Grup dihedral

Dalam matematika, grup dihedral adalah grup dari simetri dari poligon beraturan,^[1]^[2] yang meliputi rotasi dan refleksi. Gugus dihedral adalah contoh paling sederhana dari gugus hingga, dan mereka memainkan peran penting dalam teori grup, geometri, dan kimia.

Grup simetri dari kepingan salju adalah D₆, simetri dihedral, sama seperti untuk segi enam biasa.

Notasi untuk grup dihedral berbeda dalam geometri dan aljabar abstrak. Dalam geometri, $D n$ atau $Dih n$ mengacu pada kesimetrian n-gon, segrup urutan $2 n$ . Dalam aljabar abstrak, $D 2 n$ mengacu pada grup dihedral yang sama ini.^[3] Konvensi geometris digunakan dalam artikel ini.

Definisi

Elemen

Enam sumbu refleksi dari segi enam beraturan

Poligon beraturan dengan $n$ sisi memiliki $2n$ simetri yang berbeda: $n$ simetri rotasi dan $n$ simetri refleksi. Biasanya, kami mengambil $n\geq 3$ di sini. Rotasi s dan refleksi yang terkait membuat grup dihedral $\mathrm {D} _{n}$ . Jika $n$ ganjil, setiap sumbu simetri menghubungkan titik tengah dari satu sisi ke simpul yang berlawanan. Jika $n$ genap, ada $n/2$ sumbu simetri yang menghubungkan titik tengah sisi berlawanan dan $n/2$ sumbu simetri yang menghubungkan simpul yang berlawanan. Dalam kedua kasus tersebut, ada $n$ sumbu simetri dan elemen $2n$ dalam grup simetri.^[4] Refleksi dalam satu sumbu simetri diikuti dengan refleksi di sumbu simetri lain menghasilkan rotasi melalui dua kali sudut antar sumbu.^[5]

Gambar berikut menunjukkan efek dari enam belas elemen $\mathrm {D} _{8}$ pada tanda berhenti:

Baris pertama menunjukkan efek dari delapan rotasi, dan baris kedua menunjukkan efek dari delapan refleksi, dalam setiap kasus bekerja pada tanda berhenti dengan orientasi seperti yang ditunjukkan di kiri atas.

Struktur grup

Seperti pada objek geometris lainnya, komposisi dari dua kesimetrian poligon beraturan juga merupakan simetri dari objek ini. Dengan komposisi kesimetrian untuk menghasilkan kesimetrian lain sebagai operasi biner, hal ini memberikan kesimetrian poligon struktur aljabar dari grup berhingga.^[6]

Komposisi kedua pantulan ini adalah sebuah rotasi.

Tabel Cayley berikut ini menunjukkan efek komposisi dalam grup D₃ (kesimetrian sebuah segitiga sama sisi). r₀ menunjukkan identitas; r₁ dan r₂ menunjukkan rotasi berlawanan arah jarum jam masing-masing sebesar 120° dan 240°, dan s₀, s₁ dan s_{2 </ sub > menunjukkan pantulan melintasi tiga garis yang ditunjukkan pada pi yang berdekatan}

	r₀	r₁	r₂	s₀	s₁	s₂
r₀	r₀	r₁	r₂	s₀	s₁	s₂
r₁	r₁	r₂	r₀	s₁	s₂	s₀
r₂	r₂	r₀	r₁	s₂	s₀	s₁
s₀	s₀	s₂	s₁	r₀	r₂	r₁
s₁	s₁	s₀	s₂	r₁	r₀	r₂
s₂	s₂	s₁	s₀	r₂	r₁	r₀

Sebagai contoh, s₂s₁ = r₁, karena refleksi s₁ diikuti oleh refleksi s₂ menghasilkan rotasi 120°. Urutan elemen yang menunjukkan komposisi adalah dari kanan ke kiri, yang mencerminkan konvensi bahwa elemen tersebut bekerja pada ekspresi di sebelah kanannya. Operasi komposisi bukanlah komutatif.^[6]

Secara umum, grup D_n memiliki elemen r₀, ..., r_n−1 dan s₀, ..., s_n−1, dengan komposisi yang diberikan oleh rumus berikut:

\mathrm {r} _{i}\,\mathrm {r} _{j}=\mathrm {r} _{i+j},\quad \mathrm {r} _{i}\,\mathrm {s} _{j}=\mathrm {s} _{i+j},\quad \mathrm {s} _{i}\,\mathrm {r} _{j}=\mathrm {s} _{i-j},\quad \mathrm {s} _{i}\,\mathrm {s} _{j}=\mathrm {r} _{i-j}.

