Penambahan
Penambahan (disebut juga penjumlahan, sering ditandai dengan tanda plus "+") adalah salah satu dari empat operasi aritmetika dasar. Penjumlahan merupakan penambahan sekelompok bilangan atau lebih menjadi suatu bilangan yang disebut jumlah. Misalnya di gambar di samping, terdapat tiga apel di sisi kiri dan dua apel di sisi kanan, menghasilkan jumlah lima apel. Dalam simbol matematika, ini dilambangkan "3 + 2 = 5", disebut "3 ditambah 2 sama dengan 5".
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/5c/Addition01.svg/120px-Addition01.svg.png)
Selain untuk menghitung jumlah benda, penambahan bisa didefinisikan dan digunakan untuk menghitung objek abstrak berupa bilangan, di antaranya bilangan bulat, bilangan real, dan bilangan kompleks. Dalam cabang matematika lain yang disebut aljabar, penambahan bisa digunakan untuk objek-objek abstrak lainnya seperti vektor dan matriks.
Penambahan memiliki beberapa sifat penting. Penambahan bersifat komutatif, yang berarti urutan bilangan yang ditambahkan tidak berpengaruh, dan bersifat asosiatif, yang berarti jika terdapat beberapa operasi penambahan maka urutan penambahan yang dikerjakan terlebih dahulu tidak berpengaruh. Menambahkan 0 tidak mengubah bilangan yang ditambah. Penambahan juga memiliki aturan-aturan yang terkait dengan operasi pengurangan dan perkalian.
Notasi dan terminologi
Penjumlahan ditulis menggunakan tanda plus "+" di antara suku-suku tersebut;[2][3] yaitu, dalam notasi infix. Hasilnya diekspresikan dengan tanda sama dengan. Sebagai contoh,
- ("satu tambah satu sama dengan dua")
- ("dua tambah dua sama dengan empat")
- ("satu tambah dua sama dengan tiga")
- (lihat "asosiatif" di bawah)
- (lihat "perkalian" di bawah)
Ada pula situasi dimana penambahan "dipahami", meskipun tidak ada simbol yang muncul:
- Bilangan bulat dengan pecahan menunjukkan jumlah keduanya, yang disebut bilangan campuran.[4] Sebagai contoh,
3½ = 3 + ½ = 3.5.
Notasi ini dapat membingungkan, karena sebagian besar konteks lain, juxtaposition menunjukkan perkalian sebagai gantinya.[5]
Jumlah dari sebuah deret dari bilangan terkait dapat diekspresikan melalui notasi sigma kapital yang secara kompak menunjukkan iterasi. Sebagai contoh,
Bilangan atau objek yang akan ditambahkan dalam penjumlahan umum secara kolektif disebut sebagai istilah,[6] tambahan[7][8][9] atau ringkasan;[10] terminologi ini dibawa ke penjumlahan beberapa istilah. Dibedakan dari faktor, yaitu perkalian. Beberapa penulis menyebut tambahan pertama sebagai augend.[7][8][9] Faktanya, selama Renaisans, banyak penulis tidak menganggap tambahan pertama sebagai "tambahan" sama sekali. Saat ini, karena sifat komutatif penjumlahan, "augend" jarang digunakan, dan kedua istilah tersebut umumnya disebut adend.[11]
Tanda plus "+" (Unicode:U+002B; ASCII: +
) adalah singkatan dari kata Latin et, yang berarti "dan".[13] Muncul dalam karya matematika yang berasal dari setidaknya 1489.[14]
Interpretasi
Penambahan digunakan untuk memodelkan banyak proses fisik. Bahkan untuk kasus sederhana penambahan bilangan asli, banyak kemungkinan interpretasi dan bahkan lebih banyak lagi representasi visual.
Himpunan gabungan
Interpretasi paling mendasar dari penjumlahan terletak pada himpunan gabungan:
- Ketika dua atau lebih koleksi terputus digabungkan menjadi satu koleksi, jumlah objek dalam satu koleksi adalah jumlah dari jumlah objek dalam koleksi asli.
Interpretasi ini mudah untuk divisualisasikan, dengan sedikit bahaya ambiguitas. Dalam matematika tingkat tinggi (untuk definisi ketat yang diilhaminya, lihat § Bilangan asli dibawah ini). Namun, tidak jelas bagaimana seseorang harus memperluas versi penjumlahan ini untuk memasukkan bilangan pecahan atau bilangan negatif.[15]
Salah satu perbaikan yang mungkin dilakukan adalah dengan mempertimbangkan koleksi objek dengan mudah dibagi, seperti pai atau lebih baik lagi, batang tersegmentasi.[16] Menggabungkan himpunan segmen, batang dapat digabungkan dari ujung ke ujung, yang menggambarkan konsep tambahan lainnya: menambahkan bukan batang tetapi panjang batang.
Ekstensi panjang
Interpretasi kedua tentang penjumlahan berawal dari panjang awal dengan panjang tertentu:
- Jika panjang asli panjang dengan jumlah tertentu, panjang akhirnya adalah jumlah dari panjang asli dan panjang.[17]
Jumlah a + b dapat diartikan sebagai operasi biner yang menggabungkan a dan b, dalam arti aljabar, dapat diartikan sebagai penambahan b lebih banyak unit ke a. Dibawah interpretasi terakhir, bagian dari penjumlahan a + b memainkan peran asimetri, dan operasi a + b sebagai operasi uner +b ke a.[18] Alih kedua adendemen a dan b, lebih tepat untuk a dari augend dalam kasus ini, karena a memainkan peran pasif. Tampilan uner berguna saat mendiskusikan pengurangan, karena setiap operasi penjumlahan uner memiliki operasi pengurangan uner terbalik, dan sebaliknya.
Sifat-sifat
Sifat komutatif
Penambahan bersifat komutatif, berarti urutan di mana dua bilangan ditambahkan tidak menjadi masalah, hasilnya akan tetap sama. Secara simbolis, jika x dan y adalah sembarang bilangan, maka
- .
Sifat asosiatif
Penambahan bersifat asosiatif, yang berarti dalam pernyataan yang hanya melibatkan penambahan tidak terpengaruh dengan urutan operasi. Misalkan untuk pernyataan , jika pernyataan tersebut diartikan sebagai maupun , hasilnya akan sama.
