Basis (aljabar linear)

Dalam aljabar linear, basis adalah himpunan vektor, yang dalam sebuah kombinasi linear dapat merepresentasikan setiap vektor dalam suatu ruang vektor. Tidak ada elemen dalam himpunan vektor tersebut yang dapat direpresentasikan sebagai kombinasi linear vektor-vektor lain. Basis juga dapat dianggap sebagai "sistem koordinat".^[1]

Definisi formal

Basis untuk ruang vektor $V$ (atas medan $F$ ) adalah suatu himpunan bagian $B\subset V$ yang memenuhi:

Setiap $\mathbf {v} \in V$ dapat dituliskan sebagai $\mathbf {v} =\sum _{i=1}^{k}a_{i}\mathbf {b} _{i}$ dengan $k\in \mathbb {N} ,a_{1},\ldots ,a_{k}\in F,\mathbf {b} _{1},\ldots ,\mathbf {b} _{k}\in B$ .
Jika $\mathbf {v} =\sum _{i=1}^{\tilde {k}}{\tilde {a}}_{i}{\tilde {\mathbf {b} }}_{i}$ representasi lain, maka $k={\tilde {k}}$ dan ada suatu permutasi $\iota :\{1,\ldots ,k\}\to \{1,\ldots ,k\}$ yang $a_{i}={\tilde {a}}_{\iota (i)}$ dan $\mathbf {b} _{i}={\tilde {\mathbf {b} }}_{\iota (i)}$ .

Contoh

Gambar ini mengilustrasikan basis standar pada R². Vektor biru dan oranye adalah elemen dasarnya; vektor hijau dapat diberikan dalam istilah vektor basis, dan begitu juga bergantung linear padanya.

Himpunan $R 2$ dari pasangan terurut dari bilangan riil adalah ruang vektor untuk penjumlahan berdasarkan komponen

(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d),

dan perkalian skalar

\lambda (a,b)=(\lambda a,\lambda b),

dimana

\lambda

adalah bilangan real apa pun. Basis sederhana dari ruang vektor ini, disebut basis standar terdiri dari dua vektor

e 1 = (1,0)

and

e 2 = (0,1)

, karena vektor apapun

v = (a, b)

dari

R 2

dapat ditulis secara unik sebagai

v=ae_{1}+be_{2}.

Pasangan vektor bebas linear lainnya

R 2

, seperti

(1, 1)

dan

(-1, 2)

, bentuk menjadi dasar

R 2

.

Lebih umum lagi, jika $F$ adalah bidang, himpunan $F^{n}$ dari $n$ -tupel dari elemen $F$ adalah ruang vektor untuk penjumlahan dan perkalian skalar yang didefinisikan serupa. Karena

e_{i}=(0,\ldots ,0,1,0,\ldots ,0)

jadilah tupel

n

dengan semua komponen sama dengan 0, kecuali

i

yaitu 1. Kemudian

e_{1},\ldots ,e_{n}

adalah basis dari

F^{n}

yang disebut basis standar dari

F^{n}.

Jika $F$ adalah bidang gelanggang polinomial $F [X]$ dari polinomial dalam satu tak tentu memiliki basis $B$ , yang disebut basis monomial, yang terdiri dari semua monomial:

B=\{1,X,X^{2},\ldots \}.

Kumpulan polinomial apa pun yang hanya ada satu polinomial pada setiap derajat juga merupakan basis. Kumpulan polinomial seperti itu disebut urutan polinomial. Contoh (di antara banyak) urutan polinomial tersebut adalah polinomial basis Bernstein, dan polinomial Chebyshev.

Koordinat

Misalkan $V$ menjadi ruang vektor berdimensi berhingga $n$ di atas bidang $F$ , dan