Dalam semua kasus, penambahan dan pengurangan subskrip harus dilakukan dengan menggunakan aritmetika modular dengan modulus n .

Representasi matriks

Simetri segi lima ini adalah transformasi linear bidang sebagai ruang vektor.

Jika kita memusatkan poligon beraturan di titik asal, maka elemen dari kelompok dihedral bertindak sebagai transformasi linear dari bidang. Ini memungkinkan kita merepresentasikan elemen D_n sebagai matriks, dengan komposisi perkalian matriks. Ini adalah contoh dari representasi grup (2 dimensi).

Misalnya, unsur-unsur dari kelompok D₄ dapat diwakili oleh delapan matriks berikut:

{\begin{matrix}\mathrm {r} _{0}=\left({\begin{smallmatrix}1&0\\[0.2em]0&1\end{smallmatrix}}\right),&\mathrm {r} _{1}=\left({\begin{smallmatrix}0&-1\\[0.2em]1&0\end{smallmatrix}}\right),&\mathrm {r} _{2}=\left({\begin{smallmatrix}-1&0\\[0.2em]0&-1\end{smallmatrix}}\right),&\mathrm {r} _{3}=\left({\begin{smallmatrix}0&1\\[0.2em]-1&0\end{smallmatrix}}\right),\\[1em]\mathrm {s} _{0}=\left({\begin{smallmatrix}1&0\\[0.2em]0&-1\end{smallmatrix}}\right),&\mathrm {s} _{1}=\left({\begin{smallmatrix}0&1\\[0.2em]1&0\end{smallmatrix}}\right),&\mathrm {s} _{2}=\left({\begin{smallmatrix}-1&0\\[0.2em]0&1\end{smallmatrix}}\right),&\mathrm {s} _{3}=\left({\begin{smallmatrix}0&-1\\[0.2em]-1&0\end{smallmatrix}}\right).\end{matrix}}

Secara umum, matriks untuk elemen D_n memiliki bentuk sebagai berikut:

{\begin{aligned}\mathrm {r} _{k}&={\begin{pmatrix}\cos {\frac {2\pi k}{n}}&-\sin {\frac {2\pi k}{n}}\\\sin {\frac {2\pi k}{n}}&\cos {\frac {2\pi k}{n}}\end{pmatrix}}\ \ {\text{and}}\\\mathrm {s} _{k}&={\begin{pmatrix}\cos {\frac {2\pi k}{n}}&\sin {\frac {2\pi k}{n}}\\\sin {\frac {2\pi k}{n}}&-\cos {\frac {2\pi k}{n}}\end{pmatrix}}.\end{aligned}}

r_k adalah matriks rotasi, yang menyatakan rotasi berlawanan arah jarum jam melalui sudut 2πk/n. s_k adalah refleksi melintasi garis yang membentuk sudut πk/n dengan sumbu x .

Definisi lainnya

Definisi ekuivalen lebih lanjut dari $D n$ adalah:

Grup automorfisme dari grafik hanya terdiri dari sebuah siklus dengan simpul n (jika n ≥ 3).
Grup dengan presentasi
${\begin{aligned}\mathrm {D} _{n}&=\langle \mathrm {r} ,\mathrm {s} \mid \operatorname {ord} (\mathrm {r} )=n,\operatorname {ord} (\mathrm {s} )=2,\mathrm {srs} =\mathrm {r} ^{-1}\rangle \\&=\langle \mathrm {r,s} \mid \mathrm {r} ^{n}=\mathrm {s} ^{2}=(\mathrm {sr} )^{2}=1\rangle .\end{aligned}}$
Dari presentasi kedua berikut itu $D n$ termasuk dalam kelas Coxeter group s.
Produk setengah langsung dari grup siklik $Z n$ dan $Z 2$ , dengan $Z 2$ bertindak $Z n$ oleh inversi (dengan demikian, $D n$ selalu memiliki subgrup normal isomorfik ke grup $Z n$ ). Z_n ⋊_φ Z₂ isomorfik untuk $D n$ jika $φ (0)$ adalah identitas dan $φ (1)$ adalah inversi.

Grup dihedral kecil

Contoh subkelompok dari simetri dihedral heksagonal

$D 1$ adalah isomorfik menjadi $Z 2$ , grup siklik dari order 2.

