Integral lipat

Integral lipat adalah generalisasi integral tentu terhadap fungsi beberapa variabel, seperti f(x, y) or f(x, y, z). Integral suatu fungsi dua variabel terhadap luasan di R² dinamakan integral lipat dua, dan integral fungsi tiga variabel pada volume R'³ dinamakan integral lipat tiga.^[1]

Integral sebagai luasan antara dua kurva

Pendahuluan

Sama seperti integral pasti dari fungsi positif dari satu variabel mewakili luas dari daerah antara grafik fungsi dan $x$ sumbu, integral lipat dari fungsi positif dua variabel mewakili volume dari wilayah antara permukaan yang ditentukan oleh fungsi (pada [[bidang Cartesian] tiga dimensi $z = f (x, y)$ dan bidang yang berisi domain. ^[1] Bila ada lebih banyak variabel, beberapa integral akan menghasilkan hipervolume fungsi multidimensi.

Integrasi berganda dari suatu fungsi di $n$ variabel: $f (x 1, x 2, ..., x n)$ di atas domain $D$ paling sering diwakili oleh tanda integral bersarang dalam urutan eksekusi terbalik (tanda integral paling kiri dihitung terakhir), diikuti oleh argumen fungsi dan integrand dalam urutan yang benar (integral sehubungan dengan argumen paling kanan dihitung terakhir). The domain of integration is baik diwakili secara simbolis untuk setiap argumen pada setiap tanda integral, atau disingkat dengan variabel di tanda integral paling kanan:^[2]

\int \cdots \int _{\mathbf {D} }\,f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\,dx_{1}\!\cdots dx_{n}

Karena konsep antiturunan hanya didefinisikan untuk fungsi variabel nyata tunggal, definisi umum dari integral tak tentu tidak segera meluas ke beberapa inte.

Definisi Matematika

bagi $n > 1$ , pertimbangkan apa yang disebut "setengah terbuka" $n$ domain Hiper-Persegi panjang dimensi $T$ , didefinisikan sebagai:

T=[a_{1},b_{1})\times [a_{2},b_{2})\times \cdots \times [a_{n},b_{n})\subseteq \mathbf {R} ^{n}.

Partisi setiap interval $[a j, b j)$ menjadi keluarga yang terbatas $I j$ dari subinterval yang tidak tumpang tindih $i j α$ , dengan setiap subinterval ditutup di ujung kiri, dan terbuka di ujung kanan.

Kemudian keluarga terbatas sub-persegipanjang $C$ diberikan oleh

C=I_{1}\times I_{2}\times \cdots \times I_{n}

adalah partisi dari $T$ ; yaitu, sub-persegipanjang $C k$ tidak tumpang tindih dan serikat mereka $T$ .

Jika rumus $f : T \to R$ menjadi fungsi yang didefinisikan pada $T$ . Pertimbangkan partisi $C$ dari $T$ seperti yang didefinisikan di atas, seperti itu bahwa $C$ adalah keluarga dari sub-persegi panjang $m$ $C m$ and

T=C_{1}\cup C_{2}\cup \cdots \cup C_{m}

Kami dapat memperkirakan totalnya $(n + 1)$ volume dimensi yang dibatasi di bawah oleh $n$ hyperrectangle dimensi $T$ dan di atasnya oleh $n$ grafik dimensi $f$ dengan jumlah Riemann berikut:

\sum _{k=1}^{m}f(P_{k})\,\operatorname {m} (C_{k})

Properti

Integral berganda memiliki banyak sifat yang sama dengan integral fungsi satu variabel (linieritas, komutatif, monotonitas, dan seterusnya). Salah satu sifat penting dari banyak integral adalah bahwa nilai integral tidak bergantung pada urutan integral dalam kondisi tertentu. Properti ini dikenal sebagai Teorema Fubini.^[3]

Kasus tertentu

Dalam kasus $T \subseteq R 2$ , integral

l=\iint _{T}f(x,y)\,dx\,dy

adalah integral ganda dari $f$ pada $T$ , dan jika $T \subseteq R 3$ the integral

l=\iiint _{T}f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz

is the triple integral of $f$ on $T$ .

Perhatikan bahwa, menurut kesepakatan, integral ganda memiliki dua tanda integral, dan integral rangkap tiga memiliki tiga; ini adalah ketentuan notasi yang berguna saat menghitung integral berganda sebagai integral iterasi, seperti yang ditunjukkan nanti di artikel ini.

Perubahan variabel

Batasan integral seringkali tidak mudah dipertukarkan (tanpa normalitas atau dengan formula kompleks untuk diintegrasikan). Seseorang membuat perubahan variabel untuk menulis ulang integral di wilayah yang lebih "nyaman", yang dapat dijelaskan dalam rumus yang lebih sederhana. Untuk melakukannya, fungsinya harus disesuaikan dengan koordinat baru.

Contoh 1a. Fungsinya adalah $f (x, y) = (x - 1) 2 + \sqrt y$ ; jika seseorang mengadopsi substitusi $x' = x - 1$ , $y' = y$ karena itu $x = x' + 1$ , $y = y'$ seseorang mendapatkan fungsi baru $f 2 (x, y) = (x') 2 + \sqrt y$ .

