Resolusi (teori Galois)

Dalam teori Galois, disiplin dalam bidang aljabar abstrak, resolusi untuk grup permutasi G adalah polinomial koefisien yang bergantung secara polinomial pada koefisien polinomial tertentu p dan akar rasional jika dan hanya jika grup Galois dari p termasuk dalam G . Lebih tepatnya, jika grup Galois termasuk dalam G , maka resolusi memiliki akar rasional, dan sebaliknya berlaku jika akar rasional adalah akar sederhana. Resolusi diperkenalkan oleh Joseph Louis Lagrange dan secara sistematis digunakan oleh Évariste Galois. Saat ini mereka masih menggunakan alat fundamental untuk menghitung grup Galois. Contoh resolusi yang paling sederhana adalah

$X^{2}-\Delta$ dimana $\Delta$ adalah diskriminan, yang merupakan resolvent untuk grup alternatif. Dalam kasus persamaan kubik, resolusi ini kadang disebut resolusi kuadrat; akarnya muncul secara eksplisit dalam rumus untuk akar persamaan kubik.
Resolusi kubik dari sebuah persamaan kuartik, yang merupakan penyekat untuk grup dihedral dari 8 elemen.
Resolusi Cayley adalah resolusi untuk grup Galois resolubel maksimal dalam derajat lima. Polinomial dengan derajat 6.

Ketiga resolusi ini memiliki sifat seperabel , yang berarti, jika memiliki banyak akar, maka polinomial p tidak dapat disederhanakan. Tidak diketahui apakah resolusi yang dapat dipisahkan untuk setiap grup permutasi.

Untuk setiap persamaan, akar dapat diekspresikan dalam bentuk akar dan akar pemecah untuk grup yang dapat larut, karena, gugus Galois dari persamaan di atas bidang yang dihasilkan oleh akar ini dapat diselesaikan.

Definisi

Misalkan $n$ adalah bilangan bulat positif, yang akan menjadi derajat dari persamaan yang akan kita pertimbangkan, dan $(X 1, ..., X n)$ daftar memerintahkan tak tentu. Ini mendefinisikan polinomial generik dari derajat $n$

F(X)=X^{n}+\sum _{i=1}^{n}(-1)^{i}E_{i}X^{n-i}=\prod _{i=1}^{n}(X-X_{i}),

dimana $E i$ adalah i^ke polinomial simetris dasar.

Grup simetris $S n$ acts on the $X i$ dengan menggunakannya, dan ini menginduksi tindakan pada polinomial $X i$ . Pemusat dari polinomial tertentu di bawah tindakan ini umumnya sepele, tetapi beberapa polinomial memiliki penstabil yang lebih besar. Misalnya, penstabil polinomial simetris elementer adalah grup $S n$ . Jika penstabil tidak sepele, polinomial ditetapkan oleh beberapa subkelompok non-sepele $G$ ; dikatakan sebagai invariantl dari $G$ . Sebaliknya, subgrup $G$ dari $S n$ , invariant dari $G$ adalah resolusi invarian untuk $G$ jika bukan merupakan invarian dari subgrup yang lebih besar dari $S n$ .^[1]

Menemukan invarian untuk subgrup tertentu $G$ dari $S n$ relatif mudah; seseorang dapat menjumlahkan orbit dari sebuah monomial di bawah aksi $S n$ . Namun mungkin terjadi bahwa polinomial yang dihasilkan adalah invarian untuk grup yang lebih besar. Misalnya, pertimbangkan kasus subgrup $G$ dari $S 4$ dari urutan 4, terdiri dari $(12)(34)$ , $(13)(24)$ , $(14)(23)$ dan identitas (untuk notasinya, lihat grup permutasi). Monomial tersebut $X 1 X 2$ gives the invariant $2(X 1 X 2 + X 3 X 4)$ . Ini bukan invarian penyelesai untuk $G$ , sebagai invarian oleh $(12)$ , pada kenyataannya, ini adalah invarian resolusi untuk subgrup dihedral $⟨(12), (1324)⟩$ , dan digunakan untuk mendefinisikan resolusi kubik dari persamaan kuartik.

