Uji turunan

Dalam kalkulus, uji turunan menggunakan turunan fungsi untuk menemukan titik kritis fungsi dan menentukan apakah stiap titik adalah sebuah maksimum lokal, sebuah minimum lokal, atau sebuah titik pelana. Uji turunan juga dapat memberikan informasi mengenai kecekungan fungsi.

Kegunaan turunan tersebut untuk menemukan ekstrem dibuktikan secara matematis oleh teorema Fermat titik stasioner.

Uji turunan pertama

Uji turunan pertama menguji sifat-sifat sebuah monotonik fungsi (dimana fungsi menaik atau menurun), fokus pada sebuah titik tertentu dalam domainnya. Jika fungsi "menukar" dari menaik ke menurun pada titik tertentu, maka fungsi akan mencapai sebuah nilai tertinggi pada titik itu. Dengan cara yang serupa, jika fungsi "menukar" dari menurun ke menaik pada titik tersebut, maka fungsi akan mencapai sebuah nilai terendah pada titik itu. Jika fungsi gagal "menukar: dan tetap menaik atau menurun, maka tidak ada nilai tertinggi atau terendah yang dicapai.

Salah satunya dapat menentukan sebuah kemonotonan fungsi tanpa kalkulus. Namun, kalkulus biasanya berguna karena terdapat syarat cukup yang menjamin sifat-sifat kemonotonan di atas, dan syarat-syarat ini berlaku untuk sebagian besar fungsi yang akan ditemui.

Pernyataan sifat-sifat kemonotonan yang tepat

Dinyatakan dengan tepat, andaikan bahwa $f$ adalah fungsi bernilai real kontinu dari sebuah variabel real, ditentukan oleh beberapa interval terbuka berisi titik $x$ .

Jika terdapat sebuah bilangan positif $r>0$ sehingga $f$ menaik dengan lemah pada $(x-r,x]$ dan menurun dengan lemah ada $[x,x+r)$ , maka $f$ mempunyai sebuah maksimum lokal pada $x$ . Pernyataan ini juga bekerja sebaliknya. Jika $x$ adalah sebuah maksimum lokal, maka $f$ menaik dengan lemah pada $(x-r,x]$ dan menurun dengan lemah ada $[x,x+r)$ .
Jika terdapat sebuah bilangan positif $r>0$ sehingga $f$ menaik dengan sempurna pada $(x-r,x]$ dan menaik dengan tajam pada $[x,x+r)$ , maka $f$ menaik dengan sempurna pada $(x-r,x+r)$ dan tidak mempunyai sebuah maksimum atau minimum lokal pada $x$ .

Pernyataan ini merupakan sebuah konsekuensi langsung dari bagiamana ekstrem lokal didefinisikan. Yakni, jika $x_{0}$ adalah sebuah titik maksimum lokal, maka terdapat $r>0$ sehingga $f(x)\leq f(x_{0})$ untuk $x$ di $(x_{0}-r,x_{0}+r)$ , yang berarti bahwa $f$ harus menaik dari $x_{0}-r$ ke $x_{0}$ dan harus turun dari $x_{0}$ ke $x_{0}+r$ karena $f$ kontinu.

Perhatikan bahwa dalam dua kasus pertama, $f$ tidak diperlukan menaik atau menurun sempurna ke kiri atau ke kanan $x$ , sedangkan dalam dua kasus terakhir, $f$ diperlukan menaik atau menurun sempurna. Alasannya adalah bahwa dalam definisi maksimum dan minimum lokal, pertidaksamaan tersebut tidak dibutuhkan dengan sempurna: misalnya setiap nilai fungsi konstanta dianggap sebuah maksimum lokal dan minimum lokal.

Pernyataan uji turunan pertama yang tepat

Uji turunan pertama tergantung pada :uji menaik–menurun", yang pada akhirnya merupakan sebuah konsekuensi teorema nilai purata. Ini adalah sebuah konsekuensi langsug dari cara turunan didefinisikan dan hubungannya untuk menurunkan dan menaikkan sebuah fungsi secara lokal, digabungkan dengan bagian sebelumnya.