Begitu pula untuk domain karena dibatasi oleh variabel asli yang diubah sebelumnya ( $x$ and $y$ contohnya).
perbedaan $dx$ dan $dy$ mentransformasikan melalui nilai absolut determinan matriks Jacobian yang berisi turunan parsial transformasi terkait variabel baru (pertimbangkan, sebagai contoh, transformasi diferensial dalam koordinat kutub).

Ada tiga "jenis" utama dari perubahan variabel (one in $R 2$ , two di $R 3$ ); namun, substitusi yang lebih umum dapat dilakukan dengan menggunakan prinsip yang sama.

Contoh

Integral ganda di atas persegi panjang

Mari kita asumsikan bahwa kita ingin mengintegrasikan fungsi multivariabel $f$ di suatu wilayah $A$ :

A=\left\{(x,y)\in \mathbf {R} ^{2}\ :\ 11\leq x\leq 14\ ;\ 7\leq y\leq 10\right\}{\mbox{ dan }}f(x,y)=x^{2}+4y\,

Dari sini kami merumuskan integral iterasi

\int _{7}^{10}\int _{11}^{14}(x^{2}+4y)\,dx\,dy

Integral bagian dalam dilakukan terlebih dahulu, berintegrasi dengan $x$ dan mengambil $y$ sebagai konstanta, karena ini bukan variabel integrasi. Hasil integral ini, yang merupakan fungsi yang hanya bergantung pada $y$ , kemudian diintegrasikan sehubungan dengan $y$ .

{\begin{aligned}\int _{11}^{14}\left(x^{2}+4y\right)\,dx&=\left[{\frac {1}{3}}x^{3}+4yx\right]_{x=11}^{x=14}\\&={\frac {1}{3}}(14)^{3}+4y(14)-{\frac {1}{3}}(11)^{3}-4y(11)\\&=471+12y\end{aligned}}

Kami kemudian mengintegrasikan hasilnya sehubungan dengan $y$ .

{\begin{aligned}\int _{7}^{10}(471+12y)\ dy&={\Big [}471y+6y^{2}{\Big ]}_{y=7}^{y=10}\\&=471(10)+6(10)^{2}-471(7)-6(7)^{2}\\&=1719\end{aligned}}

Dalam kasus di mana integral ganda dari nilai absolut fungsi berhingga, urutan integrasi dapat dipertukarkan, yaitu, x pertama dan mengintegrasikan sehubungan dengan y pertama menghasilkan hasil yang sama. Itulah Teorema Fubini. Misalnya, melakukan perhitungan sebelumnya dengan urutan terbalik memberikan hasil yang sama:

{\begin{aligned}\int _{11}^{14}\int _{7}^{10}\,\left(x^{2}+4y\right)\,dy\,dx&=\int _{11}^{14}{\Big [}x^{2}y+2y^{2}{\Big ]}_{y=7}^{y=10}\,dx\\&=\int _{11}^{14}\,(3x^{2}+102)\,dx\\&={\Big [}x^{3}+102x{\Big ]}_{x=11}^{x=14}\\&=1719.\end{aligned}}

Integral ganda di atas domain normal

Example: double integral over the normal region D

Pertimbangkan wilayahnya (lihat grafik di contoh):

D=\{(x,y)\in \mathbf {R} ^{2}\ :\ x\geq 0,y\leq 1,y\geq x^{2}\}

Calculate

\iint _{D}(x+y)\,dx\,dy.

Domain ini normal dalam kaitannya dengan x dan y sumbu. Untuk menerapkan rumus, diperlukan untuk menemukan fungsi yang menentukan D dan interval di mana fungsi ini didefinisikan. Dalam hal ini kedua fungsi tersebut adalah:

\alpha (x)=x^{2}{\text{ and }}\beta (x)=1

sedangkan interval diberikan oleh perpotongan fungsi dengan x = 0, jadi interval dari [a, b] = [0, 1] (normalitas telah dipilih sehubungan dengan sumbu x untuk pemahaman visual yang lebih baik).

Sekarang dimungkinkan untuk menerapkan rumus:

\iint _{D}(x+y)\,dx\,dy=\int _{0}^{1}dx\int _{x^{2}}^{1}(x+y)\,dy=\int _{0}^{1}dx\ \left[xy+{\frac {y^{2}}{2}}\right]_{x^{2}}^{1}

(pada awalnya integral kedua dihitung dengan mempertimbangkan x sebagai konstanta). Operasi yang tersisa terdiri dari penerapan teknik dasar integral:

\int _{0}^{1}\left[xy+{\frac {y^{2}}{2}}\right]_{x^{2}}^{1}\,dx=\int _{0}^{1}\left(x+{\frac {1}{2}}-x^{3}-{\frac {x^{4}}{2}}\right)dx=\cdots ={\frac {13}{20}}.

Bila kita memilih normalitas sehubungan dengan sumbu y - kita dapat menghitung

\int _{0}^{1}dy\int _{0}^{\sqrt {y}}(x+y)\,dx.

dan mendapatkan nilai yang sama.

