Matriks (matematika)

Dalam matematika, matriks adalah susunan^[1] bilangan, simbol, atau ekspresi yang disusun dalam baris dan kolom sehingga membentuk suatu bangun persegi.^[2]^[3] Sebagai contoh, dimensi matriks di bawah ini adalah 2 × 3 (baca "dua kali tiga") karena terdiri dari dua baris dan tiga kolom:

Baris m adalah horizontal dan kolom n vertikal. Setiap elemen matriks sering dilambangkan menggunakan variabel dengan dua notasi indeks. Misalnya, a_2,1 mewakili elemen pada baris kedua dan kolom pertama dari matriks A.

{\begin{bmatrix}1&9&-13\\20&5&-6\end{bmatrix}}.

Setiap objek dalam matriks $\mathbf {A}$ berdimensi $m\times n$ sering dilambangkan dengan $a_{i,j}$ , dimana nilai maksimum $i=m$ dan nilai maksimum $j=n$ . Objek dalam matriks disebut elemen, entri, atau anggota matriks.^[4]

Jika dua matriks memiliki dimensi yang sama (masing-masing matriks memiliki jumlah baris dan jumlah kolom yang sama), kedua matriks tersebut dapat dijumlahkan maupun dikurangkan secara elemen demi elemen. Namun, berdasarkan aturan perkalian matriks, dua matriks hanya dapat dikalikan jika jumlah kolom matriks pertama sama dengan jumlah baris matriks kedua (artinya, perkalian matriks $m\times \mathbf {n}$ dengan matriks $\mathbf {n} \times p$ menghasilkan matriks $m\times p$ ). Perkalian matriks tidak bersifat komutatif.

Matriks umumnya digunakan untuk merepresentasikan transformasi linear, yakni suatu generalisasi fungsi linear seperti $f(x)=4x$ . Sebagai contoh, efek rotasi pada ruang dimensi tiga merupakan sebuah transformasi linear yang dapat dilambangkan dengan matriks rotasi $\mathbf {R}$ . Jika $v$ adalah sebuah vektor di dimensi tiga, hasil dari $\mathbf {R} v$ menyatakan posisi titik tersebut setelah dirotasi. Hasil perkalian dari dua matriks adalah sebuah matriks yang melambangkan komposisi dari dua transformasi linear. Salah satu aplikasi lain dari matriks adalah menemukan solusi sistem persamaan linear. Jika matriks merupakan matriks persegi, beberapa sifat dari matriks tersebut dapat diketahui dengan menghitung nilai determinan. Misalnya, matriks persegi memiliki invers jika dan hanya jika nilai determinannya tidak sama dengan nol. Sisi geometri dari sebuah transformasi linear (dan beberapa hal lain) dapat diketahui dari eigenvalue dan eigenvector matriks.

Aplikasi dari matriks ditemukan pada banyak bidang sains. Pada bidang-bidang fisika, contohnya mekanika klasik, mekanika kuantum, dan optika, matriks digunakan untuk mempelajari keadaan fisis, seperti pergerakan planet. Dalam bidang computer graphics, matriks digunakan untuk memanipulasi model 3D dan memproyeksikannya ke sebuah layar dua dimensi. Pada bidang teori probabilitas dan statistika, matriks stokastik digunakan untuk menjelaskan probabilitas keadaan; contohnya dalam algoritma PageRank dalam menentukan urutan halaman pada pencarian Google. Kalkulus matriks menggeneralisasi bentuk analitik klasik dari turunan dan eksponensial ke dimensi yang lebih tinggi. Matriks juga digunakan dalam bidang ekonomi untuk menjelaskan sistem dari relasi ekonomi.

