Aljabar Lie

"Braket Lie" beralih ke halaman ini. Untuk operasi pada bidang vektor, lihat Braket Lie bidang vektor.

Dalam matematika, aljabar Lie (pengucapan /liː/ "Lee") adalah ruang vektor ${\mathfrak {g}}$ bersama dengan operasi yang disebut braket Lie, sebuah peta bilinear bergantian ${\mathfrak {g}}\times {\mathfrak {g}}\rightarrow {\mathfrak {g}},\ (x,y)\mapsto [x,y]$ adalah bagian dari identitas Jacobi. Ruang vektor ${\mathfrak {g}}$ bersama dengan operasi ini adalah aljabar non-asosiatif, yang berarti bahwa kurung Lie belum tentu asosiatif.

Aljabar Lie berkaitan erat dengan grup Lie, yaitu grup yang juga lipatan halus: setiap grup Lie memunculkan aljabar Lie, yang merupakan ruang singgung identitasnya. Sebaliknya, untuk aljabar Lie berdimensi-hingga di atas bilangan riil atau kompleks, ada yang sesuai terhubung dengan grup Lie hingga penutup (Teorema ketiga Lie). Korespondensi ini memungkinkan seseorang untuk mempelajari struktur dan klasifikasi grup Lie dalam kaitannya dengan aljabar Lie.

Dalam fisika, grup Lie muncul sebagai grup simetri dari sistem fisik, dan aljabar Lie mereka (vektor tangen dekat identitas) dapat dianggap sebagai gerakan simetri yang sangat kecil. Jadi aljabar Lie dan representasi mereka digunakan secara luas dalam fisika, terutama dalam mekanika kuantum dan fisika partikel.

Contoh dasar adalah ruang vektor tiga dimensi ${\mathfrak {g}}=\mathbb {R} ^{3}$ dengan operasi braket yang ditentukan oleh produk silang $[x,y]=x\times y.$ Simetris-miring dari $x\times y=-y\times x$, dan asosiatif, maka identitas Jacobi:

$x\times (y\times z)\ =\ (x\times y)\times z\ +\ y\times (x\times z).$

Ini adalah aljabar Lie dari grup Lie rotasi ruang, dan setiap vektor $v\in \mathbb {R} ^{3}$ dapat digambarkan sebagai rotasi yang sangat kecil di sekitar sumbu v , dengan kecepatan yang sama dengan besarnya v . Braket Lie adalah ukuran non-komutatif antara dua rotasi: karena rotasi berjalan dengan sendirinya, kita memiliki sifat $[x,x]=x\times x=0$.

Sejarah

Aljabar Lie diperkenalkan untuk mempelajari konsep transformasi infinitesimal oleh Marius Sophus Lie pada tahun 1870-an, dan ditemukan secara independen oleh Wilhelm Killing di tahun 1880-an. Nama aljabar Lie diberikan oleh Hermann Weyl pada tahun 1930-an; dalam teks yang lebih tua, istilah grup infinitesimal digunakan.

Definisi

Definisi aljabar Lie

Aljabar Lie adalah ruang vektor $\,{\mathfrak {g}}$ di beberapa bidang F dengan operasi biner $[\,\cdot \,,\cdot \,]:{\mathfrak {g}}\times {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}$ disebut braket Lie memenuhi aksioma berikut:

• Bilinearitas,

$[ax+by,z]=a[x,z]+b[y,z],$

$[z,ax+by]=a[z,x]+b[z,y]$

untuk skalar a , b in F dan elemen x , y , z dalam ${\mathfrak {g}}$.

• Alternatif,

$[x,x]=0\$

untuk x dalam ${\mathfrak {g}}$.

• Identitas Jacobi,

$[x,[y,z]]+[z,[x,y]]+[y,[z,x]]=0\$

untuk x , y , z dalam ${\mathfrak {g}}$.

Menggunakan bilinearitas untuk memperluas kurung Lie $[x+y,x+y]$ dan menggunakan alternativitas menunjukkan bahwa $[x,y]+[y,x]=0\$ untuk elemen x , y dalam ${\mathfrak {g}}$, menunjukkan bahwa bilinearitas dan alternativitas menyiratkan

• Antikomutatif,

$[x,y]=-[y,x],\$

untuk semua elemen x , y dalam ${\mathfrak {g}}$. Jika karakteristik bidang bukan 2 maka antikomutatifitas menyiratkan alternatif.

