Notasi untuk diferensiasi

Notasi untuk diferensiasi tidak seragam dalam kalkulus diferensial, karena ada beberapa notasi untuk derivatif suatu fungsi atu variabel dependen yang telah diusulkan oleh para matematikawan. Kegunaan setiap notasi berbeda menurut konteksnya dan kadangkala bermanfaat untuk menggunakan lebih dari satu notasi pada konteks tertentu. Notasi paling umum untuk diferensiasi adalah seperti di bawah ini.

Notasi Leibniz

dy

dx

d ²y

dx²

The original notation employed by Gottfried Leibniz is used throughout mathematics. It is particularly common when the equation $y = f (x)$ is regarded as a functional relationship between dependent and independent variables $y$ and $x$ . In this case the derivative can be written as:

{\frac {dy}{dx}}

Fungsi yang nilainya pada $x$ adalah turunan dari $f$ pada $x$ ditulis sebagai berikut

{\frac {d{\bigl (}f(x){\bigr )}}{dx}}{\text{ or }}{\frac {d}{dx}}{\bigl (}f(x){\bigr )}

Turunan lebih tinggi ditulis sebagai

{\frac {d^{n}y}{dx^{n}}},\quad {\frac {d^{n}{\bigl (}f(x){\bigr )}}{dx^{n}}},{\text{ atau }}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}{\bigl (}f(x){\bigr )}

untuk turunan ke-n dari y = f(x). Dalam sejarahnya, ini berasal dari fakta bahwa, misalnya, turunan ketiga adalah:

{\frac {d{\Bigl (}{\frac {d\left({\frac {dy}{dx}}\right)}{dx}}{\Bigr )}}{dx}}=\left({\frac {d}{dx}}\right)^{3}{\bigl (}f(x){\bigr )}

yang dapat ditulis pula (membuka tanda kurung pada denominator) sebagai:

{\frac {d^{3}}{\left(dx\right)^{3}}}{\bigl (}f(x){\bigr )}={\frac {d^{3}}{dx^{3}}}{\bigl (}f(x){\bigr )}

seperti di atas.

Notasi Lagrange's notation

f ʹ(x) f ʺ(x)

Salah satu notasi modern yang paling umum untuk diferensiasi diperkenalkan oleh Joseph Louis Lagrange dengan memakai tanda primus (prime mark): ketiga turunan pertama f ditulis sebagai

f'\;

untuk turunan pertama,

f''\;

untuk turunan kedua,

f'''\;

untuk turunan ketiga.

Setelah itu, sejumlah penulis meneruskan dengan memakai angka Romawi seperti f^IV untuk turunan keemp;at f, sedangkan yang lain memakai ordinal derivatif dalam tanda kurung, sehingga turunan keempat f dapat ditulis sebagai f⁽⁴⁾. Notasi terakhir ini dapat dengan mudah diteruskan ke turunan keberapapun, sehingga turunan ke-n dari f ditulis f⁽ⁿ⁾.

Notasi Euler

D_x y D²f

Notasi Euler ditulis menggunakan operator diferensial, yang diberi simbol D, mengawali suatu fungsi sehingga turunan fungsi f ditulis sebagai

Df\;

untuk turunan pertama,

D^{2}f\;

untuk turunan kedua, dan

D^{n}f\;

untuk turunan ke-n, dengan bilangan bulat positif n berapapun.

Bilamana menghitung turunan variabel dependen y = f(x) umumnya ditambahkan variabel independen x sebagai subskrip pada notasi D, sehingga menjadi notasi alternatif

D_{x}y\;

untuk turunan pertama,

D_{x}^{2}y\;

untuk turunan kedua, dan

D_{x}^{n}y\;

untuk turunan ke-n, dengan bilangan bulat positif n berapapun.

Notasi Newton

ẋ ẍ

Notasi Newton untuk diferensiasi (juga disebut "notasi titik" atau dot notation untuk diferensiasi) memakai tanda titik di atas variabel dependen dan sering digunakan untuk turunan waktu misalnya kecepatan

{\dot {y}}={\frac {dy}{dt}}\,,

percepatan

{\ddot {y}}={\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}\,,

dan seterusnya.

Turunan parsial

f_x f_xy

Bilamana hendak menulis jenis diferensiasi yang lebih spesifik, misalnya dalam kalkulus multivariasi atau analisis tensor, notasi-notas lain juga digunakan.

Untuk fungsi f(x), turunan dapat ditulis dengan subskrip variabel independen:

f_{x}={\frac {df}{dx}}

f_{xx}={\frac {d^{2}f}{dx^{2}}}.

Ini sangat berguna dalam menghitung turunan parsial suatu fungsi dengan beberapa variabel.

∂f

∂x

Lihat pula

Referensi

Pranala luar

Earliest Uses of Symbols of Calculus, maintained by Jeff Miller.