Persegi

Dalam geometri Euklides, persegi adalah bangun poligon segi-empat reguler, artinya bangun tersebut memiliki empat sisi yang sama panjang dan empat sudut yang sama besar (dengan sudut 90 derajat, π/2 radian, atau sudut siku-siku). Bangun ini juga dapat didefinisikan sebagai bangun persegi panjang dengan semua sisi memiliki panjang yang sama. Persegi adalah satu-satunya poligon reguler dengan sudut dalam, sudut pusat, dan sudut luar yang sama besar (90°), dan dengan semua diagonalnya memiliki panjang yang sama. Persegi dengan titik sudut $ABCD$ disimbolkan sebagai $\square \,ABCD.$

Persegi
Sebuah segiempat biasa
Sisi dan titik pojok	{{{p4-sisi}}}
Simbol Schläfli	{4}
Diagram Coxeter–Dynkin
Grup simetri	Dihedral (D4), order 2×{{{p4-sisi}}}
Sudut dalam (derajat)	{{{p4-sudut}}}°
Sifat	Convex, cyclic, equilateral, isogonal, isotoxal

Definisi

Bangun poligon segi-empat disebut sebagai persegi jika dan hanya jika bangun tersebut merupakan salah satu bentuk dari bangun-bangun berikut:

• Persegi panjang dengan semua sisi memiliki panjang yang sama
• Belah ketupat dengan sudut siku-siku
• Belah ketupat dengan semua sudutnya sama besar
• Jajar genjang yang memiliki sudut siku-siku dan dua sisi yang bersebelahan sama panjangnya
• Poligon segi-empat dengan panjang sisi yang sama dan empat sudut siku-siku
• Poligon dengan semua diagonalnya sama panjang, saling berpotongan tegak lurus dan saling membagi dua (contoh, belah ketupat dengan diagonal-diagonalnya sama panjang)

• Poligon segi-empat dengan sisi-sisi berurutan a, b, c, dan d, yang luasnya $L={\tfrac {1}{2}}(a^{2}+c^{2})={\tfrac {1}{2}}(b^{2}+d^{2}).$^{:Corollary 15}

Sifat

Persegi adalah kasus khusus dari banyak bangun berikut (dengan sifat masing-masing dalam tanda kurung): belah ketupat (semua sisi sama panjang, semua sudut berhadapan sama besar), layang-layang (dua panjang sisi bersebelahan sama besar), trapesium (sepasang sisi berhadapan sejajar), jajar genjang (semua sisi berhadapan sejajar), persegi panjang (semua sisi berhadapan sama besar, semua sudut siku-siku), dan tetragon (poligon empat sisi). Akibatnya, persegi memiliki semua sifat dari bangun-bangun tersebut, meliputi:

• Semua sudut dalam dari persegi sama besar (masing-masing sebesar 360°/4 = 90°, sudut siku-siku).
• Sudut pusat dari persegi sama dengan 90° (360°/4).

• Sudut luar dari persegi sama dengan 90° (360°/4).
• Kedua diagonal dari persegi sama besar dan saling memotong pada sudut 90°.
• Diagonal dari persegi membagi dua sudut dalamnya, masing-masing membentuk sudut 45°.
• Semua sisi dari persegi sama besar
• Semua sisi yang saling berhadapan sejajar

Keliling dan luas

Luas dari persegi adalah hasil perkalian dari panjang sisinya.

Keliling dari bangun persegi yang keempat sisinya memiliki panjang $\ell$ adalah $$K=4\ell$$dan luasnya adalah $$L=\ell ^{2}.$$Pada zaman klasik, konsep kuadrat (pangkat dua) dijelaskan menggunakan luas dari bangun persegi, seperti pada rumus di atas. Pada perkembangan selanjutnya, seperti dalam bahasa Inggris, ini menyebabkan penggunaan istilah square (persegi) untuk mengartikan kuadrat.

Luas dari persegi juga dapat dihitung menggunakan panjang diagonal d, menggunakan rumus$$L={\frac {d^{2}}{2}}.$$Jika menggunakan lingkaran luar persegi dengan jari-jari $R,$ luas persegi dapat dituliskan sebagai$$L=2R^{2};$$Karena luas dari lingkaran tersebut adalah $\pi R^{2},$ persegi akan mengisi $2/\pi \approx 0.6366$ bagian dari lingkaran luarnya. Sedangkan menggunakan lingkaran dalam dengan jari-jari $r,$ luas dari persegi adalah $$L=4r^{2};$$sehingga lingkaran dalam mengisi $\pi /4\approx 0.7854$ bagian dari persegi tersebut.

Karena persegi merupakan poligon reguler, bangun ini memiliki keliling terkecil yang mengitari suatu luas tertentu. Dual dari pernyataan tersebut, persegi merupakan bangun segi-empat yang memiliki luas terbesar, dari semua segi-empat dengan suatu besar keliling tertentu. Secara lebih matematis, jika $L$ dan $K$ masing-masing adalah luas dan keliling dari suatu segi-empat, maka berlaku pertidaksamaan isoperimetrik berikut: $$16L\leq K^{2}$$dengan persamaan terjadi jika dan hanya jika segi-empat tersebut adalah persegi.

