Akar satuan

Dalam matematika, akar persatuan (bahasa Inggris: root of unity), berarti bahwa untuk sebarang bilangan kompleks akan menghasilkan 1 apabila dipangkatkan suatu bilangan bulat n. Akar persatuan digunakan pada berbagai cabang ilmu matematika, dan sangat penting untuk teori bilangan dan transformasi Fourier diskrit.

Terdapat lima akar persatuan di bidang kompleks. Akar-akar persatuan tersebut ditandai dengan titik berwarna biru.

Definisi umum

Akar persatuan ke-n, dengan n adalah bilangan bulat positif, adalah sebuah bilangan z yang memenuhi persamaan

$z^{n}=1.$

Terdapat pengecualian bahwa kalau ditentukan, akar persatuan dapat dianggap bilangan kompleks (termasuk bilangan 1, dan bilangan −1 jika n itu genap, yang merupakan bilangan kompleks dengan bagian imajinernya 0), dan dalam kasus ini, akar persatuan ke-n ialah

$\exp \left({\frac {2k\pi i}{n}}\right)=\cos {\frac {2k\pi }{n}}+i\sin {\frac {2k\pi }{n}},\qquad k=0,1,\dots ,n-1.$

Sifat dasar

Setiap perpangkatan bilangan bulat dari akar persatuan ke-n juga merupakan akar persatuan ke-n, sebab

$(z^{k})^{n}=z^{kn}=(z^{n})^{k}=1^{k}=1.$

Hal ini juga berlaku untuk pangkat negatif. Lebih jelasnya, invers perkalian dari akar persatuan ke-n adalah konjugat kompleksnya, yang sama-sama merupakan akar persatuan ke-n:

${\frac {1}{z}}=z^{-1}=1\cdot z^{-1}=z^{n}\cdot z^{-1}=z^{n-1}={\bar {z}}.$

Sifat pada grup

Grup semua akar persatuan

Hasil perkalian dan invers perkalian dari dua akar persatuan juga merupakan akar persatuan. Bahkan, jika x^m = 1 dan yⁿ = 1, maka (x⁻¹)^m = 1, dan (xy)^k = 1, dengan k adalah kelipatan persekutuan terkecil dari m dan n.

Oleh karena itu, himpunan akar persatuan membentuk grup abelian terhadap perkalian. group ini merupakan subgrup torsi dari grup lingkaran.

Grup akar persatuan ke-n

Untuk bilangan bulat n, hasil perkalian dan invers perkalian dari dua akar persatuan ke-n juga merupakan akar persatuan ke-n. Oleh karena itu, akar persatuan ke-n membentuk gruo abelian terhadap perkalian.

Ekspresi trigonometri

Rumus de Moivre, yang valid untuk setiap bilangan riil x dan bilangan bulat n, adalah

$\left(\cos x+i\sin x\right)^{n}=\cos nx+i\sin nx.$

Substitusi x = 2πn menghasilkan akar persatuan primitif ke-n – yaitu

$\left(\cos {\frac {2\pi }{n}}+i\sin {\frac {2\pi }{n}}\right)^{\!n}=\cos 2\pi +i\sin 2\pi =1,$

akan tetapi

$\left(\cos {\frac {2\pi }{n}}+i\sin {\frac {2\pi }{n}}\right)^{\!k}=\cos {\frac {2k\pi }{n}}+i\sin {\frac {2k\pi }{n}}\neq 1$

untuk k = 1, 2, …, n − 1. Dengan kata lain,

$\cos {\frac {2\pi }{n}}+i\sin {\frac {2\pi }{n}}$

merupakan akar persatuan primitif ke-n.

Dalam bidang kompleks, rumus ini menunjukkan kalau akar persatuan ke-n berada pada sudut sebuah segi-n beraturan di dalam lingkaran satuan, dengan satu sudut di 1 (lihat gambar n = 3 dan n = 5 di kanan).

Rumus Euler

$e^{ix}=\cos x+i\sin x,$

yang valid untuk setiap bilangan riil x, bisa digunakan untuk mengubah akar persatuan ke-n dalam bentuk

$e^{2\pi i{\frac {k}{n}}},\quad 0\leq k<n.$

Grup siklik

Akar persatuan ke-n membentuk grup siklik dengan orde n terhadap perkalian, dan bahkan grup ini mencakup semua subgrup berhingga dari grup perkalian dalam bidang kompleks.