Definisi

Matriks adalah susunan angka atau objek matematika lainnya yang disusun dalam bentuk baris dan kolom, dimana operasi seperti penjumlahan dan perkalian dapat didefinisikan. Umumnya, matriks di atas medan $F$ berisi elemen-elemen dari $F$ . Sebagian besar artikel ini berfokus pada matriks riil dan kompleks, yaitu matriks yang masing-masing elemennya berupa bilangan riil atau bilangan kompleks. Jenis elemen matriks yang umum akan dibahas di bawah. Sebagai contoh, ini adalah sebuah matriks riil:

$\mathbf {A} ={\begin{bmatrix}-1.3&0.6\\20.4&5.5\\9.7&-6.2\end{bmatrix}}.$

Ukuran

Ukuran matriks ditentukan oleh jumlah baris dan kolom yang dikandungnya. Matriks dengan $m$ kolom dan $n$ baris disebut matriks $m\times n$ atau matriks "m kali n", dimana $m$ dan $n$ disebut dimensinya. Sebagai contoh, matriks $\mathbf {A}$ di atas adalah matriks $3\times 2$ . Matriks dengan satu baris disebut vektor baris, dan matriks dengan satu kolom disebut vektor kolom. Matriks dengan jumlah baris dan kolom yang sama disebut matriks persegi. Matriks dengan jumlah baris atau kolom yang tak terbatas (atau keduanya) disebut matriks tak terbatas. Dalam beberapa konteks, akan bermanfaat untuk mempertimbangkan sebuah matriks tanpa baris atau tanpa kolom, yang disebut matriks kosong.

Nama	Ukuran	Contoh	Deskripsi
Vektor baris	1 × n	${\begin{bmatrix}3&7&2\end{bmatrix}}$	Sebuah matriks dengan satu baris, terkadang digunakan untuk melambangkan sebuah vektor
Vektor kolom	n × 1	${\begin{bmatrix}4\\1\\8\end{bmatrix}}$	Sebuah matriks dengan satu kolom, terkadang digunakan untuk melambangkan sebuah vektor
Matriks persegi	n × n	${\begin{bmatrix}9&13&5\\1&11&7\\2&6&3\end{bmatrix}}$	Sebuah matriks dengan jumlah baris dan jumlah kolom yang sama, terkadang digunakan untuk melambangkan sebuah transformasi linear dari sebuah ruang vektor ke dirinya sendiri, seperti refleksi, rotasi, dan shear.

Notasi

Matriks pada umumnya ditulis dalam tanda kurung siku/kurung kurawal: $\mathbf {A} ={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\end{bmatrix}}={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\end{pmatrix}}=\left(a_{ij}\right)\in \mathbb {R} ^{m\times n}.$

Spesifikasi notasi simbolik dari matriks sangat bervariasi, dengan beberapa tren yang umum dipakai. Matriks biasanya dilambangkan dengan menggunakan huruf besar (seperti $\mathbf {A}$ pada contoh di atas). Sedangkan huruf kecil yang sesuai, dengan dua indeks subskrip, misal $a_{1,1}$ , untuk menyebutkan elemen matriks tersebut. Selain menggunakan huruf besar untuk melambangkan matriks, banyak penulis menggunakan gaya tipografi khusus, yang biasanya dicetak tebal tegak, untuk lebih membedakan matriks dari objek matematika lainnya. Notasi alternatif melibatkan penggunaan double-underline (garis bawah ganda) dengan nama variabel, dengan atau tanpa gaya cetak tebal (contohnya ${\underline {\underline {A}}}$ ).

Elemen baris ke- $i$ dan kolom ke- $j$ dari matriks $\mathbf {A}$ terkadang dirujuk sebagai elemen ke $(i,\,j)$ dari matriks, dan umumnya ditulis sebagai $a_{i,\,j}$ atau $a_{ij}$ . Alternatif notasi yang lain adalah $A[i,j]$ atau $A_{i,j}$ . Sebagai contoh, elemen ke $(1,3)$ dari matriks $\mathbf {A}$ berikut dapat ditulis sebagai $a_{1,\,3}$ , $a_{13}$ , $A[1,\,3]$ maupun $A_{1,\,3}$ .

$\mathbf {A} ={\begin{bmatrix}4&-7&\color {red}{5}&0\\-2&0&11&8\\19&1&-3&12\end{bmatrix}}$

Terkadang, elemen dari sebuah matriks dapat didefinisikan dengan menggunakan suatu rumus $a_{i,j}=f(i,j)$ . Sebagai contoh, setiap elemen dari matriks $\mathbf {A}$ berikut didefinisikan sebagai $a_{i,j}=i-j$

\mathbf {A} ={\begin{bmatrix}0&-1&-2&-3\\1&0&-1&-2\\2&1&0&-1\end{bmatrix}}

.