Akan tetapi, jika penambahan berada di dalam pernyataan yang melibatkan operasi lain, urutan operasi akan berpengaruh. Misalnya, jika suatu pernyataan berisi operasi penambahan dan perkalian, maka operasi perkalian harus dilakukan terlebih dahulu.
Elemen identitas
Ketika menambahkan nol dengan suatu bilangan apapun, hasilnya akan sama dengan bilangan tersebut; nol adalah elemen identitas dari penambahan. Dalam simbol matematika, untuk a apapun,
- a + 0 = 0 + a = a.
Hukum ini pertama dikenali dalam Brahmasphutasiddhanta dari Brahmagupta pada tahun 628, meskipin dia menulisnya sebagai tiga hukum terpisah, bergantung pada apakah a adalah bilangan negatif, positif, atau nol, dan dia menggunakan kata-kata bukannya simbol aljabar. Matematikawan India kemudian memperhalus konsepnya; pada sekitar tahun 830, Mahavira menulis, "nol menjadi nilai yang sama dengan nilai yang ditambahkan dengannya", corresponding to the unary statement 0 + a = a.[19]
Penerus
Dalam konteks bilangan bulat, penambahan satu juga memainkan peran khusus: untuk sembarang bilangan bulat a, bilangan bulat (a + 1) adalah bilangan bulat terkecil dari a, juga dikenal sebagai penerus dari a.[20] Misalnya, 3 adalah penerus 2 dan 7 adalah penerus 6. Karena suksesi ini, nilai a + b juga dapat dilihat sebagai penerus ke-b dari a, membuat penambahan suksesi iterasi. Misalnya, 6 + 2 adalah 8, karena 8 adalah penerus 7, yang merupakan penerus 6, menjadikan 8 penerus ke-2 dari 6.
Satuan
Untuk menambahkan kuantitas-kuantitas fisik dengan satuan, kuantitas-kuantitas tersebut harus memiliki satuan yang sama.[21] Contohnya, 24 meter ditambah 1 meter sama dengan 25 meter. Akan tetapi, jika air bervolume 500 mililiter ditambahkan air bervolume 3 liter, maka jumlah volume airnya adalah 3500 mililiter, karena 3 liter sama dengan 3000 mililiter. Sedangkan menambahkan 3 meter dengan 4 meter persegi tidaklah bermakna, karena kedua satuan tersebut tidak bisa dibandingkan. Pertimbangan-pertimbangan ini merupakan dasar dari analisis dimensi.
Cara penambahan
Kemampuan bawaan
Studi perkembangan matematika yang dimulai sekitar tahun 1980-an telah mengeksploitasi fenomena pembiasaan: infant melihat lebih lama pada situasi yang tidak terduga.[22] Percobaan tersebut dimulai oleh Karen Wynn pada tahun 1992 yang melibatkan boneka Mickey Mouse yang dimanipulasi di belakang layar menunjukkan bahwa bayi berusia lima bulan 'berharap' 1 + 1 menjadi 2, dan mereka relatif terkejut ketika situasi fisik tampaknya menyiratkan bahwa 1 + 1 bernilai 1 atau 3. Penemuan ini telah ditegaskan oleh berbagai laboratorium dengan menggunakan metodologi yang berbeda.[23] Eksperimen tahun 1992 lainnya dengan balita yang lebih tua, antara 18 dan 35 bulan, mengeksploitasi perkembangan kontrol motorik mereka dengan memungkinkan mereka mengambil bola ping-pong dari kotak; yang termuda merespons dengan baik untuk jumlah kecil, sementara subjek yang lebih tua mampu menghitung jumlah hingga 5.[24]
Bahkan beberapa hewan bukan manusia menunjukkan kemampuan terbatas untuk menambah, terutama primata. Dalam percobaan tahun 1995 meniru hasil Wynn tahun 1992 (tetapi menggunakan terong sebagai pengganti boneka), monyet rhesus dan cottontop tamarin memiliki penampilan yang mirip dengan bayi manusia. Lebih dramatis, diajari arti dari angka Arab 0 hingga 4, satu simpanse dapat menghitung jumlah dua angka tanpa pelatihan lebih lanjut.[25] Baru-baru ini, Gajah Asia telah mendemonstrasikan kemampuan melakukan aritmetika dasar.[26]
Pembelajaran masa kecil
Biasanya, anak pertama menguasai menghitung. Ketika diberikan masalah yang mengharuskan dua item dan tiga item digabungkan, anak kecil mencontohkan situasi dengan objek fisik, jari atau gambar dan kemudian hitung totalnya. Saat mereka memperoleh pengalaman, mereka mempelajari atau menemukan strategi "mengandalkan": diminta untuk menemukan dua tambah tiga, anak-anak menghitung tiga lewat dua, mengatakan "tiga, empat, lima" (biasanya berdetak dengan jari), dan tiba pukul lima. Strategi ini tampaknya hampir universal; anak-anak dengan mudah memahaminya dari teman atau guru.[27] Sebagian besar menemukannya secara mandiri. Dengan pengalaman tambahan, anak-anak belajar menambah lebih cepat dengan memanfaatkan komutatifitas penjumlahan dengan menghitung dari bilangan yang lebih besar, dalam hal ini, dimulai dengan tiga dan menghitung "empat, lima." Akhirnya anak-anak mulai mengingat fakta penjumlahan tertentu ("bilangan ikatan"), baik melalui pengalaman atau hafalan. Begitu beberapa fakta dimasukkan ke dalam ingatan, anak-anak mulai memperoleh fakta yang tidak diketahui dari yang diketahui. Misalnya, seorang anak yang diminta untuk menjumlahkan enam dan tujuh mungkin tahu itu 6 + 6 = 12 dan kemudian beralasan bahwa 6 + 7 adalah 13.[28] Fakta yang diturunkan dapat ditemukan dengan sangat cepat dan sebagian besar siswa sekolah dasar pada akhirnya mengandalkan campuran dari fakta yang dihafal dan diturunkan untuk menambahkan dengan lancar.[29]
Negara yang berbeda memperkenalkan bilangan bulat dan aritmetika pada usia yang berbeda, dengan banyak negara mengajar tambahan di prasekolah.[30] Namun, di seluruh dunia, penjumlahan diajarkan pada akhir tahun pertama sekolah dasar.[31]
Tabel
Anak-anak sering diberikan tabel penjumlahan pasangan angka dari 0 hingga 9 untuk dihafal. Mengetahui hal ini, anak-anak dapat melakukan penjumlahan apapun.
+ | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
0 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
1 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
2 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 |
3 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
4 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 |
5 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 |
6 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 |
7 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 |
8 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 |
9 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 |
Sistem desimal
Prasyarat untuk penjumlahan dalam sistem desimal adalah penarikan atau penurunan yang lancar dari "fakta penjumlahan" 100 digit tunggal. Seseorang bisa menghafal semua fakta dengan hafalan, tetapi strategi berbasis pola lebih mencerahkan dan, bagi kebanyakan orang, lebih efisien:[32]
- Sifat komutatif: Disebutkan diatas, menggunakan pola a + b = b + a mengurangi jumlah "fakta penjumlahan" dari 100 menjadi 55.
- Satu atau dua: Menambahkan 1 atau 2 adalah tugas dasar, dan dapat dilakukan dengan mengandalkan atau, pada akhirnya, intuisi.[32]
- Nol: Karena nol adalah identitas aditif, menambahkan nol adalah trivial. Meskipun demikian, dalam pembelajaran berhitung, beberapa siswa diperkenalkan penjumlahan sebagai proses yang selalu meningkatkan penjumlahan; masalah kata dapat membantu merasionalisasi "pengecualian" dari nol.[32]
- Ganda: Menambahkan bilangan terkait dengan menghitung dua dan perkalian. Fakta ganda membentuk tulang punggung untuk banyak fakta terkait, dan siswa menemukannya relatif mudah untuk dipahami.[32]
- Hampir ganda: Jumlah seperti 6 + 7 = 13 dapat dengan cepat diturunkan dari fakta ganda 6 + 6 = 12 dengan menambahkan satu, atau dari 7 + 7 = 14 dengan menguranginya.[32]
- Lima dan sepuluh: Jumlah dari bentuk 5 + x dan 10 + x biasanya dihafal lebih awal dan dapat digunakan untuk mendapatkan fakta lain. Sebagai contoh, 6 + 7 = 13 dapat diturunkan dari 5 + 7 = 12 dengan menambahkan satu.[32]
- Membuat sepuluh: Strategi tingkat lanjut menggunakan 10 sebagai perantara untuk jumlah yang melibatkan 8 atau 9; sebagai contoh, 8 + 6 = 8 + 2 + 4 = 10 + 4 = 14.[32]
Seiring bertambahnya usia siswa, mereka mengingat lebih banyak fakta, dan belajar memperoleh fakta lain dengan cepat dan lancar. Banyak siswa tidak pernah mengingat semua fakta, tetapi masih dapat menemukan fakta dasar dengan cepat.[29]
Simpan
Algoritma standar untuk menambahkan bilangan banyak digit adalah dengan meratakan penjumlahan secara vertikal dan menambahkan kolom, dimulai dari kolom satuan di sebelah kanan. Jika sebuah kolom melebihi sembilan, digit tambahannya adalah "simpan" ke kolom berikutnya. Misalnya, sebagai tambahan 27 + 59
¹ 27 + 59 ———— 86
7 + 9 = 16, dan bilangan 1 adalah simpan.[alfa-rendah 1] Strategi alternatif mulai menambahkan dari digit paling signifikan di sebelah kiri; rute ini membawa sedikit canggung, tetapi lebih cepat untuk mendapatkan perkiraan kasar jumlahnya. Ada banyak metode alternatif.
Pecahan desimal
Pecahan desimal dapat ditambahkan dengan modifikasi sederhana dari proses di atas.[33] Satu meratakan dua pecahan desimal di atas satu sama lain, dengan titik desimal di lokasi yang sama. Jika perlu, menambahkan bilangan nol di belakang ke desimal yang lebih pendek untuk sama panjang dengan desimal yang lebih panjang. Akhirnya, melakukan proses penjumlahan yang sama seperti diatas, kecuali koma desimal ditempatkan di jawaban, persis ditempat itu ditempatkan di penjumlahan.
Sebagai contoh, 45.1 + 4.34 dapat diselesaikan sebagai berikut:
4 5 . 1 0 + 0 4 . 3 4 ———————————— 4 9 . 4 4
Notasi Ilmiah
Pada notasi ilmiah, bilangan ditulis dalam bentuk , dimana adalah signifikan dan adalah bagian eksponensial. Penambahan membutuhkan dua angka dalam notasi ilmiah untuk direpresentasikan menggunakan bagian eksponensial yang sama, sehingga dua signifikansi dapat dengan mudah ditambahkan.
Sebagai contoh:
Bukan desimal
Penjumlahan pada basis lain sangat mirip dengan penjumlahan desimal. Sebagai contoh, apabila mempertimbangkan penjumlahan dalam biner.[34] Menambahkan dua angka biner satu digit relatif sederhana, menggunakan bentuk pembawa:
- 0 + 0 → 0
- 0 + 1 → 1
- 1 + 0 → 1
- 1 + 1 → 0, simpan 1 (karena 1 + 1 = 2 = 0 + (1 × 21))
Menambahkan dua digit "1" menghasilkan digit "0", sedangkan 1 harus ditambahkan ke kolom berikutnya. Ini mirip dengan apa yang terjadi dalam desimal ketika angka satu digit tertentu dijumlahkan; jika hasilnya sama atau melebihi nilai akar (10), digit ke kiri bertambah:
- 5 + 5 → 0, simpan 1 (karena 5 + 5 = 10 = 0 + (1 × 101)))
- 7 + 9 → 6, simpan 1 (karena 7 + 9 = 16 = 6 + (1 × 101))
Ini dikenal sebagai simpan.[35] Ketika hasil penjumlahan melebihi nilai sebuah digit, prosedurnya adalah "simpan" kelebihan jumlah dibagi dengan radix (yaitu, 10/10) ke kiri, menambahkannya ke nilai posisi berikutnya. Ini benar karena posisi berikutnya memiliki bobot yang lebih tinggi dengan faktor yang sama dengan akar. Simpan kerja dengan cara yang sama dalam biner:
1 1 1 1 1 (angka simpan)
0 1 1 0 1
+ 1 0 1 1 1
—————————————
1 0 0 1 0 0 = 36
Dalam contoh ini, dua angka ditambahkan dengan: 011012 (1310) dan 101112 (2310). Baris atas menunjukkan bit simpan yang digunakan. Mulai dari kolom paling kanan, 1 + 1 = 102. 1 dibawa ke kiri, dan 0 ditulis dibagian bawah kolom paling kanan. Kolom kedua dari kanan ditambahkan: 1 + 0 + 1 = 102; 1 dilakukan, dan 0 ditulis dibagian bawah. Kolom ketiga: 1 + 1 + 1 = 112. Kali ini, 1 dilakukan, dan 1 ditulis di baris bawah. Melanjutkan seperti ini memberikan jawaban akhir 1001002 (3610).
