Aljabar

Aljabar (dari bahasa arab "al-jabr" yang berarti "pengumpulan bagian yang rusak") adalah salah satu bagian dari bidang matematika yang luas, bersama-sama dengan teori bilangan, geometri dan analisis. Dalam bentuk paling umum, aljabar adalah ilmu yang mempelajari simbol-simbol matematika dan aturan untuk memanipulasi simbol-simbol ini; aljabar adalah benang pemersatu dari hampir semua bidang matematika. Selain itu, aljabar juga meliputi segala sesuatu dari dasar pemecahan persamaan untuk mempelajari abstraksi seperti grup, gelanggang, dan medan. Semakin banyak bagian-bagian dasar dari aljabar disebut aljabar elementer, sementara bagian aljabar yang lebih abstrak yang disebut aljabar abstrak atau aljabar modern. Aljabar elementer umumnya dianggap penting untuk setiap studi matematika, ilmu pengetahuan, atau teknik, serta aplikasi dalam kesehatan dan ekonomi. Aljabar abstrak merupakan topik utama dalam matematika tingkat lanjut, yang dipelajari terutama oleh para profesional dan pakar matematika.

Rumus persamaan kuadrat mengungkapkan solusi dari persamaan derajat dua $ax^{2}+bx+c=0$ dalam koefisien $a,b,c$, dimana $a$ bukan nol.

Aljabar elementer berbeda dari aritmetika dalam penggunaan abstraksi, seperti menggunakan huruf untuk mewakili angka-angka yang tidak diketahui atau diperbolehkan untuk mengambil banyak nilai-nilai. Misalnya, dalam $x+2=5$ huruf $x$ tidak diketahui, tetapi hukum inversi dapat digunakan untuk menemukan nilai: $x=3$. Dalam E = mc², huruf $E$ dan $m$ adalah variabel, dan huruf $c$ adalah konstanta, kecepatan cahaya dalam vakum. Aljabar memberikan metode untuk memecahkan persamaan dan mengekspresikan rumus yang lebih mudah (bagi mereka yang memahami konsepnya) daripada metode konvensional, yaitu menulis semuanya dalam kata-kata.

Kata aljabar juga digunakan dalam hal-hal yang lebih spesifik. Jenis khusus dari objek matematika dalam aljabar abstrak disebut "aljabar", kata ini digunakan, misalnya, dalam ungkapan aljabar linear dan topologi aljabar.

Seorang ahli matematika yang melakukan penelitian dalam aljabar disebut aljabarwan, bahasa Inggris: Algebraist.

Etimologi

Kata aljabar berasal dari bahasa arab الجبر (al-jabr secara harfiah berarti "pengumpulan kembali bagian yang rusak") istilah ini diambil dari judul buku Ilm al-jabr wa'l-muḳābala karya matematikawan dan astronom Persia, Al-Khwarizmi. Kosakata ini memasuki bahasa Inggris selama abad kelima belas, baik dari spanyol, italia, atau Pertengahan Latin. Aljabar awalnya disebut prosedur operasi pengaturan patah atau dislokasi tulang. Makna matematisnya pertama kali tercatat pada abad 16.

Berbagai arti dari "aljabar"

Kata "aljabar" memiliki beberapa makna dalam matematika, sebagai kata tunggal atau dengan kualifikasi.

• Sebagai kata tunggal tanpa kata sandang, "aljabar" nama salah satu bidang ilmu matematika.
• Sebagai kata tunggal dengan sebuah kata sandang atau dalam bentuk jamak, "aljabar" menunjukkan struktur matematika secara spesifik, dan definisi yang tepat tergantung pada penulis. Biasanya struktur ini memiliki penambahan, perkalian, dan skalar perkalian (lihat Aljabar atas lapangan). Ketika beberapa penulis menggunakan istilah "aljabar", mereka membuat sebuah subset dari asumsi tambahan berikut: asosiatif, komutatif, unital, dan/atau dimensi berhingga. Dalam aljabar universal, kata "aljabar" mengacu pada generalisasi dari konsep di atas, yang memungkinkan n-ary operasi.
• Dengan kualifikasi, ada perbedaan yang sama:
  • Tanpa sebuah kata sandang, berarti merupakan bagian dari aljabar, seperti aljabar linier, aljabar elementer (simbol-manipulasi aturan yang diajarkan dalam kursus sd matematika sebagai bagian dari pendidikan dasar dan menengah), atau aljabar abstrak (studi struktur aljabar tentang aljabar itu sendiri).
  • Dengan sebuah kata sandang, berarti sebuah contoh dari beberapa struktur abstrak, seperti aljabar bentang, aljabar asosiatif, atau aljabar operator verteks.
  • Kadang-kadang kedua makna yang ada digunakan untuk kualifikasi yang sama, seperti dalam kalimat: aljabar Komutatif adalah studi tentang gelanggang komutatif, yang merupakan aljabar komutatif atas bilangan bulat.