Andaikan $f$ adalah sebuah fungsi bernilai real dari sebuah variabel real didefinisikan oleh beberapa interval yang berisi titik kritis $a$ . Selanutnya andaikan $f$ kontinu pada $a$ dan diturunkan pada beberapa interval terbuka yang berisi $a$ , kecuali munkgin pada $a$ sendiri.

Jika terdapat sebuah bilangan positif $r>0$ , sehingga untuk setiap $x$ di $(a-r,a)$ kita memiliki $f'(x)\geq 0$ , dan untuk setiap $x$ di $(a,a+r)$ kita memiliki $f^{\prime }(x)\leq 0$ , maka $f$ mempunyai sebuah maksimum lokal pada $a$ .
Jika terdapat sebuah bilangan positif $r>0$ , sehingga untuk setiap $x$ di $(a-r,a)\cup (a,a+r)$ kita memiliki $f'(x)>0$ , maka $f$ menaik dengan sempurna pada $a$ dan tidak mempunyai sebuah maksimum lokal atau sebuah minimum lokal disini.
Jika bukan dari salah satu syarat di atas beralku, maka uji tersebut gagal (Syarat seperti itu tidak kosong, terdapat fungsi yang tidak memenuhi dari tiga kondisi pertama, yaitu $\textstyle f(x)=x^{2}\sin \left({\frac {1}{x}}\right)$ ).

Lagi, sesuai dengan ulasan di bagian sifat-sifat kemonotonan, perhatikan bahwa dua kasus pertama, pertidaksamaan tidak diperlukan sempurna, sedangkan dalam dua kasus selanjutnya, pertidaksamaan yang sempurna diperlukan.

Aplikasi

Uji turunan pertama berguna dalam penyelesaian masalah pengoptimuman dalam fisika, ekonomi, dan teknik. Dalam konjungsi dengan teorema nilai ekstrem, ini dapat digunakan untuk mencari maksimum atau minimum mutlak fungsi bernilai real yang didefinisikan pada sbeuah interval terbuka dan terbatas. Dalam konjungsi dengan informasi lainnya seperti kecekungan, titik belok, dan asimtotik, ini dapat digunakan untuk menggambar grafik fungsi.

Uji turunan kedua (variabel tunggal)

Setelah menetapkan titik kritis fungsi, uji turunan kedua menggunakan nilai dari turunan kedua pada titik-titik itu unruk menentukan apakah titiknya adalah sebuah maksimum lokal atau sebuah minimum lokal. Jika fungsi $f$ diturunkan dua kali pada sebuah titik kritis $x$ (yaitu, sebuah titik dimana $f'(x)=0$ ), maka:

Jika $f''(x)<0$ , maka $f$ memiliki sebuah maksimum lokal pada $x$ .
Jika $f''(x)>0$ , maka $f$ mempunyai sebuah minimum lokal pada $x$ .
Jika $f''(x)=0$ , maka uji tersebut tidak meyakinkan.

Dalam kasus terakhir, teorema Taylor dapat digunakan untuk menentukan kelakuan $f$ mendekati $x$ menggunakan turunan tingkat tinggi.

Bukti dari uji turunan kedua

Andaikan kita mempunyai $f''(x)>0$ (bukti untuk $f''(x)<0$ analog). Dengan asumsi, $f'(x)=0$ . Maka

$0<f''(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {f'(x+h)-f'(x)}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {f'(x+h)}{h}}$

Dengan demikian, untuk $h$ yang cukup kecil kita mendapatkan

${\frac {f'(x+h)}{h}}>0$ ,

yang berarti $f'(x+h)<0$ jika $h<0$ (secara intuitif, $f$ menurun karena mendekati $x$ dari kiri), dan bahwa $f'(x+h)>0$ jika $h>0$ (secara intuitif, $f$ menurun karena mendekati $x$ dari kanan). Sekarang, dengan uji turunan pertama, $f$ mempunyai sebuah maksimum lokal pada $x$ .

Uji kecekungan

Sebuah penggunaan turunan kedua yang terkait namun berbeda menentukan apakah fungsi cekung ke atas atau cekung ke bawah pada sebuah titk. Ini tidak, namun, menyediakan informasi mengenai titik belok. Khususnya, sebuah fungsi $f$ yang diturunkan dua kali cekung ke atas jika $f''(x)>0$ dan cekung ke bawah jika $f''(x)<0$ . Perhatikan bahwa jika $f(x)=x^{4}$ , maka $x=0$ memiliki nol turunan kedua, namun bukan sebuah titik belok, jadi turunan kedua sendiri tidak memberikan informasi yang cukup untuk menentukan apakah sebuah titik yang diberikan merupakan sebuah titik belok.