$D 2$ adalah isomorfik menjadi $K 4$ , Klein empat grup.

$D 1$ dan $D 2$ karena:

$D 1$ dan $D 2$ adalah satu-satunya grup dihedral abelian. Jika tidak, $D n$ adalah non-abelian.
$D n$ adalah subgrup dari grup simetris $S n$ dari $n \geq 3$ . Maka $2 n > n!$ dari $n = 1$ atau $n = 2$ , untuk nilai-nilai ini, $D n$ terlalu besar untuk dijadikan subgrup.
Grup automorfisme dalam dari $D 2$ adalah trivial, sedangkan untuk nilai genap lainnya $n$ , maka $D n / Z 2$ .

grafik siklus dari grup dihedral terdiri dari siklus n elemen dan siklus 2 elemen n . Titik gelap pada grafik siklus di bawah dari berbagai grup dihedral mewakili elemen identitas, dan simpul lainnya adalah elemen lain dari grup. Sebuah siklus terdiri dari kekuatan berturut-turut dari salah satu elemen yang terhubung ke elemen identitas.

Grafik siklus
D₁ = Z₂	D₂ = Z₂² = K₄	D₃	D₄	D₅


D₆ = D₃ × Z₂	D₇	D₈	D₉	D₁₀ = D₅ × Z₂

D₃ = S₃	D₄

Grup dihedral sebagai grup simetri dalam 2D dan grup rotasi dalam 3D

Contoh grup abstrak $D n$ , dan cara yang umum untuk memvisualisasikannya, adalah kelompok isometri bidang Euklidean yang menjaga asal tetap. Grup ini membentuk salah satu dari dua rangkaian diskrit grup titik dalam dua dimensi. $D n$ terdiri dari $n$ rotasi dari kelipatan $360°/ n$ tentang asal, dan refleksi melintasi garis $n$ melalui titik asal, membuat sudut kelipatan $180°/ n$ satu sama lain. Ini adalah kelompok simetri dari sebuah poligon beraturan dengan sisi $n$ (untuk $n \geq 3$ ; ini meluas ke kasus $n = 1$ dan $n = 2$ di mana kita memiliki bidang dengan masing-masing titik offset dari "pusat" dari "1-gon" dan "2-gon" atau ruas garis).

$D n$ adalah dihasilkan dengan rotasi $r$ urutan $n$ dan refleksi $s$ dari urutan 2 sedemikian rupa

\mathrm {srs} =\mathrm {r} ^{-1}\,

Dalam istilah geometris: di cermin, rotasi tampak seperti rotasi terbalik.

Dalam istilah bilangan kompleks: perkalian dengan $e^{2\pi i \over n}$ dan konjugasi kompleks.

Dalam bentuk matriks, dengan pengaturan

\mathrm {r} _{1}={\begin{bmatrix}\cos {2\pi  \over n}&-\sin {2\pi  \over n}\\[8pt]\sin {2\pi  \over n}&\cos {2\pi  \over n}\end{bmatrix}}\qquad \mathrm {s} _{0}={\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}}

dan mendefinisikan $\mathrm {r} _{j}=\mathrm {r} _{1}^{j}$ dan $\mathrm {s} _{j}=\mathrm {r} _{j}\,\mathrm {s} _{0}$ dari $j\in \{1,\ldots ,n-1\}$ kita dapat menulis aturan produk untuk D_n sebagai

{\begin{aligned}\mathrm {r} _{j}\,\mathrm {r} _{k}&=\mathrm {r} _{(j+k){\text{ mod }}n}\\\mathrm {r} _{j}\,\mathrm {s} _{k}&=\mathrm {s} _{(j+k){\text{ mod }}n}\\\mathrm {s} _{j}\,\mathrm {r} _{k}&=\mathrm {s} _{(j-k){\text{ mod }}n}\\\mathrm {s} _{j}\,\mathrm {s} _{k}&=\mathrm {r} _{(j-k){\text{ mod }}n}\end{aligned}}

(Bandingkan rotasi dan pantulan koordinat.)

Grup dihedral D₂ dihasilkan oleh rotasi r 180 derajat, dan pantulan melintasi sumbu x . Elemen D₂ kemudian dapat direpresentasikan sebagai {e, r, s, rs}, di mana e adalah identitas atau transformasi nol dan rs adalah refleksi melintasi sumbu y .

Empat elemen D₂ (sumbu x vertikal di sini)

D₂ adalah isomorfik ke grup empat Klein.