Aljabar sebagai cabang dari matematika

Aljabar dimulai dengan perhitungan yang sama dengan aritmetika, dengan huruf digunakan untuk mewakili angka. hal Ini memungkinkan bukti dari sifat-sifat yang benar tanpa memperhatikan angka-angka yang terlibat. Misalnya, dalam persamaan kuadrat

$ax^{2}+bx+c=0,$

$a,b,c$ bisa menjadi bilangan apapun (kecuali bahwa $a$ tidak dapat bernilai $0$), dan rumus kuadrat dapat digunakan untuk dengan cepat dan mudah menemukan nilai-nilai dari kuantitas $x$ yang tidak diketahui dan memenuhi persamaan. Rumus kuadrat digunakan untuk menyatakan persamaan, dan kemudian menemukan semua solusi dari persamaan tersebut.

Secara historis, dan dalam pengajaran sekarang ini, pengkajian aljabar dimulai dengan memecahkan persamaan seperti persamaan kuadrat di atas. Kemudian muncullah pertanyaan-pertanyaan yang lebih umum, seperti "apakah persamaan memiliki solusi?", "berapa banyak solusi yang dimiliki persamaan?", "apa yang dapat dikatakan tentang sifat dari solusi?". Pertanyaan-pertanyaan ini memicu kemunculan ide-ide tentang bentuk, struktur dan simetri. Sifat-sifat struktural dari objek-objek non-numerik ini kemudian diabstraksi untuk mendefinisikan struktur-struktur aljabar seperti grup, gelanggang, dan medan.

Sebelum abad ke-16, matematika dibagi menjadi dua subbidang, aritmetika dan geometri. Meskipun beberapa metode, yang telah dikembangkan jauh lebih awal, mungkin yang dianggap saat ini sebagai aljabar, munculnya aljabar dan, segera setelah itu, kalkulus infinitesimal sebagai subbidang matematika hanya dari abad 16 atau abad ke-17. Dari paro kedua abad ke-19, banyak hal baru dalam bidang matematika muncul, yang sebagian besar dibuat menggunakan kedua aritmetika dan geometri, dan hampir semuanya menggunakan aljabar.

Hari ini, aljabar telah berkembang hingga mencakup banyak cabang dari matematika, seperti yang dapat dilihat dalam Klasifikasi Subjek Matematika di mana tak satu pun dari area tingkat pertama (dua digit entri) disebut aljabar. Hari ini aljabar meliputi bagian 08-sistem-sistem aljabar umum, 12-teori medan dan Polinomial, 13-aljabar komutatif, 15-aljabar linear dan multilinear; teori matriks, 16-aljabar asosiatif, 17-aljabar tak-asosiatif, 18-teori kategori; aljabar homologis, 19-teori-K, dan 20-teori grup. Aljabar juga digunakan secara ekstensif dalam 11-teori bilangan dan 14-geometri aljabar.

Sejarah

Sejarah awal aljabar

Halaman dari karya Al-Khwarizmi yang berjudul al-Kitab al-muḫtaṣar fī ḥisāb al-ğabr wa-l-muqābala (Buku Ringkasan tentang Perhitungan dengan Pelengkapan dan Penyetimbangan

Akar aljabar dapat ditelusuri hingga bangsa Babilonia kuno, yang mengembangkan sistem aritmetika lanjut, yang dengannya mereka dapat melakukan perhitungan menurut gaya algoritme. Bangsa Babilonia mengembangkan rumus untuk menghitung solusi dari masalah-masalah yang biasanya diselesaikan hari ini dengan menggunakan persamaan linear, persamaan kuadrat, dan persamaan taktentu. Sebaliknya, sebagian besar orang Mesir era ini, serta Yunani dan Tiongkok pada milenium 1 SM, biasanya menyelesaikan persamaan tersebut dengan metode geometris, seperti yang dijelaskan dalam Papirus Matematika Rhind, Elemen Euklides, dan Sembilan Bab mengenai Seni Matematika. Karya geometris dari Yunani, seperti yang ditulis dalam Elemen, menyediakan kerangka kerja untuk perumuman rumus melampaui solusi dari soal tertentu menjadi sistem yang lebih umum yang menyatakan dan memecahkan persamaan, meskipun hal ini tidak terealisasi sampai sebelum munculnya Matematika Islam abad pertengahan.