Komputer
Komputer analog bekerja secara langsung dengan besaran fisis, sehingga mekanisme penjumlahannya bergantung pada bentuk penjumlahan. Sebuah penambah mekanis mungkin mewakili dua tambahan sebagai posisi blok geser, dalam hal ini mereka dapat ditambahkan dengan purata tuas. Jika penjumlahan adalah kecepatan rotasi dari dua poros, maka ia ditambahkan dengan diferensial. Sebuah penambah hidrolik dapat menambahkan tekanan dalam dua ruang dengan memanfaatkan hukum kedua Newton untuk menyeimbangkan gaya pada rakitan piston. Situasi yang umum untuk komputer analog tujuan umum adalah menambahkan dua voltase (direferensikan ke lapangan); ini dapat dicapai secara kasar dengan resistor jaringan, tetapi desain yang lebih baik memanfaatkan penguat operasional.[36]
Penjumlahan juga merupakan dasar pengoperasian komputer digital, dimana efisiensi penjumlahan, khususnya mekanisme penerus, merupakan batasan penting untuk kinerja keseluruhan.
Swipoa, juga disebut bingkai penghitungan, adalah alat hitung yang digunakan berabad-abad sebelum penerapan sistem angka modern tertulis dan masih banyak digunakan oleh pedagang, pedagang, dan juru tulis di Asia, Afrika, dan di tempat lain; ia ditemukan setidaknya 2700–2300 SM, ketika digunakan di Sumer.[37]
Blaise Pascal menemukan kalkulator mekanik pada tahun 1642;[38] ia adalah operasi pertama menambahkan mesin. Yang digunakan untuk mekanisme pembawa yang dibantu gravitasi. Ia adalah satu-satunya kalkulator mekanis yang beroperasi di abad ke-17[39] dan komputer digital otomatis paling awal. Kalkulator Pascal dibatasi oleh mekanisme penerus-nya, yang memaksa rodanya hanya berputar satu arah sehingga bisa menambah. Untuk mengurangi, operator harus menggunakan komplekmen kalkulator Pascal, yang membutuhkan langkah sebanyak penjumlahan. Giovanni Poleni mengikuti Pascal, membangun kalkulator mekanik fungsional kedua pada tahun 1709, sebuah jam hitung yang terbuat dari kayu yang, setelah diatur, apabila mengalikan dua angka secara otomatis.
Penambah bilangan bulat pada komputer digital elektronik, biasanya menggunakan aritmetika biner. Arsitektur paling sederhana adalah penambah penerus riak, yang mengikuti algoritma multi-digit standar. Satu sedikit perbaikan adalah desain lewati penerus; apabila tidak melakukan semua penerus dalam komputasi 999 + 1, tetapi apabila melewati grup 9 dan melompat ke jawabannya.[40]
// Iterative algorithm
int add(int x, int y) {
int carry = 0;
while (y != 0) {
carry = AND(x, y); // Logical AND
x = XOR(x, y); // Logical XOR
y = carry << 1; // left bitshift carry by one
}
return x;
}
// Recursive algorithm
int add(int x, int y) {
return x if (y == 0) else add(XOR(x, y), AND(x, y) << 1);
}
Di komputer, jika hasil penjumlahan besar untuk disimpan, aritmetika limpah atas terjadi, menghasilkan jawaban yang salah. Aritmetika limpah atas tidak terduga adalah penyebab yang cukup umum dari kesalahan program. Bug limpah atas seperti dimungkinkan sulit ditemukan dan didiagnosis karena ia hanya muncul untuk himpunan data input besar, yang cenderung tidak digunakan dalam tes validasi.[41] Masalah tahun 2000 adalah serangkaian bug dimana kesalahan limpah atas terjadi karena penggunaan format 2 digit selama bertahun-tahun.[42]
Penambahan bilangan
Untuk membuktikan sifat-sifat penambahan, penambahan harus didefinisikan pada suatu konteks terlebih dahulu. Penambahan awalnya didefinisikan untuk bilangan asli. Dalam teori himpunan, operasi penambahan lalu diperluas untuk himpunan bilangan lain yang mengandung bilangan asli, yaitu bilangan bulat, bilangan rasional, dan bilangan real.[43]
Bilangan asli
Ada dua cara populer untuk mendefinisikan jumlah dari dua bilangan asli a dan b. Jika bilangan asli didefinisikan sebagai kardinalitas dari himpunan hingga, (kardinalitas suatu himpunan adalah banyak unsur dalam himpunan tersebut), maka jumlah dua bilangan asli bisa didefinisikan sebagai berikut:
- Misalkan N(S) adalah lambang untuk kardinalitas himpunan S. Misalkan terdapat dua himpunan saling lepas A dan B, dengan N(A) = a dan N(B) = b. Maka a + b didefinisikan sebagai .[44]
Di sini, A ∪ B adalah gabungan dari A dan B. Versi alternatif dari definisi ini memungkinkan A dan B bertindih dan kemudian mengambil satuan disjoin, mekanisme yang memungkinkan unsur-unsur umum untuk dipisahkan dan karena itu dihitung dua kali.
Definisi populer lainnya bersifat rekursif:
- Misalkan n+ adalah lambang untuk penerus dari n, yaitu bilangan setelah n dalam himpunan bilangan asli, jadi 0+=1, 1+=2. Definisikan a + 0 = a. Definisikan jumlah secara umum menggunakan rekursi a + (b+) = (a + b)+. Jadi misalnya 1 + 1 = 1 + 0+ = (1 + 0)+ = 1+ = 2.[45]
Sekali lagi, variasi kecil pada definisi ini dalam literatur. Secara harfiah, definisi di atas adalah aplikasi dari teorema rekursi pada himpunan terurut parsial N2.[46] Di sisi lain, beberapa sumber lebih sering menggunakan teorema rekursi hingga yang hanya berlaku untuk himpunan bilangan asli. Salah satu a untuk sementara "diperbaiki", menerapkan rekursi pada b untuk mendefinisikan fungsi "a +", dan menempelkan operasi uner ini untuk semua a dengan membentuk operasi biner penuh.[47]
Perumusan penambahan rekursif ini telah dikembangkan oleh Dedekind pada tahun 1854, dan dia kemudian mengembangkannya selama dekade-dekade berikutnya.[48] Dia membuktikan sifat asosiatif dan komutatifnya menggunakan induksi matematika.
