Grup (matematika)

Dalam matematika, grup adalah suatu himpunan, beserta satu operasi biner, seperti perkalian atau penjumlahan, yang memenuhi beberapa aksioma yang disebut aksioma grup. Misalnya, himpunan bilangan bulat adalah suatu grup terhadap operasi penjumlahan. Cabang matematika yang mempelajari grup disebut teori grup.

Banyak sekali objek yang dipelajari dalam matematika berupa grup. Hal ini mencakup sistem bilangan, seperti bilangan bulat, bilangan rasional, bilangan real, dan bilangan kompleks terhadap penjumlahan, atau bilangan rasional, bilangan real, dan bilangan kompleks yang tak-nol, masing-masing terhadap perkalian. Contoh penting lainnya misalnya matriks non-singular terhadap perkalian, dan secara umum, fungsi terinverskan terhadap komposisi fungsi. Teori grup memungkinkan sifat-sifat sistem-sistem ini dan berbagai sistem lain untuk dipelajari dalam lingkup yang umum, dan hasilnya dapat diterapkan secara luas. Teori grup juga merupakan sumber kaya berbagai teorema yang berlaku dalam lingkup grup.

Asal usul teori grup berawal dari kerja Evariste Galois (1830), yang berkaitan dengan masalah persamaan aljabar yang terpecahkan dengan radikal. Sebelum kerja Galois, grup lebih banyak dipelajari secara konkret, dalam bentuk permutasi; beberapa aspek teori grup abelian dikenal dalam teori bentuk-bentuk kuadrat.

Sejarah

Lihat teori grup.

Definisi

Suatu grup adalah suatu himpunan $G$ beserta satu operasi biner $*$ yang memenuhi aksioma-aksioma grup berikut:

• Ketertutupan (closure): untuk setiap $a,b\in G$, berlaku $a*b\in G$.
• Sifat asosiatif: untuk setiap $a,b,c\in G$, berlaku $(a*b)*c=a*(b*c)$.
• Unsur identitas: terdapat suatu $i\in G$ sehingga untuk setiap $a\in G$ berlaku $a*i=i*a=a$ (dapat dibuktikan bahwa dalam grup manapun hanya terdapat satu unsur identitas).
• Unsur invers: untuk setiap $a\in G$, terdapat suatu $b\in G$ sehingga $a*b=b*a=i$, di mana $i$ adalah unsur identitas (dapat dibuktikan bahwa setiap unsur $G$ memiliki tepat satu unsur invers).

Notasi grup

Suatu grup yang terdiri atas himpunan $G$ dan operasi $*$ dapat ditulis $(G,*)$.

Biasanya operasi dalam grup, apa pun sebetulnya operasi tersebut, dipikirkan sebagai analog dari perkalian, dan operasi grup ditulis seperti perkalian (notasi perkalian):

• Kita menulis $a\cdot b$, atau bahkan $ab$, untuk $a*b$.
• Kita menulis $1$ untuk unsur identitas dan menyebutnya unsur satuan.
• Kita menulis $a^{-1}$ untuk invers $a$ dan menyebutnya kebalikan dari $a$.

Tetapi, kadang-kadang operasi grup dipikirkan sebagai analog dari penjumlahan dan ditulis seperti penjumlahan (notasi penjumlahan):

• Kita menulis $a+b$ untuk $a*b$ dan menyebutnya jumlah $a$ dan $b$.
• Kita menulis $0$ untuk unsur identitas dan menyebutnya unsur nol.
• Kita menulis $-a$ untuk invers $a$ dan menyebutnya lawan dari $a$.

Biasanya, hanya grup abelian (grup yang operasinya komutatif untuk setiap dua unsur himpunan grup tersebut) yang ditulis dalam bentuk penjumlahan walaupun grup tersebut dapat juga ditulis dalam bentuk perkalian. Ketika bersifat noncommittal, kita dapat menggunakan notasi (dengan $*$) dan istilah yang dikemukakan dalam definisi menggunakan notasi $a^{-1}$ sebagai invers dari $a$.

Bila $S$ adalah sub himpunan dari $G$ dan $x$ unsur dari $G$ maka dalam notasi perkalian $xS$ merupakan himpunan dari semua hasil perkalian $xs$ untuk $s$ dalam $S$ (dengan kata lain, $xS=\{xs|s\in S\}$). Hal yang sama juga dapat dilihat pada notasi $Sx=\{sx|s\in S\}$, dan untuk dua sub himpunan $S$ dan $T$ dari $G$ kita dapat menulis $ST$ untuk $\{st|s\in S,t\in T\}$. Dalam notasi penjumlahan, kita menuliskan $x+S,S+x,$ dan $S+T$ untuk masing-masing pasangan.