Dalam kasus seperti ini, matriks tersebut juga dapat didefinisikan oleh rumus yang sama, dengan menggunakan kurung siku atau kurung kurawal ganda. Pada contoh di atas, matriks dapat didefinisikan sebagai $\mathbf {A} =[i-j]$ atau $\mathbf {A} =((i-j))$ .

Simbol bintang (asterisk) terkadang digunakan untuk merujuk sebuah baris atau sebuah kolom pada matriks. Sebagai contoh, $a_{i,\star }$ merujuk pada baris ke- $i$ dari matriks $\mathbf {A}$ , dan $a_{\star ,j}$ merujuk pada baris ke- $j$ dari matriks $\mathbf {A}$ . Himpunan semua matriks $m\times n$ dilambangkan dengan $\mathbb {M} _{m\times n}$ .

Macam-macam matriks

Matriks persegi: apabila ukuran baris dan kolom sama atau $m=n$
Matriks diagonal: merupakan matriks persegi yang $a_{ij}=0$ , untuk $i\neq j$
Matriks skalar: merupakan matriks diagonal yang memiliki unsur diagonal utamanya sama, misalnya $k$
Matriks identitas: merupakan matriks skalar di mana $k=1$
Matriks simetris: merupakan matriks persegi dengan $a_{ij}=a_{ji}$ untuk $\forall _{i,j}$ .
Matriks anti simetris: merupakan matriks persegi yang transposenya adalah negatif dari matriks tersebut dengan $a_{ij}=-a_{ji}$
Matriks segitiga atas: merupakan matriks persegi yang semua unsurnya dibawah diagonal utamanya adalah 0, yakni $a_{ij}=0$ ketika $i>j$
Matriks segitiga bawah: merupakan matriks persegi yang semua unsurnya di atas diagonal utamanya adalah 0, yakni $a_{ij}=0$ ketika $i<j$

Operasi dasar

Ada sejumlah operasi dasar yang dapat diterapkan untuk memodifikasi matriks. Operasi dasar pada matriks meliputi penambahan matriks, perkalian skalar, transposisi, perkalian matriks, operasi baris, dan submatriks.

Penjumlahan dan pengurangan matriks

Penjumlahan dan pengurangan matriks hanya dapat dilakukan apabila kedua matriks memiliki ukuran atau tipe yang sama. Elemen-elemen yang dijumlahkan atau dikurangi adalah elemen yang posisi atau letaknya sama.

a_{ij}\pm b_{ij}=c_{ij}\!

atau dalam representasi dekoratifnya

{\begin{bmatrix}{3}&{4}\\{6}&{5}\\\end{bmatrix}}\!

{\begin{bmatrix}(a_{11}\pm b_{11})&(a_{12}\pm b_{12})&(a_{13}\pm b_{13})\\(a_{21}\pm b_{21})&(a_{22}\pm b_{22})&(a_{23}\pm b_{23})\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}c_{11}&c_{12}&c_{13}\\c_{21}&c_{22}&c_{23}\\\end{bmatrix}}\!

Perkalian skalar

Matriks dapat dikalikan dengan sebuah skalar.

\lambda \cdot \mathbf {A} :=(\lambda \cdot a_{ij})_{i=1,\ldots ,m;\ j=1,\ldots ,n}

Contoh perhitungan:

5\cdot {\begin{pmatrix}1&-3&2\\1&2&7\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}5\cdot 1&5\cdot (-3)&5\cdot 2\\5\cdot 1&5\cdot 2&5\cdot 7\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}5&-15&10\\5&10&35\end{pmatrix}}

Perkalian matriks

Matriks dapat dikalikan dengan cara tiap baris dikalikan dengan tiap kolom, lalu dijumlahkan pada baris yang sama.

c_{ij}=\sum _{k=1}^{m}a_{ik}\cdot b_{kj}

Contoh perhitungan:

{\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\\\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}6&-1\\3&2\\0&-3\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\cdot 6+2\cdot 3+3\cdot 0&1\cdot (-1)+2\cdot 2+3\cdot (-3)\\4\cdot 6+5\cdot 3+6\cdot 0&4\cdot (-1)+5\cdot 2+6\cdot (-3)\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}12&-6\\39&-12\end{pmatrix}}

Sifat matriks

Sifat-sifat matriks sebagai berikut:

1.