Pada zaman Plato, matematika Yunani telah mengalami perubahan drastis. Orang Yunani menemukan aljabar geometri, di mana suku-suku dinyatakan oleh sisi-sisi dari objek geometri, biasanya garis, yang memiliki huruf-huruf yang berasosiasi dengan mereka. Diofantus (abad ke-3 Masehi) adalah seorang Matematikawan Yunani dari Iskandariyah dan penulis serangkaian buku yang disebut Arithmetica. Teks-teks ini berurusan dengan penyelesaian persamaan aljabar, dan telah menuntun pada hadirnya persamaan Diofantin dalam teori bilangan.

Tradisi-tradisi yang lebih dini dibandingkan dengan yang dibahas di atas berpengaruh langsung kepada Matematikawan Persia, Muḥammad ibn Mūsā al-Khwārizmī (kira-kira 780–850). Dia kemudian menulis Buku Ringkasan tentang Perhitungan dengan Pelengkapan dan Penyetimbangan, yang membentuk aljabar sebagai disiplin matematika yang tidak bergantung pada geometri dan aritmetika.

Matematikawan periode Helenistik, Heron dari Iskandariyah dan Diofantus, juga Matematikawan India seperti Brahmagupta meneruskan tradisi-tradisi Mesir dan Babilonia, meskipun Arithmetica-nya Diophantus dan Brāhmasphuṭasiddhānta-nya Brahmagupta berada pada tingkatan yang lebih tinggi. Misalnya, solusi aritmetika lengkap pertama (termasuk solusi nol dan negatif) untuk persamaan kuadrat, seperti yang dijelaskan oleh Brahmagupta dalam bukunya Brahmasphutasiddhanta. Kemudian, Matematikawan Persia dan Arab mengembangkan metode-metode aljabar untuk mencapai derajat kecanggihan yang lebih tinggi. Meskipun Diofantus dan bangsa Babilonia sering kali menggunakan metode ad hoc istimewa untuk menyelesaikan persamaan-persamaan, sumbangsih Al-Khwarizmi adalah mendasar. Dia menyelesaikan persamaan linear dan kuadrat tanpa simbolisme aljabar, bilangan negatif, atau nol, dengan demikian dia harus membedakan beberapa jenis persamaan.

Di dalam konteks di mana aljabar diidentifikasi dengan teori persamaan, Matematikawan Yunani, Diofantus secara tradisional telah dikenali sebagai "bapak aljabar" tetapi dalam waktu yang lebih terkemudian terdapat banyak debat mengenai apakah al-Khwarizmi, yang membentuk disiplin al-jabr, layak menyandang gelar itu. Mereka yang mendukung poin Diofantus terhadap fakta bahwa aljabar ditemukan dalam Al-Jabr adalah sedikit lebih elementer daripada aljabar yang ditemukan dalam Arithmetica dan bahwa Arithmetica lebih diperingkas, sedangkan Al-Jabr sepenuhnya retoris. Mereka yang mendukung poin Al-Khwarizmi terhadap fakta bahwa dia memperkenalkan metode "reduksi" dan "penyetimbangan" (transposisi suku-suku yang diambil ke ruas lain suatu persamaan, yaitu, pencoretan suku-suku yang memiliki variabel dan pangkat sama pada ruas lain suatu persamaan), yang dirujuk oleh al-jabr pada mulanya, dan bahwa dia memberikan penjelasan yang panjang-lebar tentang penyelesaian persamaan kuadrat, didukung oleh bukti-bukti geometris, sambil memperlakukan aljabar sebagai disiplin yang merdeka dan memiliki hak sendiri. Aljabarnya juga tidak lagi berurusan "dengan sederet soal untuk diselesaikan, tetapi sebuah eksposisi yang bermula dengan suku-suku primitif di mana kombinasi harus memberikan semua purwarupa yang mungkin untuk persamaan, yang untuk selanjutnya secara eksplisit membentuk objek kajian yang sebenarnya". Dia juga mengkaji persamaan untuk kepentingannya sendiri dan "dalam cara yang umum, sejauh itu tidak hanya muncul dalam penyelesaian masalah, namun secara khusus dipanggil untuk mendefinisikan kelas masalah yang tak terbatas".

