Sistem koordinat polar

Sistem koordinat polar (sistem koordinat kutub) dalam matematika adakag suatu sistem koordinat 2-dimensi di mana setiap titik pada bidang ditentukan dengan jarak dari suatu titik yang telah ditetapkan dan suatu sudut dari suatu arah yang telah ditetapkan.

Titik yang telah ditetapkan (analog dengan titik origin dalam sistem koordinat Kartesius) disebut pole atau "kutub", dan ray atau "sinar" dari kutub pada arah yang telah ditetapkan disebut "aksis polar" (polar axis). Jarak dari suatu kutub disebut radial coordinate atau radius, dan sudutnya disebut angular coordinate, polar angle, atau azimuth.^[1]

Sejarah

Berkas:Hipparchos 1.jpeg

Hipparchus

Konsep sudut dan jari-jari sudah digunakan oleh manusia sejak zaman purba, paling tidak pada milenium pertama SM. Astronom dan astrolog Yunani, Hipparchus, (190–120 SM) menciptakan tabel fungsi chord dengan menyatakan panjang chord bagi setiap sudut, dan ada rujukan mengenai penggunaan koordinat polar olehnya untuk menentukan posisi bintang-bintang.^[2] Dalam karyanya On Spirals, Archimedes menyatakan Archimedean spiral, suatu fungsi yang jari-jarinya tergantung dari sudut. Namun, karya-karya Yunani tidak berkembang sampai ke suatu sistem koordinat sepenuhnya.

Dari abad ke-8 M dan seterusnya, para astronom mengembangkan metode untuk menghitung arah ke Mekkah (kiblat)— dan jaraknya — dari semua lokasi di bumi.^[3]

Kaidah

Sebuah grid polar dengan beberapa sudut yang diberi label dalam derajat.

Koordinat radial sering dilambangkan dengan r, dan koordinat angular dilambangkan dengan φ, θ, atau t. Koordinat angular ditetapkan sebagai φ oleh standar ISO 31-11.

Sudut dalam notasi polar biasanya dinyatakan dalam derajat atau radian (2π rad sama dengan to 360°). Derajat biasanya digunakan dalam navigasi, surveying, dan banyak bidang, sementara radian lebih umum dalam matematika dan fisika.^[4]

Dalam banyak konteks, suatu koordinat angular positif berarti sudut φ diukur berlawanan dengan jarum jam dari aksis.

Dalam literatur matematika, aksis polar sering digambar horizontal dan mengarah ke kanan.

Konversi dari atau ke koordinat Kartesius

Sebuah diagram menggambarkan hubungan antara sistem koordinat Kartesius dan polar.

Sebuah kurva dalam bidang Kartesian dapat dipetakan ke dalam koordinat polar. Dalam animasi ini,

y=\sin(6x)+2

dipetakan kepada

r=\sin(6\varphi )+2

. Klik gambar untuk detail.

Koordinat polar r dan φ dapat dikonversi ke dalam sistem koordinat Kartesius x dan y menggunakan fungsi trigonometri sinus dan kosinus:

x=r\cos \varphi \,

y=r\sin \varphi \,

Koordinat Kartesian x dan y dapat dikonversi ke dalam koordinat polar r dan φ dengan r ≥ 0 dan φ dalam interval (−π, π] dengan:^[5]

r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\quad

(sebagaimana dalam teorema Pythagoras atau Euclidean norm), dan

\varphi =\operatorname {atan2} (y,x)\quad

,

di mana atan2 merupakan variasi umum pada fungsi arctangent yang didefinisikan sebagai

\operatorname {atan2} (y,x)={\begin{cases}\arctan({\frac {y}{x}})&{\mbox{jika }}x>0\\\arctan({\frac {y}{x}})+\pi &{\mbox{jika }}x<0{\mbox{ dan }}y\geq 0\\\arctan({\frac {y}{x}})-\pi &{\mbox{jika }}x<0{\mbox{ dan }}y<0\\{\frac {\pi }{2}}&{\mbox{jika }}x=0{\mbox{ dan }}y>0\\-{\frac {\pi }{2}}&{\mbox{jika }}x=0{\mbox{ dan }}y<0\\{\text{undefined}}&{\mbox{jika }}x=0{\mbox{ dan }}y=0\end{cases}}

Nilai φ di atas adalah principal value dari fungsi bilangan kompleks arg yang diterapkan pada x+iy. Suatu sudut dalam rentang [0, 2π) dapat diperoleh dengan menambahkan 2π pada nilai sudut itu jika nilainya negatif.

Lihat pula

Referensi

General

Adams, Robert; Christopher Essex (2013). Calculus: a complete course (edisi ke-Eighth). Pearson Canada Inc. ISBN 978-0-321-78107-9.
Anton, Howard; Irl Bivens; Stephen Davis (2002). Calculus (edisi ke-Seventh). Anton Textbooks, Inc. ISBN 0-471-38157-8.
Finney, Ross; George Thomas; Franklin Demana; Bert Waits (June 1994). Calculus: Graphical, Numerical, Algebraic (edisi ke-Single Variable Version). Addison-Wesley Publishing Co. ISBN 0-201-55478-X.

Specific

^ Brown, Richard G. (1997). Andrew M. Gleason, ed. Advanced Mathematics: Precalculus with Discrete Mathematics and Data Analysis. Evanston, Illinois: McDougal Littell. ISBN 0-395-77114-5.
^ Friendly, Michael. "Milestones in the History of Thematic Cartography, Statistical Graphics, and Data Visualization". Diakses tanggal 2006-09-10.
^ King, David A. (2005). The Sacred Geography of Islam. p.166. In Koetsier, Teun; Luc, Bergmans, ed. (2005). Mathematics and the Divine: A Historical Study. Amsterdam: Elsevier. hlm. 162–78. ISBN 0-444-50328-5. .
^ Serway, Raymond A. (2005). Principles of Physics. Brooks/Cole—Thomson Learning. ISBN 0-534-49143-X.
^ Torrence, Bruce Follett; Eve Torrence (1999). The Student's Introduction to Mathematica. Cambridge University Press. ISBN 0-521-59461-8.