A+B=B+A

2.

(A+B)+C=A+(B+C)

3.

k(AB)=(kA)B

4.

(AB)C=A(BC)

5.

A(B+C)=AB+AC

6.

(A+B)C=AC+BC

7.

AB\neq BA

Untuk pembuktian sifat yang pertama, yaitu sifat komutatif pada pertamabahan matriks, dapat dibuktikan dengan cara yang sederhana, kita asumsikan matriks $A$ dan $B$ secara berturut-turut sebagai

$A={\begin{bmatrix}a_{11}&&a_{12}&&\dotsc &&a_{1n}\\a_{21}&&\ddots &&\cdots &&\vdots \\\vdots &&\cdots &&\ddots &&\vdots \\a_{n1}&&\dotsc &&\dotsc &&a_{nn}\end{bmatrix}}$ dan $B={\begin{bmatrix}b_{11}&&b_{12}&&\dotsc &&b_{1n}\\b_{21}&&\ddots &&\cdots &&\vdots \\\vdots &&\cdots &&\ddots &&\vdots \\b_{n1}&&\dotsc &&\dotsc &&b_{nn}\end{bmatrix}}$

Hasil pertambahan dua matriks tersebut yaitu $A+B={\begin{bmatrix}a_{11}+b_{11}&&a_{12}+b_{12}&&\dotsc &&a_{1n}+b_{1n}\\a_{21}+b_{21}&&\ddots &&\cdots &&\vdots \\\vdots &&\cdots &&\ddots &&\vdots \\a_{n1}+b_{n1}&&\dotsc &&\dotsc &&a_{nn}+b_{nn}\end{bmatrix}}$

Perhatikan bahwa, elemen-elemen pada hasil operasi pertamahan matriks tersebut tidak lain merupakan penjumlahan pada suatu bilangan dan berlaku sifat komutatif, $a_{11}+b_{11}=b_{11}+a_{11}$ , dengan demikian dapat dituliskan sebagai

$\left[{\begin{matrix}b_{11}+a_{11}&&b_{12}+a_{12}&&\dotsc &&b_{1n}+a_{1n}\\b_{21}+a_{21}&&\ddots &&\cdots &&\vdots \\\vdots &&\cdots &&\ddots &&\vdots \\b_{n1}+a_{n1}&&\dotsc &&\dotsc &&b_{nn}+a_{nn}\end{matrix}}\right]$

, bentuk di atas tidak lain adalah bentuk dari pertambahan $B+A$ . Dengan cara yang sama, yaitu dengan memperhatikan setiap elemen pada hasil operasi matriks, dapat dibuktikan juga untuk sifat-sifat yang lain^[5].

Persamaan linear

Matriks dapat digunakan untuk menulis dan bekerja secara kompak dengan persamaan linear berganda, yaitu sistem persamaan linear. Misalnya, bila $\mathbf {A}$ adalah matriks $m\times n$ , ${\textbf {x}}$ menunjukkan vektor kolom (yaitu, matriks $n\times 1$ ) dari $n$ variabel $x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}$ , dan ${\textbf {b}}$ adalah vektor $m\times 1$ , maka persamaan matriksnya ialah

\mathbf {Ax} =\mathbf {b}

setara dengan sistem persamaan linear^[6]

{\begin{aligned}a_{1,1}x_{1}+a_{1,2}x_{2}+&\cdots +a_{1,n}x_{n}=b_{1}\\&\ \ \vdots \\a_{m,1}x_{1}+a_{m,2}x_{2}+&\cdots +a_{m,n}x_{n}=b_{m}\end{aligned}}

Dengan menggunakan matriks, hal ini dapat diselesaikan secara lebih kompak daripada yang mungkin dilakukan dengan menuliskan semua persamaan secara terpisah. Jika n = m dan persamaan independen, maka ini dapat dilakukan dengan menulis

\mathbf {x} =\mathbf {A} ^{-1}\mathbf {b}

dimana $\mathbf {A} ^{-1}$ adalah matriks invers dari $\mathbf {A}$ . Bila $\mathbf {A}$ tidak memiliki invers, solusi — jika ada — dapat ditemukan saat menggunakan invers umum.

