Deret (matematika)

Deret (bahasa Inggris: series) adalah jumlah dari elemen-elemen (term; jamak: terms) dalam suatu urutan. Urutan dan deret finit (atau terhingga) mempunyai elemen pertama dan terakhir yang terdefinisi, sedangkan Urutan dan deret infinit (atau tak terhingga) berlangsung terus menerus tak terbatas.

Dalam matematika, jika ada suatu urutan bilangan infinite { a_n }, maka suatu deret secara informal adalah hasil dari penambahan semua elemen-elemen itu bersama-sama: a₁ + a₂ + a₃ + · · ·. Ini dapat ditulis lebih singkat menggunakan simbol summation ∑. Contohnya adalah deret terkenal dari Paradoks Zeno dan representasi matematikanya:

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+\cdots .$

Elemen-elemen dalam suatu deret sering diproduksi menurut kaidah tertentu, misalnya dengan suatu rumus, atau melalui suatu algoritme. Mengingat tidak terbatasnya jumlah elemen, hasilnya sering disebut deret tak terhingga (infinite series). Berbeda dengan finite summations, deret tak terhingga membutuhkan bantuan dari analisis matematika, dan secara khusus limit, untuk dapat dipahami dan dimanipulasi secara penuh. Selain jumlahnya yang banyak dalam matematika, deret tak terhingga juga sering digunakan dalam bidang-bidang kuantitatif lain seperti fisika, sains komputer, dan finansial.

Sifat dasar

Definisi

Untuk setiap urutan $\{a_{n}\}$ bilangan rasional, bilangan real, bilangan kompleks, fungsi, dan lain-lain, deret yang bersangkutan didefinisikan sebagai jumlah formal tertata

$\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}=a_{0}+a_{1}+a_{2}+\cdots$.

Urutan jumlah parsial $\{S_{k}\}$ bersangkutan dengan suatu deret $\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}$ didefinisikan bagi setiap $k$ sebagai jumlah urutan $\{a_{n}\}$ dari $a_{0}$ sampai $a_{k}$

$S_{k}=\sum _{n=0}^{k}a_{n}=a_{0}+a_{1}+\cdots +a_{k}.$

Berdasarkan definisi, deret $\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}$ converges menjadi suatu limit $L$ jika dan hanya jika urutan yang bersangkutan dengan jumlah parsial $\{S_{k}\}$ converges menjadi $L$. Definisi ini biasanya ditulis sebagai

$L=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\Leftrightarrow L=\lim _{k\rightarrow \infty }S_{k}.$

Deret fungsi

Artikel utama: Deret fungsi

Suatu deret fungsi-fungsi bernilai real atau kompleks

$\sum _{n=0}^{\infty }f_{n}(x)$

converges pointwise pada suatu himpunan E, jika deret itu converges untuk setiap x dalam E sebagai suatu deret ordinari bilangan real atau bilangan kompleks. Ekuivalen dengan itu, jumlah parsial

$s_{N}(x)=\sum _{n=0}^{N}f_{n}(x)$

converge menjadi ƒ(x) sebagai N → ∞ untuk setiap x ∈ E. .

Deret pangkat

Artikel utama: Deret pangkat

Deret pangkat adalah suatu deret dalam bentuk

$\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-c)^{n}.$

Deret Taylor pada suatu titik c pada suatu fungsi adalah suatu deret pangkat yang dalam banyak kasus berkonvergen menjadi suatu fungsi dalam lingkungan c. Misalnya, deret

$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}$

adalah deret Taylor $e^{x}$ pada titik origin dan berkonvergen kepadanya untuk setiap x.

Daftar suku dan jumlah suku

Nama bilangan	Suku ke-n	Jumlah suku ke-n
Bilangan asli	$n$	${\frac {n\cdot (n+1)}{2}}$
	$n\cdot (n+1)$	${\frac {n\cdot (n+1)\cdot (n+2)}{3}}$
	$n\cdot (n+1)\cdot (n+2)$	${\frac {n\cdot (n+1)\cdot (n+2)\cdot (n+3)}{4}}$
Bilangan ganjil	$2n-1$	$n^{2}$
Bilangan genap	$2n$	$n^{2}+2n$
Bilangan Persegi/Kuadrat	$n^{2}$	${\frac {n\cdot (n+1)\cdot (2n+1)}{6}}$
Bilangan Kubus/kubik	$n^{3}$	${\frac {n^{2}\cdot n\cdot (n+1)^{2}}{4}}$
Bilangan Segi tiga	${\frac {n\cdot (n+1)}{2}}$	${\frac {n\cdot n\cdot (n+1)\cdot (n+2)}{6}}$
Bilangan Persegi panjang	$n\cdot (n+1)$	${\frac {n\cdot (n+1)\cdot (n+2)}{3}}$
Bilangan Balok	$n\cdot (n+1)\cdot (n+2)$	${\frac {n\cdot (n+1)\cdot (n+2)\cdot (n+3)}{4}}$

Lihat pula

• Continued fraction
• Convergence tests
• Convergent series
• Infinite compositions of analytic functions
• Infinite expression
• Infinite product
• Iterated binary operation
• List of mathematical series
• Prefix sum
• Sequence transformation
• Series expansion
• 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯

Pustaka

• Bromwich, T.J. An Introduction to the Theory of Infinite Series MacMillan & Co. 1908, revised 1926, reprinted 1939, 1942, 1949, 1955, 1959, 1965.
• Dvoretzky, Aryeh; Rogers, C. Ambrose (1950). "Absolute and unconditional convergence in normed linear spaces". Proc. Nat. Acad. Sci. U. S. A. 36 (3): 192–197. doi:10.1073/pnas.36.3.192.  MR0033975

Pranala luar

• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001) [1994], "Series", Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4 
• Infinite Series Tutorial