Merupakan kebiasaan untuk menunjukkan aljabar Lie dengan huruf fraktur huruf kecil seperti ${\mathfrak {g,h,b,n}}$. Jika aljabar Lie dikaitkan dengan grup Lie, maka aljabar tersebut dilambangkan dengan versi fraktur grup: misalnya aljabar Lie SU(n) adalah ${\mathfrak {su}}(n)$.

Generator dan dimensi

Elemen aljabar Lie ${\mathfrak {g}}$ dikatakan menghasilkan jika subaljabar terkecil yang berisi elemen-elemen ini adalah ${\mathfrak {g}}$. Dimensi dari aljabar Lie adalah dimensinya sebagai ruang vektor di atas F . Kardinalitas himpunan pembangkit minimal dari aljabar Lie selalu kurang dari atau sama dengan dimensinya.

Lihat klasifikasi aljabar Lie berdimensi rendah untuk contoh kecil lainnya.

Subaljabar, ideal dan homomorfisme

Braket Lie tidak harus asosiatif, artinya $[[x,y],z]$ tidak harus menggunakan $[x,[y,z]]$. Namun, ini fleksibel. Meskipun demikian, banyak terminologi asosiatif gelanggang dan aljabar biasanya diterapkan pada aljabar Lie. Lie subaljabar adalah subruang ${\mathfrak {h}}\subseteq {\mathfrak {g}}$ yang ditutup di bawah braket Lie. Sebuah ideal ${\mathfrak {i}}\subseteq {\mathfrak {g}}$ adalah subaljabar yang memenuhi kondisi yang lebih kuat:

$[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {i}}]\subseteq {\mathfrak {i}}.$

Aljabar Lie homomorfisme adalah peta linear kompatibel dengan tanda kurung Lie masing-masing:

$\phi :{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g'}},\quad \phi ([x,y])=[\phi (x),\phi (y)]\ {\text{for all}}\ x,y\in {\mathfrak {g}}.$

Adapun cincin asosiatif, cita-cita tepatnya adalah kernel homomorfisme; menggunakan aljabar Lie ${\mathfrak {g}}$ dan ideal ${\mathfrak {i}}$ di dalamnya, seseorang membangun aljabar faktor atau aljabar hasil bagi ${\mathfrak {g}}/{\mathfrak {i}}$, dan teorema isomorfisme pertama berlaku untuk Lie aljabar.

Karena barket Lie adalah sejenis komutator yang sangat kecil dari grup Lie yang sesuai, kita katakan bahwa dua elemen $x,y\in {\mathfrak {g}}$ merubah jika braket : $[x,y]=0$.

Subaljabar pemusat dari himpunan bagian $S\subset {\mathfrak {g}}$ adalah himpunan elemen yang bepergian dengan S : yaitu, ${\mathfrak {z}}_{\mathfrak {g}}(S)=\{x\in {\mathfrak {g}}\ \mid \ [x,s]=0\ {\text{ untuk }}s\in S\}$. Pemusat dari ${\mathfrak {g}}$ adalah pusat ${\mathfrak {z}}({\mathfrak {g}})$. Demikian pula, untuk subruang S , subaljabar penormal dari S adalah ${\mathfrak {n}}_{\mathfrak {g}}(S)=\{x\in {\mathfrak {g}}\ \mid \ [x,s]\in S\ {\text{ untuk}}\ s\in S\}$. Sama halnya, jika S adalah subaljabar Lie, ${\mathfrak {n}}_{\mathfrak {g}}(S)$ adalah subaljabar terbesar sehingga $S$ adalah ideal dari ${\mathfrak {n}}_{\mathfrak {g}}(S)$.

Contoh

Untuk ${\mathfrak {d}}(2)\subset {\mathfrak {gl}}(2)$, komutator dari dua elemen

${\begin{aligned}\left[{\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}x&0\\0&y\end{bmatrix}}\right]&={\begin{bmatrix}ax&by\\cx&dy\\\end{bmatrix}}-{\begin{bmatrix}ax&bx\\cy&dy\\\end{bmatrix}}\\&={\begin{bmatrix}0&b(y-x)\\c(x-y)&0\end{bmatrix}}\end{aligned}}$

maka ${\mathfrak {d}}(2)$ adalah subaljabar, tapi bukan ideal. Faktanya, karena setiap ruang sub-vektor satu dimensi dari aljabar Lie memiliki struktur aljabar Lie abelian terinduksi, yang umumnya tidak ideal. Untuk aljabar Lie sederhana, semua aljabar Lie abelian tidak pernah bisa menjadi ideal.