Matematikawan Persia lainnya, Umar Khayyām diakui jasanya sebagai pengidentifikasi dasar-dasar geometri aljabar dan penemu solusi geometris umum untuk persamaan kubik. Bukunya Risalah tentang Peragaan Soal-Soal Aljabar (1070), yang menetapkan prinsip-prinsip aljabar, adalah bagian dari tubuh Matematika Persia yang sebenarnya dikirimkan ke Eropa. Matematikawan Persia lainnya, Sharaf al-Din al-Tusi, menemukan solusi aljabar dan numerik untuk beberapa kasus persamaan kubik. Dia juga mengembangkan konsep mengenai fungsi. Matematikawan India, Mahavira dan Bhāskara II, Matematikawan Persia Al-Karaji, dan Matematikawan Tiongkok, Zhu Shijie, menyelesaikan beberapa kasus persamaan kubik, kuartik, kuintik, dan persamaan-persamaan polinomial berorde lebih tinggi menggunakan metode numerik. Pada abad ke-13, penyelesaian persamaan kubik oleh Fibonacci adalah wakil dari awal kebangkitan aljabar Eropa. Abū al-Ḥasan ibn ʿAlī al-Qalaṣādī (1412–1486) mengambil "langkah-langkah pertama menuju perkenalan simbolisme aljabar". Dia juga menghitung ∑n², ∑n³ dan menggunakan metode pendekatan berurutan (suksesif) untuk menentukan akar kuadrat. Ketika dunia Islam mengalami kemunduran, dunia Eropa mengalami kebangkitan. Dan pada ketika itulah aljabar berkembang lebih jauh.

Sejarah modern aljabar

Matematikawan Italia Girolamo Cardano menerbitkan solusi untuk fungsi kubik dan fungsi kuadrat dalam bukunya pada tahun 1545 yang berjudul Ars magna.

Karya François Viète mengenai aljabar baru pada penutupan abad ke-16 adalah sebuah langkah penting menuju aljabar modern. Pada tahun 1637, René Descartes menerbitkan La Géométrie, menemukan geometri analitis dan memperkenalkan notasi aljabar modern. Peristiwa penting lainnya dalam pengembangan aljabar lebih lanjut adalah penyelesaian aljabar umum untuk persamaan kubik dan kuartik, yang dikembangkan pada pertengahan abad ke-16. Gagasan mengenai determinan dikembangkan oleh matematikawan Jepang Seki Kōwa pada abad ke-17, diikuti secara mandiri oleh Gottfried Leibniz sepuluh tahun kemudian, untuk tujuan memecahkan sistem persamaan linear simultan dengan menggunakan matriks. Gabriel Cramer juga melakukan beberapa pekerjaan mengenai matriks dan determinan pada abad ke-18. Permutasi dipelajari oleh Joseph-Louis de Lagrange dalam karyanya pada tahun 1770 yang berjudul Réflexions sur la résolution algébrique des équations (Refleksi pada resolusi aljabar suatu persamaan), dikhususkan untuk menentukan penyelesaian suatu persamaan aljabar, di mana dia memperkenalkan resolven Lagrange. Paolo Ruffini adalah orang pertama yang mengembangkan teori dari grup permutasi, dan seperti pendahulunya, juga dalam konteks memecahkan persamaan aljabar.

Aljabar abstrak dikembangkan pada abad ke-19, yang berasal dari ketertarikan dalam memecahkan persamaan, awalnya berfokus pada apa yang sekarang disebut teori Galois, dan pada permasalahan konstruktibilitas. George Peacock adalah pelopor pemikiran aksiomatis dalam aritmetika dan aljabar. Augustus De Morgan menemukan aljabar relasi dalam karyanya Syllabus of a Proposed System of Logic (Silabus dari Sistem Logika yang Diusulkan). Josiah Willard Gibbs mengembangkan aljabar dari vektor-vektor dalam ruang tiga-dimensi, dan Arthur Cayley mengembangkan aljabar matriks (ini adalah aljabar tak-komutatif).

Bidang matematika dengan kata aljabar pada nama mereka

Beberapa bidang matematika yang memenuhi klasifikasi aljabar abstrak memuat kata aljabar dalam nama mereka; aljabar linear adalah salah satu contoh. Tetapi ada juga yang tidak, misalnya: teori grup, teori gelanggang, dan teori bidang. Yang berikut ini adalah beberapa bidang matematika yang memuat kata "aljabar" dalam namanya.

