Integral permukaan

Dalam matematika, Permukaan integral adalah generalisasi dari beberapa integral untuk integrasi di atas permukaan. Ini dapat dianggap sebagai analog integral lipat dari integral garis . Dengan adanya suatu permukaan, seseorang dapat mengintegralkan bidang skalar (yaitu, fungsi posisi yang mengembalikan skalar sebagai nilai) di atas permukaan, atau bidang vektor (yaitu, fungsi yang mengembalikan vektor sebagai nilai). Jika suatu daerah R tidak datar, maka itu disebut permukaan seperti yang diperlihatkan dalam ilustrasi.

Permukaan integral memiliki aplikasi dalam fisika, khususnya dalam teori elektromagnetisme klasik.

Definisi permukaan integral bergantung pada pemisahan permukaan menjadi elemen permukaan kecil.

Ilustrasi elemen permukaan tunggal. Elemen-elemen ini dibuat sangat kecil, dengan proses pembatas, sehingga mendekati permukaan.

Integral permukaan bidang skalar

Untuk menemukan rumus eksplisit untuk integral permukaan di atas permukaan S, kita perlu membuat parameter S dengan menentukan sistem koordinat lengkung pada S, seperti lintang dan bujur pada bola . Biarkan parameterisasi seperti itu menjadi x ( s, t ), di mana ( s, t ) bervariasi di beberapa daerah T di bidang . Kemudian, integral permukaan diberikan oleh

$\iint _{S}f\,\mathrm {d} S=\iint _{T}f(\mathbf {x} (s,t))\left\|{\partial \mathbf {x} \over \partial s}\times {\partial \mathbf {x} \over \partial t}\right\|\mathrm {d} s\,\mathrm {d} t$

di mana ekspresi antara bar di sisi kanan adalah besarnya dari produk silang dari turunan parsial dari x (s, t), dan dikenal sebagai permukaan elemen . Integral permukaan juga dapat dinyatakan dalam bentuk ekivalen

$\iint _{S}f\,\mathrm {d} S=\iint _{T}f(\mathbf {x} (s,t)){\sqrt {g}}\,\mathrm {d} s\,\mathrm {d} t$

dimana g adalah determinan bentuk fundamental pertama dari pemetaan permukaan x ( s, t ).

Contohnya, jika kita ingin mencari luas permukaan grafik dari beberapa fungsi skalar, katakanlah $z=f\,(x,y)$, kita punya

$L=\iint _{S}\,\mathrm {d} S=\iint _{T}\left\|{\partial \mathbf {r} \over \partial x}\times {\partial \mathbf {r} \over \partial y}\right\|\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y$

rumus di atas adalah $\mathbf {r} =(x,y,z)=(x,y,f(x,y))$ . Yang seperti itu ${\partial \mathbf {r} \over \partial x}=(1,0,f_{x}(x,y))$, dan ${\partial \mathbf {r} \over \partial y}=(0,1,f_{y}(x,y))$ . Jika

${\begin{aligned}L&{}=\iint _{T}\left\|\left(1,0,{\partial f \over \partial x}\right)\times \left(0,1,{\partial f \over \partial y}\right)\right\|\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\\&{}=\iint _{T}\left\|\left(-{\partial f \over \partial x},-{\partial f \over \partial y},1\right)\right\|\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\\&{}=\iint _{T}{\sqrt {\left({\partial f \over \partial x}\right)^{2}+\left({\partial f \over \partial y}\right)^{2}+1}}\,\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\end{aligned}}$

Berikut salah satu merupakan rumus standar untuk luas permukaan yang dijelaskan dengan cara ini. Seseorang dapat mengenali vektor pada baris kedua terakhir di atas sebagai vektor normal ke permukaan.

Perhatikan, bahwa karena adanya perkalian silang, rumus di atas hanya berfungsi untuk permukaan yang tertanam dalam ruang tiga dimensi.

Hal ini dapat dilihat sebagai integrasi bentuk volume Riemannian pada permukaan berparameter, di mana tensor metrik diberikan oleh bentuk dasar pertama permukaan.