Jumlah langsung dan produk setengah langsung

Untuk dua Aljabar Lie ${\mathfrak {g^{}}}$ dan ${\mathfrak {g'}}$, jumlah langsung Aljabar Lie adalah ruang vektor ${\mathfrak {g}}\oplus {\mathfrak {g'}}$terdiri dari semua pasangan ${\mathfrak {}}(x,x'),\,x\in {\mathfrak {g}},\ x'\in {\mathfrak {g'}}$, dengan operasi tersebut

$[(x,x'),(y,y')]=([x,y],[x',y']),$

sehingga salinan ${\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}'$: $[(x,0),(0,x')]=0.$ Maka ${\mathfrak {g}}$ menjadi aljabar Lie dan ${\mathfrak {i}}$ ideal dari ${\mathfrak {g}}$. Jika peta kanonik ${\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}/{\mathfrak {i}}$ (yaitu, menerima bagian), maka ${\mathfrak {g}}$ dikatakan sebagai produk setengah langsung dari ${\mathfrak {i}}$ dan ${\mathfrak {g}}/{\mathfrak {i}}$, ${\mathfrak {g}}={\mathfrak {g}}/{\mathfrak {i}}\ltimes {\mathfrak {i}}$. Lihat pula jumlah setengah langsung dari aljabar Lie.

Teorema Levi mengatakan bahwa aljabar Lie berdimensi-hingga adalah perkalian setengah langsung dari akar dan subaljabar komplementernya (Levi subaljabar).

Turunan

Turunan pada aljabar Lie ${\mathfrak {g}}$ (atau pada aljabar non-asosiatif) adalah peta linear $\delta \colon {\mathfrak {g}}\rightarrow {\mathfrak {g}}$ yang mematuhi hukum Leibniz, yaitu,

$\delta ([x,y])=[\delta (x),y]+[x,\delta (y)]$

untuk $x,y\in {\mathfrak {g}}$. Turunan batin yang terkait dengan $x\in {\mathfrak {g}}$ adalah pemetaan adjoin $\mathrm {ad} _{x}$ didefinisikan oleh $\mathrm {ad} _{x}(y):=[x,y]$. (Ini adalah derivasi sebagai konsekuensi dari identitas Jacobi.) Turunan luar adalah derivasi yang tidak berasal dari representasi adjoin aljabar Lie. Jika ${\mathfrak {g}}$ adalah setengah sederhana, setiap turunan adalah dalam.

Turunan membentuk ruang vektor $\mathrm {Der} ({\mathfrak {g}})$, yang merupakan subaljabar Lie dari ${\mathfrak {gl}}({\mathfrak {g}})$; braketnya adalah komutator. Turunan dalam membentuk subaljabar Lie dari $\mathrm {Der} ({\mathfrak {g}})$.

Contoh

Misalnya, aljabar Lie ideal ${\mathfrak {i}}\subset {\mathfrak {g}}$ representasi adjoin ${\mathfrak {ad}}_{\mathfrak {g}}$ dari ${\mathfrak {g}}$ bertindak sebagai turunan luar pada ${\mathfrak {i}}$ karena $[x,i]\subset {\mathfrak {i}}$ untuk $x\in {\mathfrak {g}}$ dan $i\in {\mathfrak {i}}$. Untuk aljabar Lie ${\mathfrak {b}}_{n}$ dari matriks segitiga atas dalam ${\mathfrak {gl}}(n)$, dari ideal ${\mathfrak {n}}_{n}$ dari matriks segitiga atas (di mana satu-satunya elemen bukan nol berada di atas diagonal matriks). Misalnya, komutator elemen dalam ${\mathfrak {b}}_{3}$ dan ${\mathfrak {n}}_{3}$ gives

${\begin{aligned}\left[{\begin{bmatrix}a&b&c\\0&d&e\\0&0&f\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}0&x&y\\0&0&z\\0&0&0\end{bmatrix}}\right]&={\begin{bmatrix}0&ax&ay+bz\\0&0&dz\\0&0&0\end{bmatrix}}-{\begin{bmatrix}0&dx&ex+yf\\0&0&fz\\0&0&0\end{bmatrix}}\\&={\begin{bmatrix}0&(a-d)x&(a-f)y-ex+bz\\0&0&(d-f)z\\0&0&0\end{bmatrix}}\end{aligned}}$

menunjukkan turunan luar dari ${\mathfrak {b}}_{3}$ dalam ${\text{Der}}({\mathfrak {n}}_{3})$.

