L}}'' adalah bilangan genap. [[Fungsi theta]]
: <math>\vartheta_L(z) = \sum_{\lambda\in L}e^{\pi i \Vert\lambda\Vert^2 z} </math>
konvergen jika Im(z) > 0, dan merupakan bentuk modular dengan bobot {{math|''n''/2}} dari [[identitas deret Poisson]]. Konstruksi kekisi unimodular genap tidaklah mudah, namun berikut salah satu caranya: misalkan ''{{mvar|n}}'' adalah bilangan asli kelipatan 8 and tinjau semua vektor ''{{mvar|v}}'' di {{math|'''R'''<sup>''n''</sup>}} sedemikian sehingga {{math|2''v''}} memiliki koordinat bilangan bulat, yang semuanya genap atau semua ganjil, dan jumlah semua koordinat pada ''{{mvar|v}}'' adalah bilangan genap. Misalkan kekisi ini sebagai ''{{mvar|L<sub>n</sub>}}''. Jika {{math|''n'' {{=}} 8}}, kekisi ini dibangkitkan oleh akar-akar pada [[sistem akar]] yang biasa disebut [[E8 (mathematics)|E<sub>8</sub>]]. Karena hanya terdapat satu bentuk modular dengan bobot 8 ''up to'' perkalian skalar,
: <math>\vartheta_{L_8\times L_8}(z) = \vartheta_{L_{16}}(z),</math>
walaupun kekisi {{math|''L''<sub>8</sub> × ''L''<sub>8</sub>}} dan {{math|''L''<sub>16</sub>}} tidaklah similar. [[John Milnor]] mengamati bahwa [[Torus|tori]] berdimensi 16 yang diperoleh melalui topologi hasil bagi {{math|'''R'''<sup>16</sup>}} dengan kekisi {{math|''L''<sub>8</sub> × ''L''<sub>8</sub>}} dan dengan kekisi {{math|''L''<sub>16</sub>}} adalah contoh dua manifold Riemann kompak yang [[isospektral]], namun tidak [[Isometri|isometrik]]. (lihat [[Hearing the shape of a drum]].)
'''III. Diskriminan modular'''
{{Further|Fungsi eliptik Weierstrass#Diskriminan modular}}
[[Fungsi eta Dedekind]] didefinisikan sebagai
: <math>\eta(z) = q^{1/24}\prod_{n=1}^\infty (1-q^n), \qquad q = e^{2\pi i z}.</math>
Maka, diskriminan modular {{math|Δ(''z'') {{=}} (2π)<sup>12</sup> ''η''(''z'')<sup>24</sup>}} adalah bentuk modular dengan bobot 12. Kehadiran angka 24 pada fungsi ini memiliki kaitan dengan dimensi kekisi Leech yang adalah 24. [[Konjektur Ramanujan-Petersson]] mengklaim bahwa nilai mutlak dari koefisien ''{{mvar|q<sup>p</sup>}}'' untuk setiap bilangan prima ''{{mvar|p}}'' pada ekspansi fungsi {{math|Δ(''z'')}} sebagai deret pangkat dalam q tidak melebihi {{math|2''p''<sup>11/2</sup>}}. Hal ini dibuktikan oleh [[Martin Eichler|Eichler]], [[Goro Shimura|Shimura]], [[Michio Kuga|Kuga]], [[Yasutaka Ihara|Ihara]], dan [[Pierre Deligne]] sebagai akibat dari bukti Deligne [[konjektur Weil]], yang dibuktikan mengakibatkan konjektur Ramanujan-Petersson.
Contoh kedua dan ketiga memberikan petunjuk mengenai hubungan antara bentuk modular dan pertanyaan klasik pada teori bilangan, seperti representasi bilangan oleh [[bentuk kuadratik]] dan [[fungsi partisi]]. Hubungan konseptual yang penting antara bentuk modular dan teori bilangan diilustrasikan oleh [[operator Hecke]], yang juga menghubungkan antara bentuk modular dan [[teori representasi]].
== Fungsi modular ==
| |||