Uji turunan tingkat tinggi

Uji turunan tingkat tinggi atau uji turunan umum dapat menentukan apakah sebuah titik kritis fungsi adalah maksimum, minimum, atau titik belok untuk sebuah fungsi variasi yang lebih luas daripada uji turunan orde-kedua, Seperti yang ditunjukkan di bawah, uji turunan kedua secara matematis identik ke kasus khusus untuk $n=1$ dalam uji turunan tingkt tinggi.

Misalkan $f$ menjadi sebuah bernilai real, fungsi yang dapat diturunkan cukup pada sebuah interval $I\subset \mathbb {R}$ , misalkan $c\in I$ , dan misalkan $n\geq 1$ menjadi sebuah bilangan asli. Juga misalkan semua turunan $f$ pada $c$ menjadi nol dan termasuk turunan ke- $n$ , tetapi dengan turunan ke-( $n+1$ ) menjadi taknol.

$f'(c)=\cdots =f^{(n)}(c)=0$ dan $f^{(n+1)}(c)\neq 0$ .

Terdapat empat kemungkinan, dua kasus pertama dimana $c$ adalah sebuah ekstremum, dua kasus yang kedua dimana $c$ adalah sebuah titik pelana (lokal):

Jika $n$ ganjil dan $f^{(n+1)}(c)<0$ , maka $c$ adalah sebuah maksimum lokal
Jika $n$ ganjil dan $f^{(n+1)}(c)>0$ , maka $c$ adalah sebuah minimum lokal
Jika $n$ genap dan $f^{(n+1)}(c)<0$ , maka $c$ adalah sebuah titik belok yang menurun sempurna.
Jika $n$ genap dan $f^{(n+1)}(c)>0$ , maka $c$ adalah sebuah titik belok yang menaik sempuna.

Karena $n$ harus berupa ganjil atau genap, uji analitik ini mengelompokkan setiap titik stasioner $f$ , selama sebuah turunan taknol muncul pada akhirnya.

Contoh

Katakan, kita akan mengerjakan uji turunan umum pada fungsi $f(x)=x^{6}+5$ pada titik $x=0$ . Untuk melakukan ini, kita menghitung turunan dari fungsi dan kemudian mengevaluasinya pada titik bunga hingga hasilnya taknol.

${\begin{aligned}f'(x)&=6x^{5},\quad f'(0)=0\\f''(x)&=30x^{4},\quad f'(0)=0\\f'''(x)&=120x^{3},\quad f'(0)=0\\f^{(4)}(x)&=360x^{2},\quad f'(0)=0\\f^{(5)}(x)&=720x,\quad f'(0)=0\\f^{(6)}(x)&=720,\quad f'(0)=720\end{aligned}}$

Seperti yang ditunjukkan di atas, pada titik $x=0$ , fungsi $x^{6}+5$ memiliki semua turunannya pada 0 sama dengan 0, kecuali untuk turunan ke-6, yang hasilnya positif. Dengan demikian, $n=5$ , dan oleh uji tersebut, terdapat sebuah minimum lokal pada 0.

Kasus multivariabel

Untuk sebuah fungsi yang lebih dari satu variabel, uji turunan kedua memberi pernyataan umum pada sebuah uji berdasarkan eigennilai dari fungsi matriks Hesse pada titik kritis. Khususnya, asumsi bahwa semua turunan parsial orde-kedua $f$ kontinu pada sebuah lingkungan titik kritis $x$ , maka jika eigennilai dari Hesse pada $x$ adalah positif semua, maka $x$ adalah sebuah minimum lokal. Jika eigennilai dari Hesse pada $x$ adalah negatif semua, maka $x$ adalah sebuah maksimum lokal, dan jika beberapanya positif dan beberapanya negtif, maka titik tersebut adalah sebuah titik pelana. Jika matriks Hesse singular, maka uji turunan kedua tidak meyakinkan.