Contoh

Ruang vektor

Setiap ruang vektor $V$ yang diberi tanda kurung siku nol yang identik menjadi aljabar Lie. Aljabar Lie satu dimensi di atas bidang adalah abelian, dengan sifat dari kurung Lie.

Aljabar asosiatif dengan tanda kurung komutator

• Pada aljabar asosiatif $A$ di atas bidang $F$ dengan perkalian $(x,y)\mapsto xy$, braket Lie dapat ditentukan oleh komutator $[x,y]=xy-yx$. Dengan tanda kurung ini, $A$ adalah aljabar Lie. Aljabar asosiatif A disebut aljabar pembungkus dari aljabar Lie $(A,[\,\cdot \,,\cdot \,])$. Setiap aljabar Lie dapat dimasukkan ke dalam aljabar yang muncul dari aljabar asosiatif dengan cara ini; lihat aljabar pembungkus universal.
• Aljabar asosiatif endomorfisma dari ruang- F vektor $V$ dengan braket Lie di atas dilambangkan ${\mathfrak {gl}}(V)$.
• Untuk ruang vektor berdimensi hingga $V=F^{n}$, contoh sebelumnya menjadi aljabar Lie dari matriks n × n , dinotasikan ${\mathfrak {gl}}(n,F)$ atau ${\mathfrak {gl}}_{n}(F)$, dengan braket $[X,Y]=X\cdot Y-Y\cdot X$, dimana $\cdot$ menunjukkan perkalian matriks. Ini adalah aljabar Lie dari kelompok linier umum, yang terdiri dari matriks-matriks yang dapat dibalik.

Matriks khusus

Dua subaljabar penting dari ${\mathfrak {gl}}_{n}(F)$ adalah:

• Matriks jejak nol membentuk aljabar Lie linier khusus ${\mathfrak {sl}}_{n}(F)$, aljabar Lie dari grup linear khusus $\mathrm {SL} _{n}(F)$.
• Matriks skew-hermitian membentuk aljabar Lie kesatuan ${\mathfrak {u}}(n)$, aljabar Lie dari satuan grup U(n).

Aljabar matriks Lie

Kompleks grup matriks adalah grup Lie yang terdiri dari matriks, $G\subset M_{n}(\mathbb {C} )$, dimana perkalian G adalah perkalian matriks. Aljabar Lie ${\mathfrak {g}}$ adalah ruang matriks yang merupakan vektor bersinggungan dengan G di dalam ruang linear $M_{n}(\mathbb {C} )$: ini terdiri dari turunan kurva halus di G di identitas:

${\mathfrak {g}}=\{X=c'(0)\in M_{n}(\mathbb {C} )\ \mid \ {\text{ smooth }}c:\mathbb {R} \to G,\ c(0)=I\}.$

Braket Lie dari ${\mathfrak {g}}$ adalah komutator matriks, $[X,Y]=XY-YX$. Dengan adanya aljabar Lie, seseorang dapat memulihkan grup Lie sebagai citra pemetaan matriks eksponensial $\exp :M_{n}(\mathbb {C} )\to M_{n}(\mathbb {C} )$ didefinisikan oleh $\exp(X)=I+X+{\tfrac {1}{2!}}X^{2}+\cdots$, yang menyatu untuk setiap matriks $X$: yaitu, $G=\exp({\mathfrak {g}})$.

Relasi grup Lie

Artikel utama: Grup Lie–Aljabar Lie korespondensi

ruang tangen dari bola pada satu titik $x$. Jika $x$ adalah elemen identitas, maka ruang tangen juga merupakan Aljabar Lie

Meskipun aljabar Lie sering dipelajari dengan hak mereka sendiri, secara historis mereka muncul sebagai sarana untuk mempelajari grup Lie.