Bilangan bulat
Konsepsi bilangan bulat yang sederhana adalah ia terdiri dari nilai absolut (yang merupakan bilangan asli) dan tanda (umumnya positif atau negatif). Bilangan bulat nol adalah kasus ketiga khusus, yang bukan positif atau negatif. Definisi yang sesuai dari penambahan harus dilanjutkan dengan kasus:
- Untuk bilangan bulat n, maka |n| menjadi nilai mutlaknya. Misalkan a dan b adalah bilangan bulat. Jika a atau b adalah nol, perlukan sebagai identitas. Jika a dan b keduanya positif, tentukan a + b = |a| + |b|. Jika a dan b keduanya negatif, tentukan a + b = −(|a| + |b|). Jika a dan b memiliki tanda yang berbeda, tentukan a + b sebagai selisih antara |a| dan |b|, dengan tanda suku yang nilai absolutnya lebih besar.[49] Sebagai contoh, −6 + 4 = 2; karena –6 dan 4 memiliki tanda yang berbeda, nilai absolutnya dikurangi, dan karena nilai absolut suku negatif lebih besar, jawabannya adalah negatif.
Meskipun definisi ini berguna untuk masalah konkret, jumlah kasus yang perlu dipertimbangkan memperumit pembuktian yang tidak perlu. Jadi metode berikut ini biasa digunakan untuk mendefinisikan bilangan bulat. Hal ini didasarkan pada pernyataan bahwa setiap bilangan bulat adalah selisih dari dua bilangan bulat asli dan bahwa dua selisih tersebut, a – b and c – d are equal if and only if a + d = b + c. Jadi, apabila mendefinisikan secara formal bilangan bulat sebagai kelas ekuivalensi dari pasangan terurut bilangan asli di bawah relasi ekuivalensi
- (a, b) ~ (c, d) jika dan hanya jika a + d = b + c.
Kelas ekuivalensi dari (a, b) berisi (a – b, 0) jika a ≥ b, atau (0, b – a). Jika n adalah bilangan asli, yang menyatakan +n kelas ekuivalen dari (n, 0), dan dengan –n kelas ekuivalen dari (0, n). Hal ini memungkinkan mengidentifikasi bilangan asli n dengan kelas ekivalen +n.
Penambahan pasangan terurut dilakukan berdasarkan komponen:
Perhitungan langsung menunjukkan bahwa kelas ekuivalen dari hasil hanya bergantung pada kelas ekuivalen dari penyebut, dan dengan demikian ini mendefinisikan penambahan kelas ekuivalen, yaitu bilangan bulat.[50] Perhitungan langsung lainnya menunjukkan bahwa penambahan ini sama dengan definisi kasus di atas.
Cara mendefinisikan bilangan bulat sebagai kelas ekuivalen dari pasangan bilangan asli, dapat digunakan untuk menyematkan ke dalam grup komutatif semigrup dengan sifat pembatalan. Di sini, semigrup dibentuk oleh bilangan asli dan grup adalah grup aditif bilangan bulat. Bilangan rasional dibangun dengan cara yang sama, dengan mengambil sebagai semigrup bilangan bulat bukan nol dengan perkalian.
Konstruksi ini juga telah digeneralisasikan dengan nama grup Grothendieck untuk kasus setiap semigrup komutatif. Tanpa sifat pembatalan homomorfisme semigrup dari semigrup ke grup ini adalah non-injektif. Awalnya, "grup Grothendieck", hasil konstruksi ini diterapkan pada kelas ekivalensi di bawah isomorfisme objek dari kategori Abelian, dengan jumlah langsung sebagai operasi semigrup.
Bilangan rasional (pecahan)
Penambahan bilangan rasional didefinisikan menggunakan penambahan dan perkalian bilangan asli.
- Definisikan
Contohnya, .
Penambahan pecahan lebih sederhana ketika penyebutnya sama; untuk kasus ini, tinggal dijumlahkan pembilangnya tanpa mengubah penyebutnya: , jadi .[51]
Bilangan kompleks
Penambahan bilangan kompleks didefinisikan dengan menjumlahkan bagian real dan menjumlahkan bagian imajiner.[52][53] Dengan simbol matematika:
Generalisasi
Ada banyak operasi biner yang bisa dianggap sebagai generalisasi dari penambahan. Bidang aljabar abstrak utamanya membahas mengenai operasi-operasi yang digeneralisasi, dan operasi-operasi seperti itu juga ada dalam teori himpunan dan teori kategori.
Aljabar abstrak
Vektor
Dalam aljabar linear, ruang vektor adalah struktur aljabar yang mengandung operasi penambahan antara dua vektor dan perkalian skalar suatu vektor. Contoh ruang vektor adalah himpunan semua pasangan terurut bilangan real; suatu pasangan terurut bilangan real (a,b) dianggap sebagai sebuah vektor dari titik nol ke titik (a,b). Jumlah dua vektor diperoleh dari menambahkan masing-masing koordinatnya:
Operasi penambahan ini penting sekali bagi mekanika klasik, di mana gaya ditafsirkan sebagai vektor.
Matriks
Penjumlahan matriks didefinisikan untuk dua matriks yang dimensinya sama. Jumlah dari dua matriks berukuran m × n A dan B, dilambangkan dengan A + B, adalah sebuah matriks m × n yang dihitung dengan menambahkan elemen-elemen yang bersesuaian:[54][55]
Contohnya:
Aritmetika modular
Dalam aritmetika modular, penambahan dua bilangan bulat hasilnya sama dengan bilangan bulat yang kongruen dengan jumlah kedua bilangan bulat tersebut.
Teori umum
Teori umum dari aljabar abstrak membolehkan "penambahan" diartikan sebagai operasi apapun pada himpunan yang bersifat asosiatif dan komutatif. Struktur aljabar dengan operasi penambahan seperti itu di antaranya adalah monoid komutatif dan grup abelian.