• Aljabar elementer, bagian dari aljabar yang biasanya diajarkan di perkuliahan dasar Matematika.
• Aljabar abstrak, di mana struktur aljabar seperti kelompok, gelanggang dan medan didefinisikan dan diselidiki secara aksiomatis.
• Aljabar Linear, di mana sifat-sifat tertentu dari persamaan linear, Ruang vektor dan matriks dipelajari.
• Aljabar Boolean, cabang aljabar yang mengabstraksi komputasi dengan nilai kebenaran benar dan salah.
• Aljabar komutatif, studi tentang gelanggang komutatif.
• Aljabar komputer, penerapan metode-metode aljabar seperti algoritme dan program komputer.
• Aljabar homologis, studi struktur aljabar yang menjadi dasar bagi pengkajian ruang topologi.
• Aljabar semesta, di mana sifat-sifat yang umum untuk semua struktur aljabar dipelajari.
• Teori bilangan aljabar, di mana sifat-sifat bilangan dipelajari menurut sudut pandang aljabar.
• Geometri aljabar, sebuah cabang dari geometri, dalam bentuk primitif menentukan kurva dan permukaan sebagai solusi dari persamaan polinomial.
• Kombinatorika aljabar, di mana metode-metode aljabar digunakan untuk mempelajari soal-soal kombinatorika.
• Aljabar relasional: satu himpunan relasi berhingga yang tertutup di bawah operator tertentu.

Banyak struktur matematika disebut aljabar:

• Aljabar di atas lapangan atau lebih umumnya aljabar di atas gelanggang.
  Banyak kelas pada aljabar di atas lapangan atau di atas gelanggang memiliki nama spesifik:
  • Aljabar asosiatif
  • Aljabar tak-asosiatif
  • Aljabar Lie
  • Aljabar Hopf
  • C*-algebra
  • Aljabar simetri
  • Aljabar eksterior
  • Aljabar tensor
• Dalam teori ukuran,
  • Aljabar sigma
  • Medan himpunan
• Dalam teori kategori
  • F-algebra dan F-coalgebra
  • T-algebra
• Dalam logika,
  • Aljabar relasi, aljabar Boolean beresidu, diperluas dengan kerumitan yang disebut konvers.
  • Aljabar Boolean (struktur), kisi distributif komplemen.
  • Aljabar Heyting

Aljabar elementer

Artikel utama: Aljabar elementer

Notasi ekspresi aljabar:
  1 – pangkat (power)
  2 – koefisien
  3 – suku (term)
  4 – operator
  5 – suku konstanta
  x y c – variabel/konstanta

Aljabar elementer adalah bentuk aljabar paling dasar. Aljabar elementer diajarkan kepada siswa/mahasiswa yang dianggap tidak memiliki pengetahuan tentang matematika lebih dari sekadar prinsip-prinsip dasar aritmetika. Di dalam aritmetika, hanya bilangan dan operasi aritmetika (seperti +, −, ×, ÷) yang muncul. Di dalam aljabar, bilangan sering kali diwakili oleh simbol, yang disebut variabel (seperti a, n, x, y, atau z). Ini berguna, karena:

• Ini membolehkan perumusan umum dari hukum-hukum aritmetika (seperti a + b = b + a untuk setiap a dan b), dan dengan demikian merupakan langkah pertama menuju eksplorasi sistematis pada sifat-sifat sistem bilangan real.
• Ini membolehkan referensi bagi bilangan "anu", perumusan persamaan dan pengkajian cara untuk menyelesaikannya. (Misalnya, "Carilah bilangan x sedemikian sehingga 3x + 1 = 10" atau lebih lanjut "Carilah bilangan x sedemikian sehingga ax + b = c". Langkah ini mengarah pada kesimpulan bahwa bukanlah sifat alami bilangan tertentu yang membolehkan kita menyelesaikannya, melainkan operasi yang dilibatkan.)
• Ini mengizinkan perumusan hubungan fungsional. (Misalnya, "Jika kamu menjual x karcis, maka keuntunganmu sebesar 3x − 10 rupiah, atau f(x) = 3x − 10, di mana f adalah fungsi, dan x adalah bilangan yang terhadapnya fungsi ini diterapkan".)

Polinomial

Grafik fungsi polinomial berderajat 3.

Artikel utama: Polinomial

Polinomial atau suku banyak adalah sebuah ekspresi yang merupakan jumlah bilangan berhingga dari suku-suku tak-nol, tiap-tiap suku memuat perkalian dari sebuah konstanta dan sejumlah berhingga variabel yang muncul dengan seluruh pangkat bilangan. Misalnya, x² + 2x − 3 adalah polinomial dalam variabel tunggal x. Sebuah ekspresi polinomial adalah ekspresi yang dapat ditulis ulang sebagai polinomial, dengan menggunakan sifat-sifat komutativitas, asosiativitas, dan distributivitas perjumlahan dan perkalian. Misalnya, (x − 1)(x + 3) adalah sebuah ekspresi polinomial. Sebuah fungsi polinomial adalah fungsi yang didefinisikan oleh polinomial, atau, secara ekivalen, oleh sebuah ekspresi polinomial. Dua contoh tersebut mendefinisikan fungsi polinomial yang sama.