Kami sekarang menguraikan secara singkat relasi antara grup Lie dan aljabar Lie. Setiap grup Lie memunculkan aljabar Lie yang ditentukan secara kanonik (secara konkret, ruang tangen pada identitas ). Sebaliknya, untuk aljabar Lie berdimensi-hingga ${\mathfrak {g}}$, terdapat grup Lie yang terhubung $G$ dengan aljabar Lie ${\mathfrak {g}}$. Ini adalah teorema ketiga Lie; lihat rumus Baker–Campbell–Hausdorff. Kelompok Lie ini tidak ditentukan secara unik; namun, dua grup Lie dengan aljabar Lie yang sama adalah isomorfik lokal , dan khususnya, memiliki sampul universal yang sama. For instance, grup ortogonal khusus SO(3) dan grup kesatuan khusus SU(2) memunculkan aljabar Lie yang sama, yang isomorfik menjadi $\mathbb {R} ^{3}$ dengan produk silang, tetapi SU(2) adalah penutup ganda SO(3) yang terhubung sederhana.

Bentuk dan kerumitan nyata

Diberikan aljabar Lie kompleks ${\mathfrak {g}}$, aljabar Lie riil ${\mathfrak {g}}_{0}$ dikatakan sebagai bentuk riil dari ${\mathfrak {g}}$ jika kompleksifikasi ${\mathfrak {g}}_{0}\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} \simeq {\mathfrak {g}}$ isomorfik untuk ${\mathfrak {g}}$. Bentuk rill tidak harus unik; sebagai contoh, ${\mathfrak {sl}}_{2}\mathbb {C}$ memiliki dua bentuk riil ${\mathfrak {sl}}_{2}\mathbb {R}$ dan ${\mathfrak {su}}_{2}$.

Diberikan aljabar Lie kompleks berdimensi-hingga setengah sederhana ${\mathfrak {g}}$, bentuk terpisah darinya adalah bentuk nyata yang terbagi; yaitu, ia memiliki subaljabar Cartan yang bekerja melalui representasi adjoint dengan nilai eigen nyata. Ada bentuk perpecahan dan unik (hingga isomorfisme). A bentuk kompak adalah bentuk nyata yang merupakan aljabar Lie dari grup Lie kompak. Ada bentuk yang kompak dan juga unik.

Lie aljabar dengan struktur tambahan

Aljabar Lie dapat dilengkapi dengan beberapa struktur tambahan yang dianggap kompatibel dengan braket. Misalnya, aljabar Lie bertingkat adalah aljabar Lie dengan struktur ruang vektor bertingkat. Jika ia juga dilengkapi dengan diferensial (sehingga ruang vektor bergradasi yang mendasari adalah kaidah kompleks), maka ia disebut aljabar Lie bergradasi diferensial.

Sebuah aljabar Lie sederhana adalah benda sederhana dalam kategori aljabar Lie; dengan kata lain, itu diperoleh dengan mengganti himpunan yang mendasari dengan himpunan sederhana (jadi mungkin lebih baik dianggap sebagai keluarga Lie aljabar).

Gelanggang Lie

Gelanggang Lie muncul sebagai generalisasi dari aljabar Lie, atau melalui studi deret tengah bawah grup. Gelanggang Lie didefinisikan sebagai gelanggang non-asosiatif dengan perkalian yaitu antikomutatif dan memenuhi identitas Jacobi. Lebih spesifiknya kita bisa mendefinisikan gelanggang Lie $L$ menjadi grup abelian dengan operasi $[\cdot ,\cdot ]$ yang memiliki properti berikut:

• Bilinearitas:

$[x+y,z]=[x,z]+[y,z],\quad [z,x+y]=[z,x]+[z,y]$

untuk x, y, z ∈ L.

• Identitas Jacobi :

$[x,[y,z]]+[y,[z,x]]+[z,[x,y]]=0\quad$

untuk x, y, z dalam L.

• Untuk x dalam L:

$[x,x]=0\quad$

Gelanggang Lie tidak perlu grup Lie sebagai tambahan. Semua aljabar Lie adalah contoh gelanggang Lie. Semua gelanggang asosiatif dapat dibuat menjadi gelanggang Lie dengan menentukan operator braket $[x,y]=xy-yx$. Sebaliknya, pada aljabar Lie mana pun, ada cincin yang sesuai, yang disebut aljabar pembungkus universal.

