Vektor koordinat

Dalam aljabar linear, sebuah vektor koordinat merupakan sebuah wakilan sebuah vektor sebagai sebuah daftar urutan bilangan yang menggambarkan vektor dalam istilah sebuah basis terurut khusus. Koordinat selalu ditentukan relatif terhadap sebuah basis terurut. Basis dan wakilan koordinat iringnya membiarkan satunya mewujudkan ruang vektor dan transformasi linear secara konkret sebagai vektor kolom, vektor baris, dan matriks; mereka berguna dalam perhitungan.

Gagasan mengenai sebuah vektor koordinat dapat juga digunakan untuk ruang vektor berdimensi takhingga, seperti yang ditujukan di bawah.

Definisi

Misalkan $V$ menjadi sebuah ruang vektor dimensi $n$ atas sebuah medan $F$ dan misalkan

$$B=\{b_{1},b_{2},\dots ,b_{n}\}$$

menjadi sebuah basis terurut untuk $V$. Maka untuk setiap $v\in V$ terdapat sebuah kombinasi linear tunggal dari vektor basis yang sama dengan $v$:

$$v=\alpha _{1}b_{1}+\alpha _{2}b_{2}+\cdots +\alpha _{n}b_{n}$$

Vektor koordinat $v$ relatif terhadap $B$ barisan koordinat.

$$[v]_{B}=(\alpha _{1},\alpha _{2},\dots ,\alpha _{n})$$

Ini juga disebut wakilan $v$ terhadap $B$, atau $B$ mewakili $v$. $\alpha$ disebut koordinat $v$. Urutan dari basis menjadi penting disini, karena ini menentukan urutan di mana koefisiennya didaftarkan dalam vektor koordinat.

Vektor koordinat mengenai ruang vektor berdimensi hingga dapat diwakili oleh matriks sebagai vektor kolom atau baris. Di notasi di atas, salah satunya dapat tulis

$$[v]_{B}={\begin{bmatrix}\alpha _{1}\\\alpha _{2}\\\vdots \\\alpha _{n}\end{bmatrix}}$$

atau

$$[v]_{B}={\begin{bmatrix}\alpha _{1}&\alpha _{2}&\ldots &\alpha _{n}\end{bmatrix}}$$

Wakilan standar

Kita sekarang memekanisi transformasi di atas dengan mendefinisikan sebuah fungsi $\phi _{B}$, disebut wakilan standar $V$ terhadap $B$, yang mengambil setiap vektor ke wakilan koordinatnya: $\phi _{B}(v)=[v]_{B}$. Maka $\phi _{B}$ merupakan sebuah transformasi linear dari $V$ ke $F^{n}$. Faktanya, ini merupakan sebuah isomorfisme, dan inversnya $\phi _{B}^{-1}:F^{n}\to V$ adalah sederhana

$$\phi _{B}^{-1}(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n})=\alpha _{1}b_{1}+\cdots +\alpha _{n}b_{n}$$

Secara alternatif, kita dapat mendefinisikan $\phi _{B}^{-1}$ menjadi fungsi di atas daro fungsi awalnya, mewujudkan bahwa $\phi _{B}^{-1}$ merupakan sebuah isomorfisme, dan mendefinisikan $\phi _{B}$ menjadi inversnya.

Contoh-contoh

Contoh 1

Misalkan P3 menjadi ruang dari semua polinomial aljabar derajat setidaknya 3 (yaitu eksponen tertinggi $x$ bisa jadi 3). Ruang ini merupakan linear dan rentang oleh polinomial-polinomial berikut:

$$B_{P}=\{1,x,x^{2},x^{3}\}$$

memadankan

$$1:={\begin{bmatrix}1\\0\\0\\0\end{bmatrix}};\quad x:={\begin{bmatrix}0\\1\\0\\0\end{bmatrix}};\quad x^{2}:={\begin{bmatrix}0\\0\\1\\0\end{bmatrix}};\quad x^{3}:={\begin{bmatrix}0\\0\\0\\1\end{bmatrix}}$$

maka vektor koordinat berpadanan ke polinomial

$$p(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}$$

adalah

$${\begin{bmatrix}a_{0}\\a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{bmatrix}}$$

Menurut wakilan tersebut, operator pendiferensialan ${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}$ yang kita akan tandai $D$ akan diwakili oleh matriks berikut:

$$Dp(x)=P'(x);\quad [D]={\begin{bmatrix}0&1&0&0\\0&0&2&0\\0&0&0&3\\0&0&0&0\\\end{bmatrix}}$$

Menggunakan metode tersebut mudah untuk meninjau sifat-sifat dari operator, seperti, keterbalikan, Hermite atau anti-Hermite atau tidak ada, dan banyak lagi.

