Kisi Bravais

Dalam geometri dan kristalografi, suatu kisi Bravais, dipelajari oleh Auguste Bravais (1850),^[1] adalah suatu susunan tak terbatas dari titik diskret dalam ruang tiga dimensi yang dihasilkan oleh satu himpunan operasi translasi diskret yang dijelaskan melalui persamaan:

\mathbf {R} =n_{1}\mathbf {a} _{1}+n_{2}\mathbf {a} _{2}+n_{3}\mathbf {a} _{3}

dengan n_i adalah bilangan bulat a_i dikenal sebagai vektor primitif yang terletak pada arah yang berbeda dan membentang pada kisi. Rangkaian vektor diskret ini harus ditutup dengan penambahan dan pengurangan vektor. Untuk pilihan vektor posisi R, kisi-kisi itu terlihat persis sama.

Bila titik diskretnya adalah atom, ion, atau rangkaian polimer dari materi padat, konsep kisi Bravais digunakan untuk mendefinisikan pengaturan kristal secara formal dan batas-batasnya yang terbatas. Sebuah kristal terdiri dari susunan periodik satu atau lebih atom (basis) yang diulang pada setiap titik kisi. Akibatnya, kristal terlihat sama bila dilihat dari titik kisi yang setara, yaitu yang dipisahkan dengan translasi satu satuan sel (motif).

Dua kisi Bravais sering dianggap setara jika mereka memiliki kelompok simetri isomorfik. Dalam pengertian ini, ada 14 kemungkinan kisi-kisi Bravais dalam ruang tiga dimensi. Empat belas kelompok simetri yang mungkin dari kisi Bravais adalah 14 dari 230 grup ruang.

Kisi Bravais dalam 2 dimensi

1 – sadak, 2 – persegi panjang, 3 – persegi panjang berpusat, 4 – heksagonal, dan 5 – persegi.

Dalam ruang dua dimensi, terdapat 5 kisi Bravais,^[2] yang dikelompokkan dalam empat keluarga kristal.

Keluarga kristal	Schönflies	5 kisi Bravais
Keluarga kristal	Schönflies	Primitif	Berpusat
Monoklinik	C₂	Sadak
Ortorombik	D₂	Persegi panjang	Persegi panjang berpusat
Heksagonal	D₆	Heksagonal
Tetragonal	D₄	Persegi

Sel satuan ditentukan sesuai dengan panjang relatif tepi selnya (a dan b) serta sudut di antara keduanya (θ). Luas sel satuan dapat dihitung dengan menghitung a × b, dengan a dan b adalah vektor kisi. Sifat-sifat keluarga kristal diberikan di bawah ini:

Keluarga kristal	Luas	Jarak sumbu (panjang tepi)	Sudut sumbu
Monoklinik	$ab\,\sin \theta$	a ≠ b	θ ≠ 90°
Ortorombik	$ab$	a ≠ b	θ = 90°
Heksagonal	${\frac {\sqrt {3}}{2}}\,a^{2}$	a = b	θ = 120°
Tetragonal	$a^{2}$	a = b	θ = 90°

Kisi Bravais dalam 3 dimensi

Dalam ruang tiga dimensi, terdapat 14 kisi Bravais. Hal ini diperoleh dengan menggabungkan salah satu sistem kisi dengan salah satu tipe keterpusatan. Jenis keterpusatan mengidentifikasi lokasi titik kisi dalam sel satuan sebagai berikut:

Primitif (P): titik kisi di sudut sel saja (kadang disebut sederhana)
Berpusat-dasar (A, B, atau C): titik kisi di sudut sel dengan satu titik tambahan di tengah setiap wajah sepasang muka paralel sel (kadang-kadang disebut berpusat-akhir)
Berpusat-badan (I): titik kisi di sudut sel dengan satu titik tambahan di tengah sel
Berpusat-muka (F): titik kisi di sudut sel dengan satu titik tambahan di tengah masing-masing muka sel.

Tidak semua kombinasi sistem kisi dan tipe keterpusatan diperlukan untuk menggambarkan semua kisi yang mungkin, karena dapat ditunjukkan bahwa beberapa di antaranya sebenarnya setara satu sama lain. Sebagai contoh, kisi monoklinik dapat digambarkan oleh kisi C monoklinik dengan pilihan sumbu kristal yang berbeda. Demikian pula, semua kisi yang berpusat-A atau -B dapat digambarkan baik oleh pemetaan berpusat-C atau -P. Hal ini mengurangi jumlah kombinasi menjadi 14 kisi Bravais konvensional, yang ditunjukkan pada tabel di bawah ini.^[3]

Keluarga kristal	Sistem kisi	Schönflies	14 kisi Bravais
Keluarga kristal	Sistem kisi	Schönflies	Primitif	Berpusat-dasar	Berpusat-badan	Berpusat-muka
triklinik		C_i
monoklinik		C_2h
ortorombik		D_2h
tetragonal		D_4h
heksagonal	rombohedral	D_3d
heksagonal	heksagonal	D_6h
kubik		O_h