Untuk n > 2, operasi rotasi dan refleksi secara umum tidak perjalanan dan D _n bukan abelian; Misalnya, di D₄, rotasi 90 derajat diikuti oleh refleksi menghasilkan hasil yang berbeda dari refleksi diikuti oleh rotasi 90 derajat.

D₄ nonabelian (sumbu x vertikal di sini).

Jadi, di luar aplikasi mereka yang jelas untuk masalah simetri di bidang, grup ini adalah salah satu contoh paling sederhana dari kelompok non-abelian, dan dengan demikian sering muncul contoh tandingan yang mudah untuk teorema yang dibatasi untuk grup abelian.

$2 n$ elemen dari $D n$ dapat ditulis sebagai $e$ , $r$ , $r 2$ , ... , $r n -1$ , $s$ , $r s$ , $r 2 s$ , ... , $r n -1 s$ . Pertama $n$ elemen yang terdaftar adalah rotasi dan elemen $n$ yang tersisa adalah refleksi-sumbu (semuanya memiliki urutan 2). Produk dari dua rotasi atau dua refleksi adalah rotasi; produk dari rotasi dan refleksi adalah refleksi.

Sejauh ini, kami telah mempertimbangkan $D n$ menjadi subkelompok dari $O(2)$ , yaitu kelompok rotasi (tentang asal) dan refleksi (melintasi sumbu melalui asal) dari bidang. Namun, notasi $D n$ juga digunakan untuk subgrup SO(3) yang juga merupakan jenis kelompok abstrak $D n$ : kelompok simetri yang tepat dari poligon beraturan yang tertanam dalam ruang tiga dimensi (jika n ≥ 3). Sosok seperti itu dapat dianggap sebagai benda padat biasa yang merosot dengan jumlah muka yang dihitung dua kali. Oleh karena itu, ini juga disebut dihedron (Yunani: padat dengan dua sisi), yang menjelaskan nama grup dihedral (dalam analogi dengan tetrahedral , oktahedral dan grup icosahedral , mengacu pada kelompok simetri yang tepat dari tetrahedron, oktahedron, dan ikosahedron reguler).

Sifat

Properti dari grup dihedral $D n$ dengan $n \geq 3$ bergantung pada apakah $n$ genap atau ganjil. Misalnya, pusat dari $D n$ hanya terdiri dari identitas jika n ganjil, tetapi jika n genap pusat memiliki dua elemen, yaitu identitas dan elemen r^n/2 (with D_n sebagai subgrup dari O(2), maka; karena perkalian skalar dengan −1, jelas bahwa ia berpindah-pindah dengan transformasi linier apa pun).

Dalam kasus isometri 2D, ini terkait dengan penambahan inversi, memberikan rotasi dan cermin di antara yang sudah ada.

Untuk n dua kali angka ganjil, kelompok abstrak $D n$ isomorfik dengan produk langsung dari $D n / 2$ dan $Z 2$ . Umumnya, jika m membagi n , maka $D n$ memiliki n/m subgrup jenis $D m$ , dan satu subgrup ℤ_m. Oleh karena itu, jumlah total subgrup dari $D n$ (n ≥ 1), adalah sama dengan d(n) + σ(n), dimana d(n) adalah banyaknya pembagi positif dari n dan σ(n) adalah jumlah dari pembagi positif dari n . Lihat daftar grup kecil untuk kasus n ≤ 8.

Gugus dihedral orde 8 (D₄) adalah contoh terkecil dari grup yang bukan T-grup. Salah satu dari dua subgrup Klein empat grup (yang normal di D₄) memiliki subgrup orde-2 subgrup normal yang dihasilkan oleh refleksi (flip) di D₄, tetapi subgrup ini tidak normal di D₄.

Kelas konjugasi refleksi

Semua refleksi adalah konjugasi satu sama lain jika n ganjil, tetapi mereka jatuh ke dalam dua kelas konjugasi jika n genap. Jika kita memikirkan isometri dari n - gon biasa: untuk ganjil n ada rotasi dalam grup antara setiap pasangan cermin, sedangkan untuk genap n hanya setengah dari cermin dapat dicapai dari satu dengan rotasi ini. Secara geometris, dalam poligon ganjil setiap sumbu simetri melewati puncak dan sisi, sedangkan dalam poligon genap ada dua set sumbu, masing-masing sesuai dengan kelas konjugasi: yang melewati dua simpul dan yang melewati dua sisi.