Dua soal yang penting dan berhubungan di dalam aljabar adalah faktorisasi polinomial, yaitu, mengekspresikan suatu polinomial sebagai perkalian dari polinomial-polinomial lainnya yang tidak dapat difaktorkan lagi, dan komputasi faktor persekutuan terbesar polinomial. Contoh polinomial di atas dapat difaktorkan sebagai (x − 1)(x + 3). Sebuah kelas soal yang behubungan adalah pencarian ekspresi aljabar untuk akar suatu polinomial dalam variabel tunggal.

Pendidikan

Telah dianjurkan bahwa aljabar elementer harus diajarkan kepada siswa yang sudah berusia 11 tahun, meskipun dalam waktu dekat ini terdapat kecenderungan semakin lazimnya pengenalan aljabar elementer pada kelas delapan (≈ 13 tahun ±) di Amerika Serikat. Meskipun demikian, di beberapa sekolah Amerika Serikat, aljabar mulai diperkenalkan pada kelas 9.

Sejak tahun 1997, Institut Politeknik dan Universitas Negeri Virginia dan beberapa universitas lain telah mulai menggunakan sebuah model pengajaran aljabar yang sudah dipersonalisasi yang mengombinasikan umpan-balik instan dari peranti lunak komputer terspesialisasi dengan bimbingan satu-satu dan bimbingan kelompok kecil, yang telah mengurangi biaya dan menaikkan capaian siswa.

Aljabar abstrak

Artikel utama: Aljabar abstrak dan Struktur aljabar

Aljabar abstrak memperluas konsep-konsep yang biasa ditemukan dalam aljabar elementer dan aritmetika bilangan ke konsep-konsep yang lebih umum. Yang berikut ini adalah konsep-konsep dasar di dalam aljabar abstrak.

Himpunan: Lebih dari sekadar memperhatikan jenis-jenis bilangan yang berbeda-beda, aljabar abstrak berurusan dengan konsep himpunan yang lebih umum: sekumpulan objek-objek (disebut elemen) yang dipilih oleh sifat spesifik untuk himpunan. Semua kumpulan jenis-jenis bilangan yang lazim dikenal merupakan himpunan. Contoh himpunan lainnya adalah himpunan semua matrikss dua-kali-dua, himpunan semua polinomial berderajat 2 (ax² + bx + c), himpunan semua vektor dua dimensi pada bidang, dan berbagai grup berhingga seperti grup siklis, yang merupakan grup-grup modulo bilangan bulat n. Teori himpunan adalah sebuah cabang dari logika dan secara teknis bukanlah cabang dari aljabar.

Operasi biner: Maksud perjumlahan (+) diabstraksi untuk memberikan sebuah operasi biner, katakanlah ∗. Maksud operasi biner menjadi tidak berarti tanpa adanya himpunan tempat operasi didefinisikan. Untuk dua elemen a dan b dalam himpunan S, a ∗ b adalah elemen lain di dalam himpunan; kondisi ini disebut ketertutupan. Perjumlahan (+), perkurangan (−), perkalian (×), dan perbagian (÷) dapat menjadi operasi biner ketika terdefinisi pada himpunan yang berbeda, semisal perjumlahan dan perkalian matriks, vektor, dan polinomial.

Elemen identitas: Bilangan nol dan satu diabstraksi untuk memberikan arti suatu elemen identitas untuk sebuah operasi. Nol adalah elemen identitas untuk perjumlahan dan satu adalah elemen identitas untuk perkalian. Untuk suatu operator biner umum ∗ elemen identitas e harus memenuhi a ∗ e = a dan e ∗ a = a, dan harus tunggal, jika ia ada. Ini berlaku untuk perjumlahan sebagai a + 0 = a dan 0 + a = a dan perkalian a × 1 = a dan 1 × a = a. Tidak semua himpunan dan kombinasi operator memiliki elemen identitas; misalnya, himpunan bilangan asli positif (1, 2, 3, ...) tidak memiliki elemen identitas untuk perjumlahan.

Elemen invers atau unsur balikan: Bilangan negatif memunculkan konsep elemen invers. Untuk perjumlahan, invers a ditulis sebagai −a; dan untuk perkalian, invers ditulis sebagai a⁻¹. Elemen invers umum untuk dua-pihak a⁻¹ memenuhi sifat bahwa a ∗ a⁻¹ = e dan a⁻¹ ∗ a = e, di mana e adalah elemen identitas.