Sel satuan ditentukan sesuai dengan panjang relatif tepi sel (a, b, c) dan sudut di antara ketiganya (α, β, γ). Volume sel satuan dapat dihitung dengan mengevaluasi perkalian ketiganya a · (b × c), dengan a, b, dan c adalah vektor kisi. Sifat-sifat sistem kisi diberikan di bawah ini:

Keluarga kristal	Sistem kisi	Volume	Jarak sumbu (panjang tepi)	Sudut sumbu	Contoh
Triklinik		$abc{\sqrt {1-\cos ^{2}\alpha -\cos ^{2}\beta -\cos ^{2}\gamma +2\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma }}$	(Semua kasus yang tersisa)^[4]		K₂Cr₂O₇, CuSO₄·5H₂O, H₃BO₃
Monoklinik		$abc\,\sin \beta$	a ≠ c	α = γ = 90°, β ≠ 90°	Belerang monoklinik, Na₂SO₄·10H₂O
Ortorombik		$abc$	a ≠ b ≠ c	α = β = γ = 90°	Belerang rombik, KNO₃, BaSO₄
Tetragonal		$a^{2}c$	a = b ≠ c	α = β = γ = 90°	Timah putih, SnO₂, TiO₂, CaSO₄
Heksagonal	Rombohedral	$a^{3}{\sqrt {1-3\cos ^{2}\alpha +2\cos ^{3}\alpha }}$	a = b = c	α = β = γ ≠ 90°	Kalsit (CaCO₃), cinnabar (HgS)
Heksagonal	Heksagonal	${\frac {\sqrt {3}}{2}}\,a^{2}c$	a = b	α = β = 90°, γ = 120°	Grafit, ZnO, CdS
Kubik		$a^{3}$	a = b = c	α = β = γ = 90°	NaCl, sfalerit, logam tembaga

Kisi Bravais dalam 4 dimensi

Dalam empat dimensi, terdapat 64 kisi Bravais. Dari jumlah tersebut, 23 merupakan primitif dan 41 terpusat. Sepuluh kisi Bravais terpecah menjadi pasangan enansiomorfis.^[5]

Lihat pula

Referensi

^ Aroyo, Mois I.; Müller, Ulrich; Wondratschek, Hans (2006). "Historical Introduction". International Tables for Crystallography. Springer. A1 (1.1): 2–5. doi:10.1107/97809553602060000537. Diakses tanggal 2008-04-21.
^ Kittel, Charles (1996) [1953]. "Chapter 1". Introduction to Solid State Physics (edisi ke-Seventh). New York: John Wiley & Sons. hlm. 10. ISBN 0-471-11181-3. Diakses tanggal 2008-04-21.
^ Berdasarkan daftar sel konvensional yang ditemukan di Hahn (2002), hlm. 744
^ Hahn (2002), hlm. 758
^ Brown, Harold; Bülow, Rolf; Neubüser, Joachim; Wondratschek, Hans; Zassenhaus, Hans (1978), Crystallographic groups of four-dimensional space, New York: Wiley-Interscience [John Wiley & Sons], ISBN 978-0-471-03095-9, MR 0484179

Bacaan lebih lanjut

Bravais, A. (1850). "Mémoire sur les systèmes formés par les points distribués régulièrement sur un plan ou dans l'espace" [Memoir on the systems formed by points regularly distributed on a plane or in space]. J. Ecole Polytech. 19: 1–128. (English: Memoir 1, Crystallographic Society of America, 1949.)
Hahn, Theo, ed. (2002). International Tables for Crystallography, Volume A: Space Group Symmetry. A (edisi ke-5th). Berlin, New York: Springer-Verlag. doi:10.1107/97809553602060000100. ISBN 978-0-7923-6590-7.

Pranala luar

Catalogue of Lattices (by Nebe and Sloane)
Smith, Walter Fox (2002). "The Bravais Lattices Song".

[1] Aroyo, Mois I.; Müller, Ulrich; Wondratschek, Hans (2006). "Historical Introduction". International Tables for Crystallography. Springer. A1 (1.1): 2–5. doi:10.1107/97809553602060000537. Diakses tanggal 2008-04-21.

[2] Kittel, Charles (1996) [1953]. "Chapter 1". Introduction to Solid State Physics (edisi ke-Seventh). New York: John Wiley & Sons. hlm. 10. ISBN 0-471-11181-3. Diakses tanggal 2008-04-21.

[3] Berdasarkan daftar sel konvensional yang ditemukan di Hahn (2002), hlm. 744

[4] Hahn (2002), hlm. 758

[5] Brown, Harold; Bülow, Rolf; Neubüser, Joachim; Wondratschek, Hans; Zassenhaus, Hans (1978), Crystallographic groups of four-dimensional space, New York: Wiley-Interscience [John Wiley & Sons], ISBN 978-0-471-03095-9, MR 0484179

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]