Secara aljabar, ini adalah turunan dari konjugasi Teorema Sylow (untuk n ganjil): untuk n ganjil, setiap refleksi, bersama dengan identitas, membentuk subgrup orde 2, yang merupakan Sylow 2-subgrup (2 = 2¹ is the maximum power of 2 dividing 2n = 2[2k + 1]), sedangkan untuk n genap, urutan 2 subgrup ini bukan subgrup Sylow karena 4 (pangkat lebih tinggi dari 2) membagi urutan grup.

Untuk n bahkan ada automorfisme luar yang menukar dua jenis pantulan (benar, kelas automorfisme luar, yang semuanya terkonjugasi oleh automorfisme dalam).

Generalisasi

Ada beberapa generalisasi penting dari grup dihedral:

Grup dihedral tak hingga adalah grup tak hingga dengan struktur aljabar mirip dengan grup dihedral hingga. Ini dapat dilihat sebagai grup simetri dari bilangan bulat.
Grup ortogonal O(2), yaitu grup simetri dari lingkaran, juga memiliki sifat yang mirip dengan grup dihedral.
Keluarga grup dihedral umum mencakup kedua contoh di atas, serta banyak kelompok lainnya.
Grup kuasidihedral adalah famili grup berhingga dengan sifat yang mirip dengan grup dihedral.

Lihat pula

Referensi

^ (Inggris) Weisstein, Eric W. "Dihedral Group". MathWorld.
^ Dummit, David S.; Foote, Richard M. (2004). Abstract Algebra (edisi ke-3rd). John Wiley & Sons. ISBN 0-471-43334-9.
^ "Dihedral Groups: Notation". Math Images Project. Diarsipkan dari versi asli tanggal 2016-03-20. Diakses tanggal 2016-06-11.
^ Cameron, Peter Jephson (1998), Introduction to Algebra, Oxford University Press, hlm. 95, ISBN 9780198501954, diarsipkan dari versi asli tanggal 2023-08-09, diakses tanggal 2020-12-23
^ Toth, Gabor (2006), Glimpses of Algebra and Geometry, Undergraduate Texts in Mathematics (edisi ke-2nd), Springer, hlm. 98, ISBN 9780387224558, diarsipkan dari versi asli tanggal 2023-08-09, diakses tanggal 2020-12-23
^ ^a ^b Lovett, Stephen (2015), Abstract Algebra: Structures and Applications, CRC Press, hlm. 71, ISBN 9781482248913, diarsipkan dari versi asli tanggal 2023-08-09, diakses tanggal 2020-12-23

Pranala luar

Dihedral Group n of Order 2n by Shawn Dudzik, Wolfram Demonstrations Project.
Dihedral group Diarsipkan 2023-08-09 di Wayback Machine. at Groupprops
(Inggris) Weisstein, Eric W. "Dihedral Group". MathWorld.
(Inggris) Weisstein, Eric W. "Dihedral Group D3". MathWorld.
(Inggris) Weisstein, Eric W. "Dihedral Group D4". MathWorld.
(Inggris) Weisstein, Eric W. "Dihedral Group D5". MathWorld.
(Inggris) Davis, Declan. "Dihedral Group D6". MathWorld.
Dihedral groups on GroupNames Diarsipkan 2023-08-09 di Wayback Machine.

[1] (Inggris) Weisstein, Eric W. "Dihedral Group". MathWorld.

[2] Dummit, David S.; Foote, Richard M. (2004). Abstract Algebra (edisi ke-3rd). John Wiley & Sons. ISBN 0-471-43334-9.

[mathimages-3] "Dihedral Groups: Notation". Math Images Project. Diarsipkan dari versi asli tanggal 2016-03-20. Diakses tanggal 2016-06-11.

[4] Cameron, Peter Jephson (1998), Introduction to Algebra, Oxford University Press, hlm. 95, ISBN 9780198501954, diarsipkan dari versi asli tanggal 2023-08-09, diakses tanggal 2020-12-23

[5] Toth, Gabor (2006), Glimpses of Algebra and Geometry, Undergraduate Texts in Mathematics (edisi ke-2nd), Springer, hlm. 98, ISBN 9780387224558, diarsipkan dari versi asli tanggal 2023-08-09, diakses tanggal 2020-12-23

[lovett-6] Lovett, Stephen (2015), Abstract Algebra: Structures and Applications, CRC Press, hlm. 71, ISBN 9781482248913, diarsipkan dari versi asli tanggal 2023-08-09, diakses tanggal 2020-12-23

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]