Jika $P$ adalah invarian penyelesaian untuk grup $G$ dari indeks $m ' '$ , lalu orbitnya di bawah Sn memiliki pesanan m . Maka P₁, ..., P_m menjadi elemen orbit. Maka polinomial

R_{G}=\prod _{i=1}^{m}(Y-P_{i})

adalah invarian di bawah $S n$ . Jadi, ketika diperluas, koefisiennya adalah polinomial di $X i$ yang invarian di bawah aksi grup simetri dan dengan diekspresikan sebagai polinomial dalam polinomial simetris elementer. Dengan kata lain, $R G$ adalah polinomial irreduksi di $Y$ yang koefisiennya polinomial dalam koefisien $F$ . Memiliki invarian resolvent sebagai root, ini disebut resolusi (terkadang persamaan resolusi).

Pertimbangkan sekarang sebagai polinomial yang tidak dapat disederhanakan

f(X)=X^{n}+\sum _{i=1}^{n}a_{i}X^{n-i}=\prod _{i=1}^{n}(X-x_{i}),

dengan koefisien di bidang tertentu $K$ (biasanya bidang rasional) dan akar $x i$ dalam ekstensi bidang tertutup aljabar. Mengganti $X i$ oleh $x i$ dan koefisien $F$ oleh $f$ yang mendahului, polinomial $R_{G}^{(f)}(Y)$ , juga disebut resolusi atau resolvent khusus dalam kasus ambiguitas). Jika grup Galois dari $f$ ada di $G$ , spesialisasi dari resolusi invariant adalah invarian oleh $G$ dan dengan demikian merupakan root dari $R_{G}^{(f)}(Y)$ yang dimiliki $K$ (rasional pada $K$ ). Sebaliknya jika $R_{G}^{(f)}(Y)$ memiliki akar rasional, yang bukan merupakan akar ganda, grup Galois dari $f$ terdapat dalam $G$ .

Istilah

Beberapa varian dalam terminologi tersebut.

Bergantung pada penulis atau pada konteks, resolusi merujuk ke resolusi invarian dari resolusi persamaan.
Resolusi Galois adalah pemecah sehingga invarian penentu linear di akarnya.
Resolusi Lagrange mengacu pada polinomial linear

\sum _{i=0}^{n-1}X_{i}\omega ^{i}

dimana

\omega

adalah akar satuan ke-n primitif. Hal ini adalah invarian dari resolusi Galois untuk grup identitas.

Resolusi relatif didefinisikan sebagai resolusi, tetapi elemen dari subgrup tertentu $H$ dari $S n$ , memiliki sifat, jika resolusi relatif untuk subgrup $G$ dari $H$ akar sederhana rasional dan grup Galois dari $f$ ke $H$ , maka grup Galois dari $f$ ke $G$ . Dalam konteks ini, resolusi biasa disebut resolusi mutlak.

Metode resolusi

Grup Galois dari polinomial derajat $n$ adalah $S_{n}$ atau subgrup. Jika polinomial dapat dipisahkan dan tidak dapat direduksi, maka gugus Galois yang bersesuaian adalah subgrup transitif.

Subgrup transitif dari $S_{n}$ membentuk grafik berarah: satu grup dapat menjadi subgrup dari beberapa grup. Satu resolusi dapat mengetahui apakah grup Galois dari sebuah polinomial adalah subgrup (tidak harus tepat) dari grup yang diberikan. Metode resolusi hanyalah cara sistematis untuk memeriksa grup satu per satu hingga hanya satu grup yang memungkinkan. Ini tidak berarti bahwa setiap grup harus diperiksa: setiap resolvent dapat membatalkan banyak grup yang memungkinkan. Misalnya, untuk polinomial derajat lima tidak diperlukan resolvent $D_{5}$ : resolusi untuk $A_{5}$ dan $M_{20}$ memberikan informasi yang diinginkan.

Salah satu caranya adalah mulai dari subgrup maksimal (transitif) hingga subgrup ditemukan dan kemudian dilanjutkan dengan subgrup maksimalnya.

Referensi

^ http://www.alexhealy.net/papers/math250a.pdf

Dickson, Leonard E. (1959). Algebraic Theories. New York: Dover Publications Inc. hlm. ix+276. ISBN 0-486-49573-6.
Girstmair, K. (1983). "On the computation of resolvents and Galois groups". Manuscripta Mathematica. 43 (2–3): 289–307. doi:10.1007/BF01165834.

[1] ttp://www.alexhealy.net/papers/math250a.pdf

[1]