Fakta lain

• Diagonal persegi adalah ${\sqrt {2}}$ (sekitar 1,414) kali panjang sisi persegi. Nilai ini, dikenal sebagai akar kuadrat dari 2 atau konstanta Pythagoras, adalah angka pertama yang terbukti irasional .
• Kuadrat juga dapat didefinisikan sebagai jajaran genjang dengan diagonal yang sama yang membagi dua sudut.
• Jika angka adalah persegi panjang (sudut kanan) dan belah ketupat (panjang sisi yang sama), maka itu adalah persegi.
• Jika lingkaran dibatasi di sekitar persegi, luas lingkaran adalah $\pi /2$ (sekitar 1,5708) kali luas alun-alun.
• Jika sebuah lingkaran ditulisi di dalam bujur sangkar, luas lingkaran adalah $\pi /4$ Kotak memiliki luas yang lebih besar daripada segiempat lainnya dengan batas yang sama.
• Sebuah ubin persegi adalah satu dari tiga tilings biasa dari pesawat (yang lain adalah segitiga sama sisi dan segi enam biasa ).
• Alun-alun berada dalam dua keluarga polytopes dalam dua dimensi: hypercube dan cross-polytope . Simbol Schläfli untuk alun-alun adalah {4}.
• Persegi adalah objek yang sangat simetris. Ada empat garis simetri reflektif dan memiliki simetri rotasi orde 4 (hingga 90°, 180° dan 270°). Its kelompok simetri adalah kelompok dihedral D_{4 .}
• Jika lingkaran bertulis ABCD persegi memiliki titik singgung E pada AB , F pada BC , G pada CD , dan H pada DA , maka untuk setiap titik P pada lingkaran bertuliskan,

$2(PH^{2}-PE^{2})=PD^{2}-PB^{2}$

• Jika $d_{i}$ adalah jarak dari titik sewenang-wenang di pesawat dengan saya simpul persegi dan $R$ adalah circumradius dari alun-alun, maka

Elemen luas

Bangun persegi sering digunakan sebagai elemen luas dalam menghitung luas suatu bangun datar dengan menggunakan proses integral. Dalam ruang koordinat x dan y elemen luas (dA) yang berbentuk persegi dinyatakan sebagai:

$dA=dxdy\!$

sehingga luas suatu bangun dua dimensi dalam ruang tersebut dapat dihitung menggunakan

$\int dx\int dy\ f(x,y)=\int f(x,y)dA\!$

sebagai suatu rumusan umum.

Kontruksi

Animasi berikut ini menunjukkan cara membuat persegi menggunakan kompas dan garis lurus . Ini dimungkinkan karena 4 = 2^2, kekuatan dua .

Kontruksi pembuatan persegi

Kuadrat pada panjang sisi yang diberikan, sudut kanan dengan menggunakan teorema Thales

Kuadrat pada diagonal yang diberikan

Persegi latin

Lihat pula: Persegi latin

Persegi Latin adalah skema kotak dengan n baris dan kolom, di mana setiap bidang memiliki salah satu dari n simbol yang berbeda, sehingga setiap simbol muncul tepat sekali di setiap baris dan di setiap kolom. Bilangan alami n disebut urutan kuadrat Latin.

Geometri Non-Euklides

Dalam geometri non-Euclidean, kuadrat lebih umum adalah poligon dengan 4 sisi yang sama dan sudut yang sama.

Dalam geometri bola , kotak adalah poligon yang ujung-ujungnya adalah lingkaran besar dengan jarak yang sama, yang bertemu pada sudut yang sama. Tidak seperti kuadrat bidang geometri, sudut persegi seperti itu lebih besar dari sudut kanan. Kotak bola yang lebih besar memiliki sudut yang lebih besar.

Dalam geometri hiperbolik, kotak dengan sudut kanan tidak ada. Alih-alih, kotak dalam geometri hiperbolik memiliki sudut kurang dari sudut kanan. Persegi hiperbolik yang lebih besar memiliki sudut yang lebih kecil.

Dua kotak dapat membentuk bola dengan 2 kotak di sekitar setiap sudut dan sudut internal 180 derajat . Setiap kotak mencakup seluruh belahan bumi dan simpulnya terletak di sepanjang lingkaran besar . Ini disebut dihedron persegi berbentuk bola. simbol Schläfli adalah {4,2}.

Enam kotak dapat membentuk bola dengan 3 kotak di sekitar setiap sudut dan sudut internal 120 derajat . Ini disebut kubus bulat. simbol Schläfli adalah {4,3}.

Grafik

3-simpleks (3D)

Grafik lengkap K₄ sering digambarkan sebagai kotak dengan semua 6 sisi yang mungkin terhubung, karenanya muncul sebagai kotak dengan kedua diagonal digambar. Grafik ini juga merupakan proyeksi ortografis dari 4 simpul dan 6 tepi dari 3 simpleks biasa ( tetrahedron ).

Lihat juga

• Persegi bulat
• Squaring the square