Produk dari urutan
Notasi pi kapital
Hasil kali rangkaian faktor dapat ditulis dengan simbol hasil kali, yang berasal dari huruf kapital (pi) di Alfabet Yunani (mirip seperti huruf kapital (sigma) digunakan dalam konteks penjumlahan).[56][57][58] Posisi unicode U + 220F (∏) berisi mesin terbang untuk menunjukkan produk seperti itu, berbeda dari U+03A0 (Π), huruf. Arti dari notasi ini diberikan oleh:
that is
Subskrip memberikan simbol untuk variabel terikat (i dalam kasus ini), yang disebut "indeks perkalian", bersama dengan batas bawahnya (1). Batas bawah dan atas adalah ekspresi yang menunjukkan bilangan bulat. Faktor produk diperoleh dengan mengambil ekspresi mengikuti operator produk, dengan nilai integer yang berurutan menggantikan indeks perkalian, mulai dari batas bawah dan ditambah 1 sampai (dan termasuk) batas atas. Sebagai contoh:
Secara umum, notasi didefinisikan sebagai
di mana m dan n adalah bilangan bulat atau ekspresi yang dievaluasi menjadi bilangan bulat. Dalam kasus dimana m = n, nilai produknya sama dengan nilai faktor tunggalnya xm; bila m > n, produknya adalah produk kosong yang nilainya 1 terlepas dari ekspresi faktornya.
Produk tak hingga
Seseorang juga dapat mempertimbangkan produk dari istilah yang sangat banyak; ini disebut produk tak terbatas. Secara notasi, ini terdiri dari mengganti n di atas dengan simbol tak hingga ∞. Hasil kali dari urutan tak hingga seperti itu didefinisikan sebagai batas dari hasil kali suku n pertama, karena n tumbuh tanpa batas. Itu adalah,
Seseorang juga dapat mengganti m dengan tak terhingga negatif, dan mendefinisikan:
asalkan kedua batasan itu ada.
Aksioma
Dalam buku Arithmetices principal, nova methodo exposita , Giuseppe Peano mengajukan aksioma untuk aritmatika berdasarkan aksioma-nya untuk bilangan asli.[59] Aritmatike peano memiliki dua aksioma untuk perkalian:
Di sini S ( y ) mewakili penerus dari y , atau bilangan asli yang mengikuti y . Berbagai sifat seperti asosiatif dapat dibuktikan dari ini dan aksioma aritmatika Peano lainnya termasuk induksi. Misalnya S (0), dilambangkan dengan 1, adalah identitas perkalian karena
Aksioma untuk bilangan bulat biasanya mendefinisikannya sebagai kelas ekivalen dari pasangan bilangan asli yang terurut. Modelnya didasarkan pada perawatan (x,y) setara dengan x − y jika x dan y diperlakukan sebagai bilangan bulat. Jadi baik (0,1) dan (1,2) sama dengan −1. Aksioma perkalian untuk bilangan bulat didefinisikan dengan cara ini
Aturan yang −1 × −1 = 1 dapat disimpulkan
Perkalian diperluas dengan cara yang mirip dengan bilangan rasional dan kemudian ke bilangan riil.
Perkalian dengan teori himpunan
Hasil perkalian bilangan bulat bukan negatif dapat ditentukan dengan teori himpunan menggunakan bilangan pokok atau Aksioma Peano. Lihat di bawah bagaimana cara mengalikan bilangan bulat sembarangan, lalu bilangan rasional sembarang. Produk dari bilangan riil didefinisikan dalam hal produk dari bilangan rasional, lihat konstruksi bilangan riil.
Lihat pula
- Aritmetika mental
- Penambahan paralel (matematika)
- Aritmetika verbal (dikenal sebagai kriptaritma), teka-teki yang melibatkan penambahan
Catatan Kaki
- ^ From Enderton (p.138): "...select two sets K and L with card K = 2 and card L = 3. Sets of fingers are handy; sets of apples are preferred by textbooks."
- ^ Kesalahan pengutipan: Tag
<ref>
tidak sah; tidak ditemukan teks untuk ref bernama:0
- ^ "Addition". www.mathsisfun.com. Diakses tanggal 2020-08-25.
- ^ Devine et al. p. 263
- ^ Mazur, Joseph. Enlightening Symbols: A Short History of Mathematical Notation and Its Hidden Powers. Princeton University Press, 2014. p. 161
- ^ Department of the Army (1961) Army Technical Manual TM 11-684: Principles and Applications of Mathematics for Communications-Electronics. Bagian 5.1
- ^ a b Shmerko, V.P.; Yanushkevich [Ânuškevič], Svetlana N. [Svitlana N.]; Lyshevski, S.E. (2009). Computer arithmetics for nanoelectronics. CRC Press. hlm. 80.
- ^ a b Schmid, Hermann (1974). Decimal Computation (edisi ke-1st). Binghamton, NY: John Wiley & Sons. ISBN 0-471-76180-X. and Schmid, Hermann (1983) [1974]. Decimal Computation (edisi ke-reprint of 1st). Malabar, FL: Robert E. Krieger Publishing Company. ISBN 978-0-89874-318-0.
- ^ a b Weisstein, Eric W. "Addition". mathworld.wolfram.com (dalam bahasa Inggris). Diakses tanggal 2020-08-25.
- ^ Hosch, W.L. (Ed.). (2010). The Britannica Guide to Numbers and Measurement. The Rosen Publishing Group. p. 38
- ^ Schwartzman p. 19
- ^ Karpinski pp. 56–57, reproduced on p. 104
- ^ Cajori, Florian (1928). "Asal dan arti dari tanda + dan -". A History of Mathematical Notations, Vol. 1. The Open Court Company, Publishers.
- ^ "plus" . Oxford English Dictionary (edisi ke-Online). Oxford University Press. Templat:OEDsub
- ^ Lihat Viro 2001 untuk contoh kecanggihan yang terlibat dalam penjumlahan dengan himpunan "kardinalitas pecahan".
- ^ Menambahkannya (p. 73) membandingkan menambahkan batang pengukur dengan menambahkan himpunan kucing: "Misalnya, inci dapat dibagi lagi menjadi beberapa bagian, yang sulit dibedakan dari keseluruhan, kecuali bahwa inci lebih pendek; sedangkan bagi kucing untuk membaginya menjadi beberapa bagian, dan itu sangat mengubah sifat mereka."
