Poligon

Poligon (/ˈpɒlɪɡɒn/)(secara literal "banyak sudut", dari Bahasa Yunani Kuno "poly" banyak + "gon" sudut) merupakan bangun datar yang terdiri dari garis lurus yang bergabung untuk membentuk rantai tertutup atau sirkuit.

Berbagai macam poligon.

Beberapa macam poligon yang lain.

Etimologi

Kata poligon berasal dari kata sifat Yunani πολύς (polús) "banyak", "banyak" dan γωνία (gōnía) "sudut" atau "sudut ". Hal itu telah disarankan γόνυ (gónu) "knee" mungkin asal dari gon.

Klasifikasi

Beberapa jenis poligon

Jumlah sisi

Poligon diklasifikasikan berdasarkan jumlah sisinya. Lihat tabel di bawah.

Convexity dan non-convexity

Poligon dapat dicirikan oleh konveksitas atau jenis non-konveksitasnya:

• Cembung: garis apa pun yang ditarik melalui poligon (dan tidak bersinggungan dengan tepi atau sudut) memenuhi batasnya tepat dua kali. Akibatnya, semua sudut interiornya kurang dari 180 °. Secara ekivalen, setiap segmen garis dengan titik-titik ujung pada batas hanya melewati titik-titik interior di antara titik-titik ujungnya.
• Non-cembung: sebuah garis dapat ditemukan yang memenuhi batasnya lebih dari dua kali. Secara ekivalen, terdapat ruas garis antara dua titik batas yang melewati poligon.
• Sederhana: batas poligon tidak memotong dirinya sendiri. Semua poligon cembung sederhana.
• Cekung: Tidak cembung dan sederhana. Setidaknya ada satu sudut interior yang lebih besar dari 180°.
• Berbentuk bintang: keseluruhan interior terlihat dari setidaknya satu titik, tanpa melewati tepi apa pun. Poligon harus sederhana, dan mungkin cembung atau cekung. Semua poligon cembung berbentuk bintang.
• Tidak beraturan: batas poligon tidak beraturan. Istilah kompleks terkadang digunakan berbeda dengan sederhana, tetapi penggunaan ini berisiko menimbulkan kebingungan dengan gagasan poligon kompleks sebagai salah satu yang ada di bidang kompleks Hilbert yang terdiri dari dua kompleks.
• Poligon Bintang: poligon tidak beraturan secara teratur. Poligon tidak boleh berbentuk bintang dan bintang.

Kesetaraan dan simetri

• Equiangular: semua sudut sudut sama.
• Berhubung dgn putaran: semua sudut terletak pada satu lingkaran, yang disebut sirkit.
• Isogonal atau simpul-transitif: semua sudut berada dalam orbit simetri yang sama. Poligon juga berbentuk siklik dan sama.
• Sama sisi: semua sisi memiliki panjang yang sama. Poligon tidak harus cembung.
• Tangensial: semua sisi bersinggungan dengan lingkaran bertuliskan.
• Isotoxal atau tepi-transitif: semua sisi berada dalam orbit simetri yang sama. Poligon juga sama sisi dan tangensial.
• Reguler: poligon tersebut adalah isogonal dan isotoxal. Secara ekuivalen, ini adalah siklik dan sama sisi, atau keduanya sama sisi dan sama dengan. Reguler non-cembung.

Miscellaneous

• Bujursangkar: sisi-sisi poligon bertemu pada sudut siku-siku, yaitu semua sudut interiornya 90 atau 270 derajat.
• Monoton terhadap garis tertentu L: setiap garis ortogonal ke L memotong poligon tidak lebih dari dua kali.

Properti dan rumus

Geometri euklides diasumsikan seluruhnya.