Transformasi linear

Vektor yang diwakili oleh matriks 2-kali-2 sesuai dengan sisi persegi satuan yang diubah menjadi jajaran genjang.

Matriks dan multiplikasi matriks mengungkapkan fitur penting mereka saat terkait dengan transformasi linear, juga dikenal sebagai peta linear. A real m-by-n matriks $\mathbf {A}$ menimbulkan transformasi linear $\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{m}$ memetakan setiap vektor ${\textbf {x}}$ pada $\mathbb {R} ^{n}$ ke (matriks) produk ${\textbf {Ax}}$ , yang merupakan vektor dalam $\mathbb {R} ^{n}$ . Sebaliknya, setiap transformasi linear $f:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{m}$ muncul dari unik m-by-n matriks $\mathbf {A}$ : secara eksplisit, (i, j)-entry dari $\mathbf {A}$ is the i^th coordinate of $f({\textbf {e}}_{j})$ , dengan ${\textbf {e}}_{j}=(0,\dots ,0,1,0,\dots ,0)$ adalah vektor satuan dengan 1 pada j^th posisi dan 0 di tempat lain. The matrix $\mathbf {A}$ dikatakan mewakili peta linear $f$ , dan 'A' disebut matriks transformasi dari $f$ .

Misalnya matriks 2x2

\mathbf {A} ={\begin{bmatrix}a&c\\b&d\end{bmatrix}}

dapat dilihat sebagai transformasi dari satuan persegi menjadi jajaran genjang dengan simpul pada (0, 0), (a, b), (a + c, b + d), dan (c, d). Jajar genjang yang digambarkan di sebelah kanan diperoleh dengan mengalikan 'A' dengan masing-masing vektor kolom ${\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}}$ , dan ${\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}$ gantinya. Vektor-vektor ini menentukan simpul dari persegi satuan.

Tabel berikut menunjukkan sejumlah matriks 2-kali-2 dengan peta linier terkait $\mathbb {R} ^{2}$ . Dokumen asli berwarna biru dipetakan ke kisi dan bentuk hijau. Asal (0,0) ditandai dengan titik hitam.

geser horizontal with m = 1.25.	Refleksi melalui sumbu vertikal	Pemetaan pemerasan dengan r = 3/2	Penskalaan dengan faktor 3/2	Rotasi sebesar π/6 = 30°
${\begin{bmatrix}1&1.25\\0&1\end{bmatrix}}$	${\begin{bmatrix}-1&0\\0&1\end{bmatrix}}$	${\begin{bmatrix}{\frac {3}{2}}&0\\0&{\frac {2}{3}}\end{bmatrix}}$	${\begin{bmatrix}{\frac {3}{2}}&0\\0&{\frac {3}{2}}\end{bmatrix}}$	${\begin{bmatrix}\cos \left({\frac {\pi }{6}}\right)&-\sin \left({\frac {\pi }{6}}\right)\\\sin \left({\frac {\pi }{6}}\right)&\cos \left({\frac {\pi }{6}}\right)\end{bmatrix}}$

Di bawah korespondensi 1-ke-1 antara matriks dan peta linier, perkalian matriks sesuai dengan komposisi peta:^[7] jika matriks a k - m 'B' mewakili peta linear lainnya $g:\mathbb {R} ^{m}\rightarrow \mathbb {R} ^{k}$ , maka komposisi $g\circ f$ diwakili oleh $\mathbf {BA}$ karena

(g\circ f)(\mathbf {x} )=g(f(\mathbf {x} ))=g(\mathbf {Ax} )=\mathbf {B} (\mathbf {Ax} )=(\mathbf {BA} )x

.

Persamaan terakhir mengikuti dari asosiativitas perkalian matriks yang disebutkan di atas.

