Sifat komutatif

Dalam matematika, suatu operasi biner memiliki sifat komutatif jika mengubah urutan operan tidak mengubah hasilnya. Ini adalah sifat fundamental dari banyak operasi biner, dan banyak pembuktian matematika bergantung pada sifat ini. Sifat ini paling dikenal sebagai nama sifat yang mengatakan "3 + 4 = 4 + 3" atau "2 × 5 = 5 × 2". Sifat ini juga dapat digunakan dalam situasi yang lebih rumit. Nama ini diperlukan karena ada operasi, seperti pembagian dan pengurangan, yang tidak memilikinya (misalnya, "3 − 5 ≠ 5 − 3"); operasi semacam itu tidak bersifat komutatif, dan demikian disebut sebagai operasi nonkomutatif. Gagasan bahwa operasi sederhana, seperti perkalian dan penjumlahan bilangan, bersifat komutatif telah diasumsikan secara implisit selama bertahun-tahun. Dengan demikian, properti ini tidak dinamai sampai abad ke-19, ketika matematika mulai menjadi formal. Sifat yang terkait ada untuk relasi biner; suatu relasi biner dikatakan simetris jika relasi berlaku terlepas dari urutan operannya; misalnya, kesamaan bersifat simetris karena dua objek matematika yang sama adalah sama terlepas dari urutannya.

Sebuah operasi $\circ$ adalah komutatif jika dan hanya jika $x\circ y=y\circ x$ untuk setiap $x$ dan $y$. Gambar ini mengilustrasikan sifat ini dengan konsep dari sebuah operasi sebagai suatu "mesin kalkulasi". Hasil dari $x\circ y$ atau $y\circ x$ tidak dipengaruhi oleh urutan dari argumen $x$ dan $y$ – hasil akhirnya sama.

Lihat pula

• Antikomutativitas
• Centralizer and normalizer (also called a commutant)
• Diagram komutatif
• Komutatif (neuropsikologi)
• Komutator
• Hukum jajar genjang
• Statistika partikel (untuk komutativitas dalam fisika)
• Sifat kuasi-komutatif
• Trace monoid
• Commuting probability

Referensi

Buku

• Axler, Sheldon (1997). Linear Algebra Done Right, 2e. Springer. ISBN 0-387-98258-2. 

Abstract algebra theory. Covers commutativity in that context. Uses property throughout book.

• Copi, Irving M.; Cohen, Carl (2005). Introduction to Logic. Prentice Hall. 
• Gallian, Joseph (2006). Contemporary Abstract Algebra, 6e. Boston, Mass.: Houghton Mifflin. ISBN 0-618-51471-6. 

Linear algebra theory. Explains commutativity in chapter 1, uses it throughout.

• Goodman, Frederick (2003). Algebra: Abstract and Concrete, Stressing Symmetry, 2e. Prentice Hall. ISBN 0-13-067342-0. 

Abstract algebra theory. Uses commutativity property throughout book.

• Hurley, Patrick (1991). A Concise Introduction to Logic 4th edition. Wadsworth Publishing. 

Artikel

• https://web.archive.org/web/20070713072942/http://www.ethnomath.org/resources/lumpkin1997.pdf Lumpkin, B. (1997). The Mathematical Legacy Of Ancient Egypt - A Response To Robert Palter. Unpublished manuscript.

Article describing the mathematical ability of ancient civilizations.

• Robins, R. Gay, and Charles C. D. Shute. 1987. The Rhind Mathematical Papyrus: An Ancient Egyptian Text. London: British Museum Publications Limited. ISBN 0-7141-0944-4

Translation and interpretation of the Rhind Mathematical Papyrus.

Sumber daring

• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001) [1994], "Commutativity", Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4 
• Krowne, Aaron, Commutative di PlanetMath., Accessed 8 August 2007.

Definition of commutativity and examples of commutative operations

• (Inggris) Weisstein, Eric W. "Commute". MathWorld. , Accessed 8 August 2007.

Explanation of the term commute

• Yark. Examples of non-commutative operations di PlanetMath., Accessed 8 August 2007

Examples proving some noncommutative operations

• O'Conner, J J and Robertson, E F. MacTutor history of real numbers, Accessed 8 August 2007

Article giving the history of the real numbers

• Cabillón, Julio and Miller, Jeff. Earliest Known Uses Of Mathematical Terms, Accessed 22 November 2008

Page covering the earliest uses of mathematical terms

• O'Conner, J J and Robertson, E F. MacTutor biography of François Servois, Accessed 8 August 2007

Biography of Francois Servois, who first used the term