Asosiativitas: Perjumlahan bilangan bulat memiliki sifat yang dinamakan asosiativitas. Yakni, pengelompokan bilangan yang dijumlahkan tidaklah mengubah hasilnya. Misalnya: (2 + 3) + 4 = 2 + (3 + 4). Secara umum, ini menjadi (a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c). Sifat ini juga berlaku pada sebagian besar operasi biner, tetapi tidak untuk perkurangan, atau perbagian, atau perkalian oktonion.

Komutativitas: Perjumlahan dan perkalian bilangan real sama-sama bersifat komutatif. Yakni, urutan bilangan tidaklah mengubah hasil. Misalnya: 2 + 3 = 3 + 2. Secara umum, ini menjadi a ∗ b = b ∗ a. Sifat ini tidak berlaku untuk semua operasi biner. Misalnya, perkalian matriks dan perkalian kuaternion, kedua-duanya tidak bersifat komutatif.

Grup

Artikel utama: Grup (matematika)

Lihat pula: Teori grup

Penggabungan konsep-konsep di atas memberikan salah satu struktur yang paling penting dalam matematika: grup. Grup adalah kombinasi dari sebuah himpunan S dan satu operasi biner ∗, didefinisikan dalam cara apapun yang dipilih, tapi dengan sifat sebagai berikut:

• Terdapat sebuah elemen identitas e, sedemikian sehingga untuk setiap anggota a dari S, e ∗ a dan a ∗ e kedua-duanya identik dengan a.
• Setiap elemen mempunyai invers: untuk setiap anggota a dari S, terdapat anggota a⁻¹ sedemikian sehingga a ∗ a⁻¹ dan a⁻¹ ∗ a kedua-duanya identik dengan elemen identitas.
• Operasi bersifat asosiatif: jika a, b, dan c adalah anggota dari S, maka (a ∗ b) ∗ c identik dengan a ∗ (b ∗ c).

Jika grup ini juga komutatif, yaitu untuk setiap dua anggota a dan b dari S, a ∗ b adalah identik untuk b ∗ a—maka grup tersebut dikatakan abelian.

Sebagai contoh, himpunan bilangan bulat di bawah operasi perjumlahan merupakan grup. Dalam grup ini, elemen identitas adalah 0 dan invers dari setiap elemen a adalah negasinya, −a. Persyaratan asosiativitas terpenuhi, karena untuk setiap bilangan bulat a, b, dan c, (a + b) + c = a + (b + c)

Bilangan rasional tak-nol membentuk grup di bawah operasi perkalian. Di sini, elemen identitas adalah 1, karena 1 × a = a × 1 = a untuk setiap bilangan rasional a. Invers dari a adalah 1/a, karena a × 1/a = 1.

Meskipun demikian, bilangan bulat di bawah operasi perkalian tidaklah membentuk sebuah grup. Hal ini karena invers perkalian suatu bilangan bulat tidaklah menghasilkan bilangan bulat. Misalnya, 4 adalah bilangan bulat, tetapi invers perkaliannya adalah ¼, yang tentu saja bukan merupakan bilangan bulat.

Teori mengenai grup dipelajari dalam teori grup. Hasil utama dalam teori ini adalah klasifikasi grup-grup sederhana berhingga, sebagian besar diterbitkan antara tahun 1955 dan tahun 1983, yang memisahkan grup-grup sederhana berhingga menjadi kira-kira 30 jenis dasar.

Semigrup, kuasigrup, dan monoid adalah struktur-struktur yang serupa dengan grup, tetapi bersifat lebih umum. Mereka memuat sebuah himpunan dan satu operasi biner tertutup, tetapi tidak perlu memenuhi persyaratan lainnya. Semigrup memiliki operasi biner asosiatif, tetapi tidak memiliki elemen identitas. Monoid adalah semigrup yang memiliki elemen identitas, tetapi tidak memiliki invers untuk setiap elemen. Kuasigrup memenuhi persyaratan bahwa sembarang elemen dapat diubah menjadi elemen yang lain dengan perkalian-kiri atau perkalian-kanan yang tunggal; tetapi operasi binernya mungkin tidak bersifat asosiatif.

Semua grup adalah monoid, dan semua monoid adalah semigrup.