Lihat pula

• Representasi adjoin dari aljabar Lie
• Aljabar Lie Anyonic
• Aljabar Lie Chiral
• Aljabar Lie bebad
• Indeks aljabar Lie
• Aljabar Lie kohomologi aljabar
• Ekstensi aljabar Lie
• Representasi aljabar Lie
• Bialjabar Lie
• Koaljabar Lie
• Operator Lie
• Fisika partikel dan teori representasi

• Superaljabar Lie
• Aljabar Poisson
• Aljabar pra-Lie
• Grup kuantum
• Braket Aljabar
• Aljabar Lie semu-Frobenius
• Aljabar semu-Lie
• Aljabar Lie Terbatas
• Relasi Serre
• Simetri Aljabar Lie
• Kohomologi Gelfand–Fuks

Sumber

• Beltiţă, Daniel (2006). Smooth Homogeneous Structures in Operator Theory. CRC Monographs and Surveys in Pure and Applied Mathematics. 137. CRC Press. ISBN 978-1-4200-3480-6. MR 2188389. 
• Boza, Luis; Fedriani, Eugenio M.; Núñez, Juan (2001-06-01). "A new method for classifying complex filiform Lie algebras". Applied Mathematics and Computation. 121 (2–3): 169–175. doi:10.1016/s0096-3003(99)00270-2. ISSN 0096-3003. 
• Bourbaki, Nicolas (1989). Lie Groups and Lie Algebras: Chapters 1-3. Springer. ISBN 978-3-540-64242-8. 
• Erdmann, Karin & Wildon, Mark. Introduction to Lie Algebras, 1st edition, Springer, 2006. ISBN 1-84628-040-0
• Templat:Fulton-Harris
• Hall, Brian C. (2015). Lie groups, Lie algebras, and Representations: An Elementary Introduction. Graduate Texts in Mathematics. 222 (edisi ke-2nd). Springer. doi:10.1007/978-3-319-13467-3. ISBN 978-3319134666. ISSN 0072-5285. 
• Hofmann, Karl H.; Morris, Sidney A (2007). The Lie Theory of Connected Pro-Lie Groups. European Mathematical Society. ISBN 978-3-03719-032-6. 
• Humphreys, James E. (1978). Introduction to Lie Algebras and Representation Theory. Graduate Texts in Mathematics. 9 (edisi ke-2nd). Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-90053-7. 
• Jacobson, Nathan (1979) [1962]. Lie algebras. Dover. ISBN 978-0-486-63832-4. 
• Kac, Victor G.; et al. Course notes for MIT 18.745: Introduction to Lie Algebras. Diarsipkan dari versi asli tanggal 2010-04-20. 
• Mubarakzyanov, G.M. (1963). "On solvable Lie algebras". Izv. Vys. Ucheb. Zaved. Matematika (dalam bahasa Rusia). 1 (32): 114–123. MR 0153714. Zbl 0166.04104. 
• O'Connor, J.J; Robertson, E.F. (2000). "Biography of Sophus Lie". MacTutor History of Mathematics Archive. 
• O'Connor, J.J; Robertson, E.F. (2005). "Biography of Wilhelm Killing". MacTutor History of Mathematics Archive. 
• Popovych, R.O.; Boyko, V.M.; Nesterenko, M.O.; Lutfullin, M.W.; et al. (2003). "Realizations of real low-dimensional Lie algebras". J. Phys. A: Math. Gen. 36 (26): 7337–60. arXiv:math-ph/0301029 . Bibcode:2003JPhA...36.7337P. doi:10.1088/0305-4470/36/26/309. 
• Serre, Jean-Pierre (2006). Lie Algebras and Lie Groups (edisi ke-2nd). Springer. ISBN 978-3-540-55008-2. 
• Steeb, Willi-Hans (2007). Continuous Symmetries, Lie Algebras, Differential Equations and Computer Algebra (edisi ke-2nd). World Scientific. doi:10.1142/6515. ISBN 978-981-270-809-0. MR 2382250. 
• Varadarajan, Veeravalli S. (2004). Lie Groups, Lie Algebras, and Their Representations (edisi ke-1st). Springer. ISBN 978-0-387-90969-1. 

Pranala luar

• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001) [1994], "Lie algebra", Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4 
• McKenzie, Douglas (2015). "An Elementary Introduction to Lie Algebras for Physicists".