Integral takwajar

Dalam kalkulus, integral takwajar adalah limit dari integral tentu dengan batas pengintegralan mendekati bilangan riil tertentu, atau ∞ −∞ atau, pada beberapa kasus, keduanya.

Integral takwajar jenis pertama. Integral perlu didefiniskan pada domain yang tak berbatas (batas adalah takhingga)

Integral takwajar jenis kedua. Integral mungkin tidak ada karena adanya asimtot tegaklurus pada fungsi tersebut

Dengan kata lain, integral tak wajar adalah limit dalam bentuk

$\lim _{b\to \infty }\int _{a}^{b}f(x)\,dx,\qquad \lim _{a\to -\infty }\int _{a}^{b}f(x)\,dx,$

atau dalam bentuk

$\lim _{c\to b^{-}}\int _{a}^{c}f(x)\,dx,\quad \lim _{c\to a^{+}}\int _{c}^{b}f(x)\,dx,$

dengan limit diambil pada salah satu batas atau keduanya. (Apostol 1967, §10.23). Integral takwajar juga dapat terjadi pada titik dalam domain pengintegralan, atau pada beberapa titik seperti itu.

Integral takwajar sering perlu digunakan untuk menghitung nilai integral yang tidak ada dalam arti konvensional (misalnya sebagai integral Riemann), karena adanya singularitas pada fungsi yang hendak diintegralkan, atau salah satu batas adalah takhingga.

Contoh

Integral berikut tidak ada sebagai integral Riemann

$\int _{1}^{\infty }{\frac {1}{x^{2}}}\,dx.$

karena domain integrasi tidak berbatas. Integral Riemann hanya terdefinisi pada domain berbatas. Namun integral tersebut dapat memiliki nilai sebagai integral takwajar dengan menafsirkannya sebagai limit

$\lim _{b\to \infty }\int _{1}^{b}{\frac {1}{x^{2}}}\,dx=\lim _{b\to \infty }\left[-{\frac {1}{b}}+{\frac {1}{1}}\right]=1.$

Integral berikut juga tidak terdefinisi sebagai integral Riemann:

$\int _{0}^{1}{\frac {1}{\sqrt {x}}}\,dx.$

Di sini fungsi tidak terdefinisi bila x=0, atau dengan kata lain fungsi tidak berbatas. Integral Riemann tidak terdefinisi dalam kasus tersebut. Hamun bila integral tersebut ditafsirkan sebagai limit

$\lim _{a\to 0^{+}}\int _{a}^{1}{\frac {1}{\sqrt {x}}}\,dx=\lim _{a\to 0^{+}}\left[2{\sqrt {1}}-2{\sqrt {a}}\right]=2.$

maka limit tersebut konvergen.

Referensi

• Apostol, T (1967), Calculus, Vol. 1 (edisi ke-2nd), Jon Wiley & Sons .