- ^ Mosley, F. (2001). Using number lines with 5–8 year olds. Nelson Thornes. p. 8
- ^ Li, Y., & Lappan, G. (2014). Mathematics curriculum in school education. Springer. p. 204
- ^ Kaplan pp. 69–71
- ^ Hempel, C.G. (2001). Filosofi Carl G. Hempel: studi dalam sains, penjelasan, dan rasionalitas. hal. 7
- ^ R. Fierro (2012) Mathematics for Elementary School Teachers. Cengage Learning. Sec 2.3
- ^ Wynn p. 5
- ^ Wynn p. 15
- ^ Wynn p. 17
- ^ Wynn p. 19
- ^ Randerson, James (21 August 2008). "Elephants have a head for figures". The Guardian. Diarsipkan dari versi asli tanggal 2 April 2015. Diakses tanggal 29 March 2015.
- ^ F. Smith p. 130
- ^ Carpenter, Thomas; Fennema, Elizabeth; Franke, Megan Loef; Levi, Linda; Empson, Susan (1999). Children's mathematics: Cognitively guided instruction . Portsmouth, NH: Heinemann. ISBN 978-0-325-00137-1.
- ^ a b Henry, Valerie J.; Brown, Richard S. (2008). "First-grade basic facts: An investigation into teaching and learning of an accelerated, high-demand memorization standard". Journal for Research in Mathematics Education. 39 (2): 153–183. doi:10.2307/30034895. JSTOR 30034895.
- ^ Beckmann, S. (2014). Studi ICMI dua puluh tiga: studi matematika dasar pada bilangan bulat. Jurnal Internasional Pendidikan STEM, 1(1), 1-8. Chicago
- ^ Schmidt, W., Houang, R., & Cogan, L. (2002). "A coherent curriculum". American Educator, 26(2), 1–18.
- ^ a b c d e f g Fosnot dan Dolk p. 99
- ^ Rebecca Wingard-Nelson (2014) Decimals and Fractions: It's Easy Enslow Publishers, Inc.
- ^ Dale R. Patrick, Stephen W. Fardo, Vigyan Chandra (2008) Dasar-Dasar Sistem Digital Elektronik The Fairmont Press, Inc. p. 155
- ^ P.E. Bates Bothman (1837) Aritmatika sekolah umum. Henry Benton. hal. 31
- ^ Truitt and Rogers hlm. 1;44–49 dan hlm. 2;77–78
- ^ Ifrah, Georges (2001). The Universal History of Computing: From the Abacus to the Quantum Computer. New York: John Wiley & Sons, Inc. ISBN 978-0-471-39671-0. hal. 11
- ^ Jean Marguin, hal. 48 (1994); Mengutip René Taton (1963)
- ^ Lihat Desain bersaing di artikel kalkulator Pascal
- ^ Flynn and Overman hlm. 2, 8
- ^ Joshua Bloch, "Ekstra, Ekstra – Baca Semua Tentang Ini: Hampir Semua Pencarian Biner dan Penggabungan Rusak" Diarsipkan 2016-04-01 di Wayback Machine.. Blog Riset Google Resmi, 2 Juni 2006.
- ^ Neumann, Peter G. "The Risks Digest Volume 4: Issue 45". The Risks Digest. Diarsipkan dari versi asli tanggal 2014-12-28. Diakses tanggal 2015-03-30.
- ^ Enderton chapters 4 and 5, sebagai contoh, mengikuti pengembangan ini.
- ^ Begle p. 49, Johnson p. 120, Devine et al. p. 75
- ^ Enderton hal. 79
- ^ Untuk versi yang berlaku untuk pohimpunan apa pun dengan kondisi rantai turunan, lihat Bergman hal. 100.
- ^ Enderton (p. 79) observes, "But we want one binary operation +, not all these little one-place functions."
- ^ Ferreirós p. 223
- ^ K.Smith hal. 234, Sparks dan Rees hal. 66
- ^ Enderton p. 92
- ^ Schyrlet Cameron, and Carolyn Craig (2013)Adding and Subtracting Fractions, Grades 5–8 Mark Twain, Inc.
- ^ Conway, John B. (1986), Functions of One Complex Variable I, Springer, ISBN 978-0-387-90328-6
- ^ Joshi, Kapil D (1989), Foundations of Discrete Mathematics, New York: John Wiley & Sons, ISBN 978-0-470-21152-6
- ^ Lipschutz, S., & Lipson, M. (2001). Schaum's outline of theory and problems of linear algebra. Erlangga.
- ^ Riley, K.F.; Hobson, M.P.; Bence, S.J. (2010). Mathematical methods for physics and engineering . Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-86153-3.
- ^ "Comprehensive List of Algebra Symbols". Math Vault (dalam bahasa Inggris). 2020-03-25. Diakses tanggal 2020-08-16.
- ^ Weisstein, Eric W. "Product". mathworld.wolfram.com (dalam bahasa Inggris). Diakses tanggal 2020-08-16.
- ^ "Summation and Product Notation". math.illinoisstate.edu. Diakses tanggal 2020-08-16.
- ^ "Peano arithmetic". PlanetMath. Diarsipkan dari versi asli tanggal 2007-08-19. Diakses tanggal 2007-06-03.
Referensi
Sejarah
- Ferreirós, José (1999). Labyrinth of Thought: A History of Set Theory and Its Role in Modern Mathematics . Birkhäuser. ISBN 978-0-8176-5749-9.
- Karpinski, Louis (1925). The History of Arithmetic. Rand McNally. LCC QA21.K3.
- Schwartzman, Steven (1994). The Words of Mathematics: An Etymological Dictionary of Mathematical Terms Used in English . MAA. ISBN 978-0-88385-511-9.
- Williams, Michael (1985). A History of Computing Technology . Prentice-Hall. ISBN 978-0-13-389917-7.
Matematika elementer
- Sparks, F.; Rees C. (1979). A Survey of Basic Mathematics. McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-059902-4.
Pendidikan
- Begle, Edward (1975). The Mathematics of the Elementary School. McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-004325-1.
- California State Board of Education mathematics content standards Adopted December 1997, accessed December 2005.
- Devine, D.; Olson, J.; Olson, M. (1991). Elementary Mathematics for Teachers (edisi ke-2e). Wiley. ISBN 978-0-471-85947-5.
- National Research Council (2001). Adding It Up: Helping Children Learn Mathematics. National Academy Press. doi:10.17226/9822. ISBN 978-0-309-06995-3.
- Van de Walle, John (2004). Elementary and Middle School Mathematics: Teaching developmentally (edisi ke-5e). Pearson. ISBN 978-0-205-38689-5.