Peringkat matriks $\mathbf {A}$ adalah jumlah maksimum vektor baris bebas linear dari matriks, yang sama dengan jumlah maksimum kolom bebas linier.^[8] Persamaan dengan itu adalah dimensi dari gambar dari peta linear yang diwakili oleh $\mathbf {A}$ .^[9] Teorema pangkat–nulitas menyatakan bahwa dimensi kernel dari sebuah matriks ditambah pangkat sama dengan jumlah kolom dari matriks tersebut.^[10]

Matriks persegi

Matriks persegi adalah matriks dengan jumlah baris dan kolom yang sama.^[11] Matriks n-oleh-n dikenal sebagai matriks kuadrat berorde n. Dua matriks kuadrat berorde yang sama dapat ditambahkan dan dikalikan. Entri $a_{ii}$ membentuk diagonal utama dari matriks persegi. Mereka terletak pada garis imajiner yang membentang dari sudut kiri atas ke sudut kanan bawah matriks.

Jenis utama

Nama	Contoh dengan n = 3
Matriks diagonal	${\begin{bmatrix}a_{11}&0&0\\0&a_{22}&0\\0&0&a_{33}\\\end{bmatrix}}$
Matriks segitiga bawah	${\begin{bmatrix}a_{11}&0&0\\a_{21}&a_{22}&0\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\\\end{bmatrix}}$
Matriks segitiga atas	${\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\0&a_{22}&a_{23}\\0&0&a_{33}\\\end{bmatrix}}$

Matriks diagonal dan segitiga

Jika semua entri $\mathbf {A}$ di bawah diagonal utama adalah nol, $\mathbf {A}$ disebut matriks segitiga atas. Demikian pula jika semua entri $\mathbf {A}$ di atas diagonal utama adalah nol, $\mathbf {A}$ disebut matriks segitiga bawah. Jika semua entri di luar diagonal utama adalah nol, $\mathbf {A}$ disebut matriks diagonal.

Lihat pula

Aljabar linear

Referensi

^ Secara ekuivalen, tabel.
^ (Anton 1987, hlm. 23)
^ (Beauregard & Fraleigh 1973, hlm. 56)
^ Young, Cynthia. Precalculus. Laurie Rosatone. hlm. 727.
^ https://iseng-project.id/materi-matematika/sma/matriks/
^ Brown 1991, I.2.21 and 22
^ Greub 1975, Section III.2
^ Brown 1991, Definition II.3.3
^ Greub 1975, Section III.1
^ Brown 1991, Theorem II.3.22
^ Kesalahan pengutipan: Tag <ref> tidak sah; tidak ditemukan teks untuk ref bernama :4

Pranala luar

Artikel ensiklopedia

Hazewinkel, Michiel, ed. (2001) [1994], "Matrix", Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4

Sejarah

Buku daring

Kaw, Autar K., Introduction to Matrix Algebra, ISBN 978-0-615-25126-4
The Matrix Cookbook (PDF), diakses tanggal 24 March 2014
Brookes, Mike (2005), The Matrix Reference Manual, London: Imperial College, diakses tanggal 10 Dec 2008

Kalkulator matriks daring

matrixcalc (Matrix Calculator)
SimplyMath (Matrix Calculator)
Free C++ Library
Matrix Calculator (DotNumerics)
Xiao, Gang, Matrix calculator, diakses tanggal 10 Dec 2008
Online matrix calculator, diarsipkan dari versi asli tanggal 2008-12-12, diakses tanggal 10 Dec 2008
Online matrix calculator (ZK framework), diarsipkan dari versi asli tanggal 2013-05-12, diakses tanggal 26 Nov 2009
Oehlert, Gary W.; Bingham, Christopher, MacAnova, University of Minnesota, School of Statistics, diakses tanggal 10 Dec 2008 , a freeware package for matrix algebra and statistics
Online matrix calculator, diakses tanggal 14 Dec 2009
Operation with matrices in R (determinant, track, inverse, adjoint, transpose)
Matrix operations widget in Wolfram|Alpha

[1] Secara ekuivalen, tabel.

[2] (Anton 1987, hlm. 23)

[3] (Beauregard & Fraleigh 1973, hlm. 56)

[4] Young, Cynthia. Precalculus. Laurie Rosatone. hlm. 727.

[5] ttps://iseng-project.id/materi-matematika/sma/matriks/

[6] Brown 1991, I.2.21 and 22

[7] Greub 1975, Section III.2

[8] Brown 1991, Definition II.3.3

[9] Greub 1975, Section III.1

[10] Brown 1991, Theorem II.3.22

[:4-11] Kesalahan pengutipan: Tag <ref> tidak sah; tidak ditemukan teks untuk ref bernama :4

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]