Sudut

Poligon apa pun memiliki banyak sudut karena memiliki banyak sisi. Setiap sudut memiliki beberapa sudut. Dua hal terpenting adalah:

• Sudut interior – Jumlah dari sudut interior huruf n-gon adalah (n − 2)π radian atau (n − 2) × 180 derajat. Hal ini karena setiap sederhana n-gon (memiliki sisi n) dapat dianggap terdiri dari ( n -2) segitiga, masing-masing memiliki jumlah sudut π radian atau 180 derajat. Ukuran setiap sudut interior cembung biasa n-gon adalah $\left(1-{\tfrac {2}{n}}\right)\pi$ radian atau $180-{\tfrac {360}{n}}$ derajat. Sudut interior poligon bintang beraturan pertama kali dipelajari oleh Poinsot, dalam makalah yang sama di mana ia menjelaskan empat polihedra bintang biasa: sebagai ${\tfrac {p}{q}}$-gon (a p-gon dengan kepadatan pusat q), setiap sudut interior ${\tfrac {\pi (p-2q)}{p}}$ radian atau ${\tfrac {180(p-2q)}{p}}$ derajat.
• Sudut eksterior – Sudut eksterior adalah sudut tambahan ke sudut interior. Menelusuri sekitar cembung n-gon, sudut "belok" di suatu sudut adalah sudut luar atau luar. Menelusuri seluruh poligon membuat satu putaran penuh, jadi jumlah sudut luar harus 360 °. Argumen ini dapat digeneralisasikan menjadi poligon sederhana yang cekung, bila sudut luar yang berbelok ke arah berlawanan dikurangi dari total putaran. Menelusuri sekitar n-gon secara umum, jumlah dari sudut luar (jumlah total yang berputar pada simpul) dapat berupa kelipatan bilangan bulat d dari 360°, misalnya 720° untuk pentagram dan 0° untuk sudut "delapan" atau antiparallelogram, dengan d adalah massa jenis atau sifat starriness poligon. Lihat juga orbit (dinamika).

Luas

Koordinat segi lima non-cembung.

Pada bagian ini, simpul dari poligon yang sedang dipertimbangkan akan diambil $(x_{0},y_{0}),(x_{1},y_{1}),\ldots ,(x_{n-1},y_{n-1})$ dalam urutan. Untuk kemudahan dalam beberapa rumus, notasi (x_n, y_n) = (x₀, y₀) juga akan digunakan.

Jika poligon tidak berpotongan sendiri (yaitu, sederhana), tanda luas adalah

$L={\frac {1}{2}}\sum _{i=0}^{n-1}(x_{i}y_{i+1}-x_{i+1}y_{i})\quad {\text{dimana }}x_{n}=x_{0}{\text{ dan }}y_{n}=y_{0},$

atau, menggunakan determinan

$16L^{2}=\sum _{i=0}^{n-1}\sum _{j=0}^{n-1}{\begin{vmatrix}Q_{i,j}&Q_{i,j+1}\\Q_{i+1,j}&Q_{i+1,j+1}\end{vmatrix}},$

dimana $Q_{i,j}$ adalah jarak kuadrat antara $(x_{i},y_{i})$ dan $(x_{j},y_{j}).$

Luas bertanda tergantung pada urutan simpul dan orientasi dari bidang. Biasanya, orientasi positif ditentukan oleh rotasi (berlawanan arah jarum jam) yang memetakan positif x-sumbu ke positif y-sumbu. Jika simpul diurutkan berlawanan arah jarum jam (yaitu, menurut orientasi positif), luas yang ditandatangani positif; jika tidak, itu negatif. Dalam kedua kasus tersebut, rumus luasnya benar di nilai absolut. Hal tersebut biasanya disebut rumus tali sepatu atau rumus Surveyor.

Luas L poligon sederhana juga dapat dihitung jika panjang sisinya, a₁, a₂, ..., a_n dan sudut eksterior, θ₁, θ₂, ..., θ_n diketahui, dari:

${\begin{aligned}L={\frac {1}{2}}(a_{1}[a_{2}\sin(\theta _{1})+a_{3}\sin(\theta _{1}+\theta _{2})+\cdots +a_{n-1}\sin(\theta _{1}+\theta _{2}+\cdots +\theta _{n-2})]\\{}+a_{2}[a_{3}\sin(\theta _{2})+a_{4}\sin(\theta _{2}+\theta _{3})+\cdots +a_{n-1}\sin(\theta _{2}+\cdots +\theta _{n-2})]\\{}+\cdots +a_{n-2}[a_{n-1}\sin(\theta _{n-2})]).\end{aligned}}$

Rumusnya dijelaskan oleh Lopshits pada tahun 1963.

Bila poligon dapat digambar pada grid yang berjarak sama sehingga semua simpulnya adalah titik grid, Teorema Pilih memberikan rumus sederhana untuk luas poligon berdasarkan jumlah interior: angka sebelumnya ditambah setengah angka terakhir, minus 1.