Ilmu kognitif
- Fosnot, Catherine T.; Dolk, Maarten (2001). Young Mathematicians at Work: Constructing Number Sense, Addition, and Subtraction. Heinemann. ISBN 978-0-325-00353-5.
- Wynn, Karen (1998). "Numerical competence in infants". The Development of Mathematical Skills. Taylor & Francis. ISBN 0-86377-816-X.
Eksposisi matematika
- Bogomolny, Alexander (1996). "Addition". Interactive Mathematics Miscellany and Puzzles (cut-the-knot.org). Diarsipkan dari versi asli tanggal April 26, 2006. Diakses tanggal 3 February 2006.
- Dunham, William (1994). The Mathematical Universe . Wiley. ISBN 978-0-471-53656-7.
- Johnson, Paul (1975). From Sticks and Stones: Personal Adventures in Mathematics. Science Research Associates. ISBN 978-0-574-19115-1.
- Linderholm, Carl (1971). Mathematics Made Difficult. Wolfe. ISBN 978-0-7234-0415-6.
- Smith, Frank (2002). The Glass Wall: Why Mathematics Can Seem Difficult . Teachers College Press. ISBN 978-0-8077-4242-6.
- Smith, Karl (1980). The Nature of Modern Mathematics (edisi ke-3rd). Wadsworth. ISBN 978-0-8185-0352-8.
Matematika tingkat lanjut
- Bergman, George (2005). An Invitation to General Algebra and Universal Constructions (edisi ke-2.3). General Printing. ISBN 978-0-9655211-4-7.
- Burrill, Claude (1967). Foundations of Real Numbers. McGraw-Hill. LCC QA248.B95.
- Dummit, D.; Foote, R. (1999). Abstract Algebra (edisi ke-2). Wiley. ISBN 978-0-471-36857-1.
- Enderton, Herbert (1977). Elements of Set Theory. Academic Press. ISBN 978-0-12-238440-0.
- Lee, John (2003). Introduction to Smooth Manifolds. Springer. ISBN 978-0-387-95448-6.
- Martin, John (2003). Introduction to Languages and the Theory of Computation (edisi ke-3). McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-232200-2.
- Rudin, Walter (1976). Principles of Mathematical Analysis (edisi ke-3). McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-054235-8.
- Stewart, James (1999). Calculus: Early Transcendentals (edisi ke-4). Brooks/Cole. ISBN 978-0-534-36298-0.
Penelitian matematika
- Akian, Marianne; Bapat, Ravindra; Gaubert, Stephane (2005). "Min-plus methods in eigenvalue perturbation theory and generalised Lidskii-Vishik-Ljusternik theorem". INRIA Reports. arXiv:math.SP/0402090 . Bibcode:2004math......2090A.
- Baez, J.; Dolan, J. (2001). Mathematics Unlimited – 2001 and Beyond. From Finite Sets to Feynman Diagrams. hlm. 29. arXiv:math.QA/0004133 . ISBN 3-540-66913-2.
- Litvinov, Grigory; Maslov, Victor; Sobolevskii, Andreii (1999). Idempotent mathematics and interval analysis. Reliable Computing, Kluwer.
- Loday, Jean-Louis (2002). "Arithmetree". Journal of Algebra. 258: 275. arXiv:math/0112034 . doi:10.1016/S0021-8693(02)00510-0.
- Mikhalkin, Grigory (2006). Sanz-Solé, Marta, ed. Proceedings of the International Congress of Mathematicians (ICM), Madrid, Spain, August 22–30, 2006. Volume II: Invited lectures. Tropical Geometry and its Applications. Zürich: European Mathematical Society. hlm. 827–852. arXiv:math.AG/0601041 . ISBN 978-3-03719-022-7. Zbl 1103.14034.
- Viro, Oleg (2001). Cascuberta, Carles; Miró-Roig, Rosa Maria; Verdera, Joan; Xambó-Descamps, Sebastià, ed. European Congress of Mathematics: Barcelona, July 10–14, 2000, Volume I. Dequantization of Real Algebraic Geometry on Logarithmic Paper. Progress in Mathematics. 201. Basel: Birkhäuser. hlm. 135–146. arXiv:math/0005163 . Bibcode:2000math......5163V. ISBN 978-3-7643-6417-5. Zbl 1024.14026.
Menghitung
- Flynn, M.; Oberman, S. (2001). Advanced Computer Arithmetic Design. Wiley. ISBN 978-0-471-41209-0.
- Horowitz, P.; Hill, W. (2001). The Art of Electronics (edisi ke-2). Cambridge UP. ISBN 978-0-521-37095-0.
- Jackson, Albert (1960). Analog Computation. McGraw-Hill. LCC QA76.4 J3.
- Truitt, T.; Rogers, A. (1960). Basics of Analog Computers. John F. Rider. LCC QA76.4 T7.
- Marguin, Jean (1994). Histoire des Instruments et Machines à Calculer, Trois Siècles de Mécanique Pensante 1642–1942 (dalam bahasa Prancis). Hermann. ISBN 978-2-7056-6166-3.
- Taton, René (1963). Le Calcul Mécanique. Que Sais-Je ? n° 367 (dalam bahasa Prancis). Presses universitaires de France. hlm. 20–28.
Bacaan lebih lanjut
- Baroody, Arthur; Tiilikainen, Sirpa (2003). The Development of Arithmetic Concepts and Skills. Two perspectives on addition development. Routledge. hlm. 75. ISBN 0-8058-3155-X.
- Davison, David M.; Landau, Marsha S.; McCracken, Leah; Thompson, Linda (1999). Mathematics: Explorations & Applications (edisi ke-TE). Prentice Hall. ISBN 978-0-13-435817-8.
- Bunt, Lucas N.H.; Jones, Phillip S.; Bedient, Jack D. (1976). The Historical roots of Elementary Mathematics . Prentice-Hall. ISBN 978-0-13-389015-0.
- Poonen, Bjorn (2010). "Addition". Girls' Angle Bulletin. 3 (3–5). ISSN 2151-5743.
- Weaver, J. Fred (1982). Addition and Subtraction: A Cognitive Perspective. Interpretations of Number Operations and Symbolic Representations of Addition and Subtraction. Taylor & Francis. hlm. 60. ISBN 0-89859-171-6.
Kesalahan pengutipan: Ditemukan tag <ref>
untuk kelompok bernama "alfa-rendah", tapi tidak ditemukan tag <references group="alfa-rendah"/>
yang berkaitan