Subgrup Frattini

Dalam matematika, terutama dalam teori grup, Subgrup Frattini $\Phi (G)$ dari grup $G$ adalah persimpangan dari semua subgrup maksimal dari $G$ . Untuk kasus di mana $G$ tidak memiliki subgrup maksimal, misalnya grup sepele { e } atau grup Prüfer, ini ditentukan oleh $\Phi (G)=G$ . Ini analog dengan Jacobson radikal dalam teori gelanggang, dan secara intuitif dapat dianggap sebagai subkelompok "elemen kecil" (lihat karakterisasi "non-generator" di bawah). Ini dinamai Giovanni Frattini, yang mendefinisikan konsep tersebut dalam sebuah makalah yang diterbitkan pada tahun 1885.^[1]

Beberapa fakta

$\Phi (G)$ sama dengan himpunan semua non-generator atau elemen non-penghasil dari $G$ . Elemen yang tidak menghasilkan $G$ adalah elemen yang selalu dapat dihapus dari Menghasilkan himpunan; yaitu, elemen a dari $G$ sedemikian rupa sehingga setiap kali $X$ adalah himpunan penghasil $G$ yang berisi a , $X\setminus \{a\}$ juga merupakan himpunan pembangkit $G$ .
$\Phi (G)$ selalu merupakan subgrup karakteristik dari $G$ ; khususnya, ini selalu merupakan subgrup normal dari $G$ .
Jika $G$ terbatas, maka $\Phi (G)$ adalah nilpoten.
Jika $G$ adalah grup p , maka $\Phi (G)=G^{p}[G,G]$ . Jadi subgrup Frattini adalah yang terkecil (sehubungan dengan inklusi) subgrup normal N sehingga grup hasil bagi $G/N$ adalah grup abelian dasar, yaitu isomorfik ke jumlah langsung dari grup siklik dari order p . Apalagi jika grup kecerdasan $G/\Phi (G)$ (juga disebut hasil bagi Frattini dari $G$ ) memiliki urutan $p^{k}$ , maka k adalah jumlah generator terkecil untuk $G$ (yaitu kardinalitas terkecil dari himpunan pembangkit untuk $G$ ). Secara khusus, grup p yang terbatas adalah siklik jika dan hanya jika hasil bagi Frattini-nya adalah siklik (dengan urutan p ). Grup p yang terbatas adalah abelian dasar jika dan hanya jika subgrup Frattini-nya adalah grup sepele, $\Phi (G)=\{e\}$ .
Jika $H$ dan $K$ terbatas, maka $\Phi (H\times K)=\Phi (H)\times \Phi (K)$ .

Contoh grup dengan subgrup Frattini nontrivial adalah grup siklik $G$ order $p^{2}$ , di mana p adalah bilangan prima, dihasilkan oleh a , maka; $\Phi (G)=\left\langle a^{p}\right\rangle$ .

Lihat pula

Referensi

^ Frattini, Giovanni (1885). "Intorno alla generazione dei gruppi di operazioni" (PDF). Accademia dei Lincei, Rendiconti. (4). I: 281–285, 455–457. JFM 17.0097.01.

Hall, Marshall (1959). The Theory of Groups. New York: Macmillan. (See Chapter 10, especially Section 10.4.)

[1] Frattini, Giovanni (1885). "Intorno alla generazione dei gruppi di operazioni" (PDF). Accademia dei Lincei, Rendiconti. (4). I: 281–285, 455–457. JFM 17.0097.01.

[1]