Example of domain in R³ that is normal with respect to the xy-plane.

Menghitung volume

Menggunakan metode yang dijelaskan sebelumnya, dimungkinkan untuk menghitung volume beberapa padatan umum.

Tabung: Volume silinder dengan tinggi $h$ dan dasar lingkaran jari-jari $R$ dapat dihitung dengan mengintegrasikan fungsi konstanta $h$ di atas alas lingkaran, menggunakan koordinat kutub.

\mathrm {Volume} =\int _{0}^{2\pi }d\varphi \,\int _{0}^{R}h\rho \,d\rho =2\pi h\left[{\frac {\rho ^{2}}{2}}\right]_{0}^{R}=\pi R^{2}h

Ini sesuai dengan rumus volume sebuah prisma

\mathrm {Volume} ={\text{base area}}\times {\text{height}}.

Bola: Volume bola dengan jari-jari $R$ dapat dihitung dengan mengintegrasikan fungsi konstanta 1 di atas bola, menggunakan koordinat bola.

{\begin{aligned}{\text{Volume}}&=\iiint _{D}f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz\\&=\iiint _{D}1\,dV\\&=\iiint _{S}\rho ^{2}\sin \varphi \,d\rho \,d\theta \,d\varphi \\&=\int _{0}^{2\pi }\,d\theta \int _{0}^{\pi }\sin \varphi \,d\varphi \int _{0}^{R}\rho ^{2}\,d\rho \\&=2\pi \int _{0}^{\pi }\sin \varphi \,d\varphi \int _{0}^{R}\rho ^{2}\,d\rho \\&=2\pi \int _{0}^{\pi }\sin \varphi {\frac {R^{3}}{3}}\,d\varphi \\&={\frac {2}{3}}\pi R^{3}{\Big [}-\cos \varphi {\Big ]}_{0}^{\pi }={\frac {4}{3}}\pi R^{3}.\end{aligned}}

Tetrahedron (segitiga piramida atau 3 - simpleks): Volume tetrahedron dengan puncaknya pada titik asal dan tepi panjang $ℓ$ sepanjang $x$ -, $y$ - dan $z$ -sumbu dapat dihitung dengan mengintegrasikan fungsi konstanta 1 di atas tetrahedron.

{\begin{aligned}{\text{Volume}}&=\int _{0}^{\ell }dx\int _{0}^{\ell -x}\,dy\int _{0}^{\ell -x-y}\,dz\\&=\int _{0}^{\ell }dx\int _{0}^{\ell -x}(\ell -x-y)\,dy\\&=\int _{0}^{\ell }\left(l^{2}-2\ell x+x^{2}-{\frac {(\ell -x)^{2}}{2}}\right)\,dx\\&=\ell ^{3}-\ell \ell ^{2}+{\frac {\ell ^{3}}{3}}-\left[{\frac {\ell ^{2}x}{2}}-{\frac {\ell x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{6}}\right]_{0}^{\ell }\\&={\frac {\ell ^{3}}{3}}-{\frac {\ell ^{3}}{6}}={\frac {\ell ^{3}}{6}}\end{aligned}}

Hal ini sesuai dengan rumus volume sebuah piramid

\mathrm {Volume} ={\frac {1}{3}}\times {\text{luas dasar}}\times {\text{tinggi}}={\frac {1}{3}}\times {\frac {\ell ^{2}}{2}}\times \ell ={\frac {\ell ^{3}}{6}}.

Example of an improper domain.

Beberapa integral tak wajar

Dalam kasus domain tidak terikat atau fungsi tidak terikat di dekat batas domain, kita harus memperkenalkan double integral tidak tepat atau integral tidak tepat rangkap tiga.

Lihat pula

Teorema analisis utama yang menghubungkan beberapa integral:

Referensi

^ ^a ^b Stewart, James (2008). Calculus: Early Transcendentals, 6th ed., Brooks Cole Cengage Learning. ISBN 978-0-495-01166-8
^ Larson; Edwards (2014). Kalkulus Multivariabel (edisi ke-10th). Cengage Learning. ISBN 978-1-285-08575-3.
^ Jones, Frank (2001). Integrasi Lebesgue di Ruang Euklides . Jones and Bartlett. hlm. 527–529. ^{[tanpa ISBN]}

Pranala luar

e(Inggris) Weisstein, Eric W. "Multiple Integral". MathWorld.
(Inggris) L.D. Kudryavtsev (2001) [1994], "Multiple integral", dalam Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4

[Stewart-1] Stewart, James (2008). Calculus: Early Transcendentals, 6th ed., Brooks Cole Cengage Learning. ISBN 978-0-495-01166-8

[2] Larson; Edwards (2014). Kalkulus Multivariabel (edisi ke-10th). Cengage Learning. ISBN 978-1-285-08575-3.

[a-3] Jones, Frank (2001). Integrasi Lebesgue di Ruang Euklides . Jones and Bartlett. hlm. 527–529. ^{[tanpa ISBN]}

[1]

[2]

[3]