B=\{b_{1},\ldots ,b_{n}\}

menjadi dasar dari $V$ . Menurut definisi basis, setiap $v$ pada $V$ dapat ditulis, dengan cara yang unik, seperti

v=\lambda _{1}b_{1}+\cdots +\lambda _{n}b_{n},

dimana koefisiennya $\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n}$ adalah skalar (yaitu, elemen $F$ ), yang disebut koordinat dari $v$ di atas $B$ . Namun, jika seseorang berbicara tentang himpunan koefisien, seseorang kehilangan korespondensi antara koefisien dan elemen basis, dan beberapa vektor mungkin memiliki himpunan koefisien yang sama. Sebagai contoh, $3b_{1}+2b_{2}$ dan $2b_{1}+3b_{2}$ memiliki koefisien yang sama ${2, 3}$ , dan berbeda. Oleh karena itu, sering kali nyaman untuk bekerja dengan dasar yang teratur; ini biasanya dilakukan oleh pengindeksan elemen dasar oleh bilangan asli pertama. Kemudian, koordinat vektor membentuk urutan dengan indeks serupa, dan vektor sepenuhnya dicirikan oleh urutan koordinat. Basis terurut juga disebut frame, kata yang biasa digunakan, dalam berbagai konteks, untuk merujuk ke urutan data yang memungkinkan penentuan koordinat.

Misalkan, seperti biasa, $F^{n}$ menjadi himpunan $n$ -tupel dari elemen $F$ . Himpunan ini adalah $F$ ruang vektor, dengan penjumlahan dan perkalian skalar ditentukan berdasarkan komponen. Peta

\varphi :(\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n})\mapsto \lambda _{1}b_{1}+\cdots +\lambda _{n}b_{n}

is a linear isomorphism from the vector space $F^{n}$ onto $V$ . In other words, $F^{n}$ is the coordinate space of $V$ , and the $n$ -tuple $\varphi ^{-1}(v)$ is the coordinate vector of $v$ .

Gambar invers oleh $\varphi$ pada $b_{i}$ adalah $n$ -tupel $e_{i}$ semua yang komponennya 0, kecuali yang ke $i$ yaitu 1. $e_{i}$ membentuk dasar terurut dari $F^{n},$ yang disebut standar dasar atau dasar kanonik. Dasar yang diurutkan $B$ adalah gambar oleh $\varphi$ dari dasar kanonik $F^{n}$ .

Ini mengikuti dari apa yang mendahului setiap basis terurut adalah gambar dengan isomorfisme linier dari basis kanonik $F^{n}$ , dan bahwa setiap isomorfisme linier dari $F^{n}$ ke $V$ dapat didefinisikan sebagai isomorfisme yang memetakan dasar kanonik $F^{n}$ ke urutan tertentu dasar dari $V$ . Dengan kata lain, ini setara dengan mendefinisikan basis terurut dari $V$ , atau isomorfisme linier dari $F^{n}$ ke $V$ .

Perubahan basis

Maka $V$ jadilah ruang vektor berdimensi $n$ di atas bidang $F$ . Diberikan dua pangkalan (order) $B_{\mathrm {old} }=(v_{1},\ldots ,v_{n})$ dan $B_{\mathrm {new} }=(w_{1},\ldots ,w_{n})$ dari $V$ , sering kali berguna untuk menyatakan koordinat vektor $x$ sehubungan dengan $B_{\mathrm {old} }$ dalam hal koordinat sehubungan dengan $B_{\mathrm {new} }.$ Ini dapat dilakukan dengan rumus perubahan-basis , yang dijelaskan di bawah ini. Subskrip "lama" dan "baru" telah dipilih karena biasa digunakan untuk merujuk $B_{\mathrm {old} }$ dan $B_{\mathrm {new} }$ sebagai dasar lama dan dasar baru . Ini berguna untuk menggambarkan koordinat lama dengan yang baru, karena, secara umum, seseorang memiliki ekspresi yang melibatkan koordinat lama, dan jika seseorang ingin mendapatkan ekspresi yang setara dalam hal koordinat baru; ini diperoleh dengan mengganti koordinat lama dengan ekspresi mereka dalam bentuk koordinat baru.

Biasanya, vektor basis baru diberikan oleh koordinatnya di atas basis lama, yaitu

w_{j}=\sum _{i=1}^{n}a_{i,j}v_{i}.

If $(x_{1},\ldots ,x_{n})$ and $(y_{1},\ldots ,y_{n})$ are the coordinates of a vector $x$ over the old and the new basis respectively, the change-of-basis formula is

x_{i}=\sum _{j=1}^{n}a_{i,j}y_{j},

for $i = 1, ..., n$ .