Contoh 2

Matriks Pauli, yang mewakili operatorn spin ketika mengubah eigenkeadaan spin menjadi koordinat vektor.

Matriks transformasi basis

Misalkan $B$ dan $C$ menjadi dua basis yang berbeda mengenai sebuah ruang vektor $V$, dan misalkan kita tandai dengan $\lbrack M\rbrack _{C}^{B}$, matriks yang memiliki kolom terdiri dari wakilan $C$ dari vektor basis $b_{1},b_{2},\dots ,b_{n}$.

$$\lbrack M\rbrack _{C}^{B}={\begin{bmatrix}\lbrack b_{1}\rbrack _{C}&\cdots &\lbrack b_{n}\rbrack _{C}\end{bmatrix}}$$

Matriks ini dirujuk sebagai matriks transformasi basis dari $B$ dan $C$. Ini dapat dianggap sebagai sebuah keautomorfan atas $V$. Setiap vektor $v$ diwakili dalam $B$ dapat berubah menjjadi sebuah wakilan dalam $C$ sebagai berikut:$V$

$$\lbrack v\rbrack _{C}=\lbrack M\rbrack _{C}^{B}\lbrack v\rbrack _{B}$$

Jika $E$ merupakan basis standar, notasinya dapat disederhanakan dengan menghilangkannya, denan transformasi dari $B$ ke $E$ mewakili

$$v=\lbrack M\rbrack ^{B}\lbrack v\rbrack _{B}$$

dimana

$${\begin{aligned}v&=\lbrack v\rbrack _{E}\\\lbrack M\rbrack ^{B}&=\lbrack M\rbrack _{E}^{B}\end{aligned}}$$

Di bawah transformasi basis, perhatikan bahwa superskripsi pada matriks transformasi, $M$, dan subskrip pada vektor koordinat, $v$, adalah sama, dan rupanya dibatalkan, meninggalkan subskrip yang tersisa. Meskipun ini disajikan sebagai sebuah bantuan ingatan, ini penting untuk memperhatikan bahwa tidak ada pembatalan, atau operasi matematis yang serupa, mengambil tempatnya.

Korolari

Matriks $M$ merupakan sebuah matriks terbalikkan dan $M^{-1}$ adalah matriks transformasi basis dari $C$ ke $B$. Dengan kata lain,

$${\begin{aligned}\operatorname {Id} &=\lbrack M\rbrack _{C}^{B}\lbrack M\rbrack _{B}^{C}=\lbrack M\rbrack _{C}^{C}\\[3pt]&=\lbrack M\rbrack _{B}^{C}\lbrack M\rbrack _{C}^{B}=\lbrack M\rbrack _{B}^{B}\end{aligned}}$$

Ruang vektor dimensi takhingga

Andaikan $V$ adalah sebuah ruang vektor berdimensi takhingga atas sebuah medan $F$. Jika dimensinya adalah $\kappa$, maka terdapat suatu basis unsur $\kappa$ untuk $V$. Setelah sebuah urutan dipilih, basisnya dapat dianggap sebuah basis terurut. Unsur $V$ adalah kombinasi linear hingga mengenai unsur dalam basis, yang memunculkan ke wakilan koordinat tunggal persis sebagai diutarakan sebelumnya. Yang hanya berubah adalah bahwa himpunan pengindkesan untuk korodinat bukanlah hingga. Karena sebuah vektor $v$ yang diberikan merupakan sebuah kombinasi linear hingga mengenai unsur basis, hanya entri-entri taknol dari vektor koordinat $v$ akan menjadi koefisien taknol dari kombinasi linear yang mewakili $v$. Demikian vektor koordnat untuk $v$ adalah nol kecuali dalam banyak entri.

Transformasi linear (mungkin) antara ruang vektor berdimensi takhingga dapat dimodelkan, secara analog ke kasus berdimensi hingga, dengan matriks takhingga. Kasus khusus dari transformasi $V$ ke $V$ digambarkan dalam artikel gelanggang linear penuh.

Lihat pula

• Penukaran basis