Fungsi cembung

Dalam matematika, fungsi bernilai riil dikatakan cembung jika ruas garis antara sebarang dua titik berbeda pada grafik fungsi, berada di atas atau berada pada grafik fungsi di antara dua titik tersebut. Istilah lain dari fungsi dengan sifat tersebut adalah fungsi konveks dan fungsi cekung ke atas. Dalam kalimat yang lebih mudah, grafik fungsi cembung berbentuk seperti mangkuk $\cup$ (atau garis lurus seperti fungsi linear), sedangkan fungsi cekung berbentuk seperti tutup $\cap$.

Grafik suatu fungsi cembung pada suatu selang.

Fungsi (kurva hitam) bersifat cembung jika dan hanya jika daerah di atas grafik fungsi tersebut berupa himpunan cembung.

Grafik fungsi bivariat cembung x² + xy + y².

Fungsi satu variabel yang terdiferensialkan dua kali bersifat cembung jika dan hanya jika turunan kedua fungsi tersebut bernilai non-negatif di seluruh domainnya. Beberapa contoh fungsi cembung yang umum dikenal antara lain: fungsi linear $f(x)=cx$ (dengan $c$ adalah bilangan riil), fungsi kuadratik $cx^{2}$($c$ adalah bilangan riil non-negatif), dan fungsi ekponensial $ce^{x}$ ($c$ adalah bilangan riil non-negatif).

Fungsi cembung memainkan peran penting dalam banyak bidang matematika. Fungsi ini banyak dipelajari dalam masalah-masalah optimisasi karena memiliki beberapa sifat yang mudah digunakan. Sebagai contoh, fungsi cembung tegas pada himpunan buka hanya memiliki satu minimum. Bahkan di ruang dimensi tak-hingga, dengan beberapa asumsi tambahan yang sesuai, fungsi cembung tetap memenuhi sifat tersebut; dan sebagai akibatnya, mereka menjadi fungsi yang paling dipahami dalam kalkulus variasi. Dalam teori peluang, fungsi cembung yang diterapkan pada nilai harapan dari suatu variabel acak akan terbatas dari atas, oleh nilai harapan dari fungsi cembung dari variabel acak. Sifat tersebut, dikenal sebagai pertidaksamaan Jensen, dapat digunakan untuk menentukan bentuk-bentuk pertidaksamaan lainnya, seperti pertidaksamaan rerata aritmetik–geometrik dan pertidaksamaan Hölder.

Definisi

Suatu fungsi bernilai riil $f$ yang didefinisikan pada suatu selang $I$ disebut fungsi konveks pada selang tersebut apabila untuk sebarang dua titik $x,y\in I$, untuk setiap $t$ dalam [0,1] berlaku

$f(tx+(1-t)y)\leq tf(x)+(1-t)f(y)$.

Secara grafik, artinya ruas garis yang ditarik antara titik $(y,f(y))$ dan $(x,f(y))$ berada di atas grafik fungsi $f$. Setara dengan itu, dengan kata lain dapat juga dikatakan bahwa fungsi $f$ adalah fungsi kompleks jika dan hanya jika epigraf (bagian di atas grafik) fungsi itu merupakan himpunan cembung.