Rumus ini dapat ditulis secara ringkas dalam notasi matriks. Misalkan $A$ adalah matriks dari $a_{i,j},$ dan

X={\begin{pmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}\quad

dan

\quad Y={\begin{pmatrix}y_{1}\\\vdots \\y_{n}\end{pmatrix}}

jadilah vektor kolom dari koordinat $v$ di basis lama dan basis baru, maka rumus untuk mengubah koordinat adalah

X=AY.

Rumusnya dapat dibuktikan dengan mempertimbangkan dekomposisi vektor $x$ pada dua basa: satu memiliki

x=\sum _{i=1}^{n}x_{i}v_{i},

dan

{\begin{aligned}x&=\sum _{j=1}^{n}y_{j}w_{j}\\&=\sum _{j=1}^{n}y_{j}\sum _{i=1}^{n}a_{i,j}v_{i}\\&=\sum _{i=1}^{n}\left(\sum _{j=1}^{n}a_{i,j}y_{j}\right)v_{i}.\end{aligned}}

Rumus perubahan basis kemudian dari keunikan dekomposisi vektor atas basis, di sini $B_{\mathrm {old} };$ adalah

x_{i}=\sum _{j=1}^{n}a_{i,j}y_{j},

untuk $i = 1, ..., n$ .

Lihat pula

Catatan

^ Halmos, Paul Richard (1987) Finite-dimensional vector spaces (4^th edition) Springer-Verlag, New York, page 10, ISBN 0-387-90093-4

Referensi

Referensi umum

Blass, Andreas (1984), "Existence of bases implies the axiom of choice", Axiomatic set theory, Contemporary Mathematics volume 31, Providence, R.I.: American Mathematical Society, hlm. 31–33, ISBN 978-0-8218-5026-8, MR 0763890
Brown, William A. (1991), Matrices and vector spaces, New York: M. Dekker, ISBN 978-0-8247-8419-5
Lang, Serge (1987), Linear algebra, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-96412-6

Referensi sejarah

Banach, Stefan (1922), "Sur les opérations dans les ensembles abstraits et leur application aux équations intégrales (On operations in abstract sets and their application to integral equations)" (PDF), Fundamenta Mathematicae (dalam bahasa Prancis), 3: 133–181, doi:10.4064/fm-3-1-133-181, ISSN 0016-2736
Bolzano, Bernard (1804), Betrachtungen über einige Gegenstände der Elementargeometrie (Considerations of some aspects of elementary geometry) (dalam bahasa Jerman)
Bourbaki, Nicolas (1969), Éléments d'histoire des mathématiques (Elements of history of mathematics) (dalam bahasa Prancis), Paris: Hermann
Dorier, Jean-Luc (1995), "A general outline of the genesis of vector space theory", Historia Mathematica, 22 (3): 227–261, doi:10.1006/hmat.1995.1024, MR 1347828
Fourier, Jean Baptiste Joseph (1822), Théorie analytique de la chaleur (dalam bahasa Prancis), Chez Firmin Didot, père et fils
Grassmann, Hermann (1844), Die Lineale Ausdehnungslehre - Ein neuer Zweig der Mathematik (dalam bahasa Jerman) , reprint: Hermann Grassmann. Translated by Lloyd C. Kannenberg. (2000), Extension Theory, Kannenberg, L.C., Providence, R.I.: American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-2031-5
Hamilton, William Rowan (1853), Lectures on Quaternions, Royal Irish Academy
Möbius, August Ferdinand (1827), Der Barycentrische Calcul : ein neues Hülfsmittel zur analytischen Behandlung der Geometrie (Barycentric calculus: a new utility for an analytic treatment of geometry) (dalam bahasa Jerman), diarsipkan dari versi asli tanggal 2009-04-12
Moore, Gregory H. (1995), "The axiomatization of linear algebra: 1875–1940", Historia Mathematica, 22 (3): 262–303, doi:10.1006/hmat.1995.1025
Peano, Giuseppe (1888), Calcolo Geometrico secondo l'Ausdehnungslehre di H. Grassmann preceduto dalle Operazioni della Logica Deduttiva (dalam bahasa Italia), Turin

[1] Halmos, Paul Richard (1987) Finite-dimensional vector spaces (4^th edition) Springer-Verlag, New York, page 10, ISBN 0-387-90093-4

[1]