Jangkauan interkuartil

Dalam statistika deskriptif, jangkauan interkuartil (IQR), adalah selisih antara persentil ke-75 (kuartil atas) dan persentil ke-25 (kuartil bawah). Dengan kata lain, IQR adalah kuartil pertama dikurangi kuartil ketiga. Kuartil dapat dilihat dengan jelas pada diagram kotak garis data.

IQR adalah ukuran variabilitas yang didasarkan pada pembagian kumpulan data menjadi kuartil. Kuartil membagi kumpulan data terurut menjadi empat bagian yang sama besar. Nilai yang memisahkan bagian-bagian ini disebut kuartil pertama, kedua (median), dan ketiga yang masing-masing dilambangkan dengan Q1, Q2, dan Q3.

Penggunaan

IQR digunakan untuk membuat diagram kotak garis, sebuah representasi grafis sederhana yang menunjukkan distribusi probabilitas. IQR juga digunakan oleh para pebisnis untuk menghitung laju pendapatan mereka.

Untuk sebuah distribusi simetris (median sama dengan rata-rata kuartil pertama dan ketiga), setengah IQR sama dengan deviasi absolut median (MAD). IQR dapat digunakan untuk mengidentifikasi pencilan (lihat di bawah). Deviasi kuartil atau jangkauan semi-interkuartil merupakan setengah dari IQR.^[1]

Algoritma

IQR dari suatu kumpulan data merupakan selisih antara kuartil atas (Q₃) dan bawah (Q₁). Setiap kuartil adalah median^[2] dari sebagian data, seperti yang ditunjukkan oleh contoh berikut.

Misal, terdapat kumpulan data berjumlah genap (2n) atau ganjil (2n + 1), maka

kuartil pertama Q₁ = median dari n data terkecil

kuartil ketiga Q₃ = median dari n data terbesar ^[2]

Kuartil kedua Q ₂ sama dengan median kumpulan data yang sesungguhnya.^[2]

Contoh

Kumpulan data dalam sebuah tabel

Tabel berikut memiliki 13 baris yang tiap barisnya berisi sebuah data.

i	x[i]	Median	Kuartil
1	7	Q₂ = 87 (median seluruh data pada tabel)	Q₁ = 31 (median paruh atas, dari baris 1 hingga 6)
2	7
3	31
4	31
5	47
6	75
7	87
8	115		Q₃ = 119 (median paruh bawah, dari baris 8 hingga 13)
9	116
10	119
11	119
12	155
13	177

Jangkauan interkuartil data di atas adalah: $IQR=Q_{1}-Q_{2}=119-31=88$ .

Kumpulan data dalam diagram kotak polos

Kumpulan data pada diagram kotak ini memiliki:

kuartil bawah (pertama) Q₁ = 7
median (kuartil kedua) Q₂ = 8.5
kuartil atas (ketiga) Q₃ = 9
jangkauan interkuartil, IQR = Q₃ - Q₁ = 2
lebih rendah 1,5 * kumis IQR = Q ₁ - 1,5 * IQR = 7 - 3 = 4. (Jika tidak ada titik data di 4, maka titik terendah lebih besar dari 4. )
atas 1,5 * kumis IQR = Q ₃ + 1,5 * IQR = 9 + 3 = 12. (Jika tidak ada titik data di 12, maka titik tertinggi kurang dari 12. )

Hal ini berarti garis 1,5*IQR bisa memiliki panjang yang tidak sama.

Distribusi

Jangkauan interkuartil dari distribusi kontinu dapat dihitung dengan mengintegrasikan fungsi kepadatan probabilitas. Kuartil bawah (Q₁) adalah bilangan sedemikian rupa sehingga integral PDF dari -∞ ke Q₁ sama dengan 0,25, sedangkan kuartil atas (Q₃) adalah bilangan sedemikian rupa sehingga integral dari -∞ ke Q₃ sama dengan 0,75. Pada distribusi fungsi kumulatif (CDF), kuartil dapat didefinisikan sebagai:

Q_{1}={\text{CDF}}^{-1}(0.25),

Q_{3}={\text{CDF}}^{-1}(0.75),

dengan CDF ⁻¹ adalah fungsi kuantil .

Jangkauan interkuartil dan median dari beberapa distribusi umum ditunjukkan pada tabel di bawah ini

Distribusi	Median	IQR
Normal	μ	2 Φ ^{− 1} (0,75) σ ≈ 1,349σ ≈ (27/20) σ
Laplace	μ	2 b ln (2) ≈ 1.386 b
Cauchy	μ	2γ

Uji jangkauan interkuartil untuk normalitas distribusi

IQR, rata-rata, dan deviasi standar dari populasi P dapat digunakan dalam uji sederhana untuk menentukan apakah P terdistribusi normal. Jika P terdistribusi normal, maka skor standar kuartil pertama, z ₁, adalah −0.67, dan skor standar kuartil ketiga, z ₃, adalah +0.67. Diberikan mean = X dan standar deviasi = σ untuk P, jika P berdistribusi normal, kuartil pertama

Q_{1}=(\sigma \,z_{1})+X

dan kuartil ketiga

Q_{3}=(\sigma \,z_{3})+X

Pencilan

Diagram kotak garis dengan empat pencilan ringan dan satu pencilan ekstrim. Dalam bagan ini, pencilan digolongkan sebagai ringan apabila pencilan berada Q3 + 1.5 IQR di atas kuartil atas dan pencilan ekstrim apabila pencilan berada lebih dari Q3 + 3 IQR di atas kuartil atas.

Jangkauan interkuartil sering digunakan untuk mencari pencilan dalam data. Pada contoh di atas, pencilan didefinisikan sebagai data yang ditemukan berada di bawah Q₁ - 1.5 IQR atau di atas Q₃ + 1.5 IQR. Dalam diagram kotak, nilai tertinggi dan terendah dalam batas ini ditandai oleh ujung dari garis (sering pula ditambahkan bilah tambahan di ujung garis) dan pencilan sebagai titik-titik individual.

Referensi

^ Yule, G. Udny (1911). An Introduction to the Theory of Statistics. Charles Griffin and Company. hlm. 147–148.
^ ^a ^b ^c Bertil., Westergren (1988). Beta [beta] mathematics handbook : concepts, theorems, methods, algorithms, formulas, graphs, tables. Studentlitteratur. hlm. 348. ISBN 9144250517. OCLC 18454776.

Kesalahan pengutipan: Tag <ref> dengan nama "Upton" yang didefinisikan di <references> tidak digunakan pada teks sebelumnya.

Kesalahan pengutipan: Tag <ref> dengan nama "ZK" yang didefinisikan di <references> tidak digunakan pada teks sebelumnya.

Tautan luar

Media tentang Interquartile range di Wikimedia Commons

[Yule-1] Yule, G. Udny (1911). An Introduction to the Theory of Statistics. Charles Griffin and Company. hlm. 147–148.

[:0-2] Bertil., Westergren (1988). Beta [beta] mathematics handbook : concepts, theorems, methods, algorithms, formulas, graphs, tables. Studentlitteratur. hlm. 348. ISBN 9144250517. OCLC 18454776.

[1]

[2]