Contoh

Himpunan	Bilangan asli N		Bilangan bulat Z		Bilangan rasional Q (juga Bilangan real R dan kompleks C)				Modulo bilangan bulat 3: Z3 = {0, 1, 2}
Operasi	+	× (tak-nol)	+	× (tak-nol)	+	−	× (tak-nol)	÷ (tak-nol)	+	× (tak-nol)
Tertutup	Ya	Ya	Ya	Ya	Ya	Ya	Ya	Ya	Ya	Ya
Identitas	0	1	0	1	0	Tidak ada	1	Tidak ada	0	1
Invers	Tidak ada	Tidak ada	−a	Tidak ada	−a	Tidak ada	1/a	Tidak ada	masing-masing: 0, 2, 1	masing-masing: Tidak ada, 1, 2
Asosiatif	Ya	Ya	Ya	Ya	Ya	Tidak	Ya	Tidak	Ya	Ya
Komutatif	Ya	Ya	Ya	Ya	Ya	Tidak	Ya	Tidak	Ya	Ya
Struktur	monoid	monoid	grup abelian	monoid	grup abelian	kuasigrup	grup abelian	kuasigrup	grup abelian	grup abelian (Z2)

Gelanggang dan Lapangan

Artikel utama: Gelanggang (matematika) dan Medan (matematika)

Lihat pula: Teori gelanggang, Glosarium teori gelanggang, dan Glosarium teori medan

Grup hanya memiliki satu operasi biner. Untuk menjelaskan sepenuhnya perilaku jenis-jenis bilangan yang berbeda, struktur-struktur dengan dua operator haruslah dipelajari. Yang paling penting darinya adalah gelanggang, dan medan.

Sebuah gelanggang memiliki dua Operasi biner (+) dan (×), dengan × distributif atas +. Di bawah operator pertama (+), ia membentuk grup abelian. Di bawah operator kedua (×), ia bersifat asosiatif, tetapi tidak harus memiliki identitas atau invers, sehingga perbagian tidaklah diperlukan. Elemen identitas penjumlahan (+) ditulis sebagai 0 dan invers penjumlahan dari a ditulis sebagai −a. Perhatikan bahwa operasi tersebut bisa merupakan operasi abstrak apa saja yang didefinisikan.

Sifat distributif memperumum hukum distributif untuk bilangan. Untuk bilangan bulat (a + b) × c = a × c + b × c dan c × (a + b) = c × a + c × b, dan × dikatakan distributif di atas +.

Bilangan bulat adalah contoh dari gelanggang. Bilangan bulat memiliki sifat-sifat penjumlahan yang membuatnya sebagai domain integral, atau daerah bilangan bulat, atau ranah bilangan bulat,.

Sebuah medan atau lapangan adalah gelanggang dengan sifat perjumlahan bahwa semua elemen tak-nol membentuk grup abelian di bawah ×. Identitas perkalian (×) ditulis sebagai 1 dan invers perkalian dari a ditulis sebagai a⁻¹.

Bilangan rasional, bilangan real, dan bilangan kompleks adalah contoh-contoh lapangan.

Referensi

• Boyer, Carl B. (1991), A History of Mathematics (edisi ke-Second), John Wiley & Sons, Inc., ISBN 0-471-54397-7  More than one of |author-link=, |author-link=, dan |authorlink= specified (bantuan); More than one of |ISBN= dan |isbn= specified (bantuan) * Donald R. Hill, Islam Sains dan Teknik (Edinburgh University Press, 1994).
• Ziauddin Sardar, Jerry Ravetz, dan Borin Van Loon, Memperkenalkan Matematika (Totem Buku, 1999).
• George Gheverghese Joseph, Puncak Merak: Non-Eropa Akar Matematika (Penguin Books, 2000).
• John J o'connor dan Edmund F Robertson, Sejarah Topik: Aljabar Indeks. Di MacTutor History of Mathematics arsip (University of St Andrews, 2005).
• I. N. Herstein: Topik dalam Aljabar. ISBN 0-471-02371-X
• R. B. J. T. Allenby: Cincin, Bidang dan Kelompok. ISBN 0-340-54440-6
• L. Euler: unsur-Unsur dari Aljabar, ISBN 978-1-899618-73-6
• Asimov, Isaac (1961). Realm of Algebra. Houghton Mifflin. 

Pranala luar

• Khan Academy: Konseptual video dan contoh bekerja
• Khan Academy: asal-Usul Aljabar, online gratis micro kuliah
• Algebrarules.com: open source sumber daya untuk belajar dasar-dasar Aljabar
• 4000 Tahun dari Aljabar, kuliah oleh Robin Wilson, di Gresham College, 17 oktober 2007 (tersedia untuk MP3 dan MP4 download, juga sebagai file teks).
• (Inggris) Entri Algebra di Stanford Encyclopedia of Philosophy