In every polygon with perimeter p and area A , the isoperimetric inequality $p^{2}>4\pi A$ holds.

Untuk dua poligon sederhana yang luasnya sama, Teorema Bolyai–Gerwien menyatakan bahwa poligon pertama dapat dipotong menjadi potongan poligonal yang dapat dipasang kembali untuk membentuk poligon kedua.

Panjang sisi poligon secara umum tidak menentukan luasnya. Namun, jika poligonnya siklik maka sisi menentukan luasnya. .

Poligon beraturan

Banyak rumus khusus yang diterapkan pada bidang poligon beraturan.

Luas poligon beraturan diberikan dalam radius r dari lingkaran tertulis dan kelilingnya p oleh

$L={\tfrac {1}{2}}\cdot p\cdot r.$

Jari-jari ini juga disebut apotema dan sering direpresentasikan sebagai a.

Luas beraturan n-gon dengan sisi yang tertulis dalam lingkaran satuan tersebut

$L={\frac {ns}{4}}{\sqrt {4-s^{2}}}.$

Luas sebuah n-gon dalam hal jari-jari R dari lingkaran berbatas dan kelilingnya p diberikan oleh

$L={\frac {R}{2}}\cdot p\cdot {\sqrt {1-{\tfrac {p^{2}}{4n^{2}R^{2}}}}}.$

Luas sebuah n beraturan-gon tertulis dalam lingkaran jari-jari satuan, dengan sisi s dan sudut interior $\alpha ,$ juga dapat dinyatakan secara trigonometri sebagai

$A={\frac {ns^{2}}{4}}\cot {\frac {\pi }{n}}={\frac {ns^{2}}{4}}\cot {\frac {\alpha }{n-2}}=n\cdot \sin {\frac {\pi }{n}}\cdot \cos {\frac {\pi }{n}}=n\cdot \sin {\frac {\alpha }{n-2}}\cdot \cos {\frac {\alpha }{n-2}}.$

Centroid

Menggunakan konvensi yang sama untuk koordinat puncak seperti pada bagian sebelumnya, koordinat dari pusat massa dari poligon sederhana yang solid adalah

$C_{x}={\frac {1}{6A}}\sum _{i=0}^{n-1}(x_{i}+x_{i+1})(x_{i}y_{i+1}-x_{i+1}y_{i}),$

$C_{y}={\frac {1}{6A}}\sum _{i=0}^{n-1}(y_{i}+y_{i+1})(x_{i}y_{i+1}-x_{i+1}y_{i}).$

Dalam rumus ini, nilai area yang ditandatangani $L$ harus digunakan.

Generalisasi

Ide ide penemuan poligon telah digeneralisasikan dengan berbagai cara. Beberapa yang lebih penting termasuk:

• Poligon bola adalah rangkaian lingkaran besar (sisi) dan titik sudut pada permukaan bola. Hal ini memungkinkan digon, poligon yang hanya memiliki dua sisi dan dua sudut, yang tidak mungkin dilakukan pada bidang datar. Poligon bola memainkan peran penting dalam kartografi (pembuatan peta) dan dalam konstruksi Wythoff dari polihedra seragam.
• Poligon miring tidak terletak pada bidang datar, tetapi zigzag dalam tiga dimensi. Poligon Petrie dari politop biasa adalah contoh yang terkenal.
• Apeirogon adalah urutan sisi dan sudut tak hingga, yang tidak tertutup tetapi tidak memiliki ujung karena memanjang tanpa batas di kedua arah.
• Apeirogon miring adalah barisan sisi dan sudut tak hingga yang tidak terletak pada bidang datar.
• poligon kompleks adalah konfigurasi analog dengan poligon biasa, hanya ada dalam bidang kompleks dari dua bilangan riil.
• Poligon abstrak adalah bagian dari aljabar himpunan berurutan sebagian yang mewakili berbagai elemen (sisi, simpul, dll.) Dan konektivitasnya. Sebuah poligon geometris nyata dikatakan sebagai Deka-5-top dari poligon abstrak. Bergantung pada pemetaan, semua generalisasi yang dijelaskan di sini dapat direalisasikan.
• Polihedra adalah benda padat tiga dimensi yang dibatasi oleh permukaan poligonal datar, dianalogikan dengan poligon dalam dua dimensi. Bentuk yang sesuai dalam empat atau lebih dimensi disebut politop. (Dalam konvensi lain, kata polyhedron dan politop digunakan dalam dimensi apa pun, dengan perbedaan antara keduanya bahwa sebuah politop harus dibatasi.)

Nama dan jenis

Poligon adalah dinamakan sesuai dengan jumlah tepi, bergabung satu dengan awalan angka dalam bahasa Yunani dengan akhiran -gon. Contoh pentagon, dodekagon. Segitiga, sisi empat, dan nonagon adalah pengecualian-pengecualian. Untuk nomor-nomor lebih besar, ahli matematika menulis angka sendiri, contoh 17-gon. Satu variabel dapat juga digunakan, biasanya n-gon. Ini adalah jika jumlah berguna untuk tepi adalah digunakan dalam satu rumus.

Nama poligon

Nama	Bilangan sisi
henagon (atau monogon)	1
digon	2
segi tiga (atau trigon)	3
segi empat (atau tetragon)	4
segi lima (atau pentagon)	5
heksagon (atau seksagon)	6
heptagon (elakkan "septagon" = Latin [sept-] + Greek)	7
oktagon	8
nonagon (atau enneagon)	9
dekagon	10
hendekagon (elakkan "undekagon" = Latin [un-] + Greek)	11
dodekagon (elakkan "duodekagon" = Latin [duo-] + Greek)	12
tridekagon atau triskaidekagon (MathWorld)	13
tetradekagon atau tetrakaidekagon interal angle approx 154.2857 degrees.(MathWorld)	14
pentadekagon (atau quindekagon) atau pentakaidekagon	15
heksadekagon atau heksakaidekagon	16
heptadekagon atau heptakaidekagon	17
oktadekagon atau oktakaidekagon	18
enneadekagon atau enneakaidekagon atau nonadekagon	19
ikosagon	20
triakontagon	30
tetrakontagon	40
pentakontagon	50
heksakontagon (MathWorld)	60
heptakontagon	70
oktakontagon	80
nonakontagon	90
hektagon (juga hektogon) (elakkan "sentagon" = Latin [cent-] + Greek)	100
kiliagon	1000
miriagon	10,000
dekemiriagon	100,000
hekatommiragon (atau dekatommiriagon)	1,000,000

Penamaan poligon

Poligon yang memiliki sisi lebih dari 20 sisi dan kurang dari 100 sisi dinamakan dengan menggunakan kombinasi kata nama berikut:

Angka Puluh		dan	Angka Sa		Imbuhan Akhir
		-kai-	1	-hena-	-gon
20	icosa-		2	-di-
30	triaconta-		3	-tri-
40	tetraconta-		4	-tetra-
50	pentaconta-		5	-penta-
60	hexaconta-		6	-hexa-
70	heptaconta-		7	-hepta-
80	octaconta-		8	-octa-
90	enneaconta-		9	-ennea-

Contohnya, untuk poligon bersisi 42 akan dinamakan seperti berikut:

Angka puluh	dan	Angka sa	Imbuhan akhir	Nama penuh Poligon
tetraconta-	-kai-	-di-	-gon	tetracontakaidigon

dan untuk objek bersisi 50

Angka Puluh	dan	Angka Sa	Imbuhan akhir	Nama penuh Poligon
pentaconta-			-gon	pentacontagon

Namun begitu, poligon yang melebihi nonagons dan decagons, pakar matematika lebih gemar menggunakan angka notasi tersebut (misalnya, MathWorld memiliki artikel tentang 17-gons dan 257-gons).

Sejarah

historical image of polygons (1699)

Poligon telah dikenal sejak zaman dahulu. Poligon reguler diketahui orang sejak zaman Yunani kuno, dan pentagram, poligon beraturan yang tidak cembung (poligon bintang), muncul pada vas bunga Aristophonus, Caere, tertanggal abad-ke 7 Sebelum Masehi. Non-convex polygons in general were not systematically studied until the 14th century by Thomas Bradwardine.

In 1952, Geoffrey Colin Shephard generalized the idea of polygons to the complex plane, where each real dimension is accompanied by an imaginary one, to create complex polygons.