Beberapa contoh grup dan contoh bukan grup

Sebuah grup abelian: bilangan bulat terhadap penjumlahan

Contoh grup yang pernah diperkenalkan saat di sekolah dasar salah satunya adalah bilangan bulat terhadap penjumlahan. Misalkan $\mathbb {Z}$ merupakan himpunan bilangan bulat, $\{...,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,...\}$ dan simbol $+$ sebagai operasi penjumlahan. Dengan demikian, $(\mathbb {Z} ,+)$ merupakan suatu grup.

Bukti:

• Bila $a$ dan $b$ merupakan bilangan bulat maka $a+b$ juga merupakan bilangan bulat (ketertutupan).
• Bila $a$, $b$, dan $c$ adalah bilangan bulat maka $(a+b)+c=a+(b+c)$ (sifat asosiatif).
• $0$ adalah bilangan bulat dan untuk setiap bilangan bulat $a$, $0+a=a+0=a$ (elemen identitas).
• Bila $a$ sebuah bilangan bulat maka terdapat bilangan bulat $b=-a$ sedemikian sehingga $a+b=b+a=0$ (elemen invers).

Grup ini juga merupakan abelian, karena $a+b=b+a$ (sifat komutatif).

Bilangan bulat terhadap penjumlahan dan perkalian membentuk struktur aljabar gelanggang yang lebih kompleks. Sebenarnya, elemen dari gelanggang apa saja membentuk sebuah grup abelian terhadap penjumlahan yang disebut “grup penjumlahan” dari gelanggang.

Bukan grup: bilangan bulat terhadap perkalian

Bilangan bulat terhadap perkalian yang dilambangkan dengan $\times$. Maka $(\mathbb {Z} ,\times )$ bukan sebuah grup. Alasannya:

• Bila $a$ dan $b$ bilangan bulat maka $a\times b$ merupakan bilangan bulat (ketertutupan).
• Bila $a$, $b$, dan $c$ bilangan bulat maka $(a\times b)\times c=a\times (b\times c)$ (sifat asosiatif).
• $1$ adalah bilangan bulat dan untuk setiap bilangan bulat $a$, $1\times a=a\times 1=a$ (elemen identitas).
• Tetapi, bila $a$ sebaramg bilangan bulat bukan $0$ maka tidak ada bilangan bulat bukan $0$ yang memenuhi $ab=ba=1$. Sebagai contoh, misalkan $a=2$ maka berapapun $b$ (bilangan bulat bukan $0$) maka $|ab|=|2b|>1$ (Syarat elemen invers tidak dipenuhi).

Karena tidak semua elemen dari $(\mathbb {Z} ,\times )$ mempunyai invers maka $(\mathbb {Z} ,\times )$ bukan merupakan grup. Kita dapat menyebut $(\mathbb {Z} ,\times )$ sebuah monoid komutatif.

Sebuah grup abelian: bilangan rasional bukan 0 terhadap perkalian

Misalkan $\mathbb {Q}$ sebagai himpunan bilangan rasional, yaitu bilangan yang dapat dinyatakan dengan ${\frac {a}{b}}$ dengan $a$ dan $b$ merupakan bilangan bulat dan $b$ bukan nol. Misalkan pula operasi perkalian dinyatakan dengan simbol $\times$ Karena bilangan rasional 0 tidak memiliki invers untuk perkalian maka $(\mathbb {Q} ,\times )$, sebagaimana juga $(\mathbb {Z} ,\times )$ bukan sebuah grup.

Akan tetapi, kalau kita menggunakan himpunan $\mathbb {Q} \ \backslash \ \{0\}$, yang mencakup setiap bilangan rasional kecuali nol maka $(\mathbb {Q} \ \backslash \ \{0\},\times )$ merupakan grup abelian. Invers ${\frac {a}{b}}$ adalah ${\frac {b}{a}}$ dan aksioma grup lainnya mudah diperiksa kebenarannya. Kita tidak kehilangan ketertutupan dengan menghilangkan nol karena hasil kali dua bilangan rasional tidak nol tidak akan pernah nol.

Sama seperti bilangan bulat yang membentuk gelanggang, demikian juga bilangan rasional yang membentuk struktur aljabar dari medan. Sebenarnya, elemen bukan nol dari medan apapun akan membentuk grup terhadap perkalian yang disebut “grup perkalian” dari medan.

Grup bukan abelian tertentu: permutasi dari himpunan

Misalkan tiga buah blok berwarna (merah, hijau, dan biru) yang mula-mula diletakkan dengan susunan MHB. Misalkan a merupakan aksi “menukarkan blok pertama dan blok kedua” dan b merupakan aksi “menukarkan blok kedua dan ketiga”.

Dalam bentuk perkalian, kita menuliskan xy untuk melambangkan aksi “pertama-tama lakukan y kemudian lakukan x” sehingga ab adalah aksi MHB → MBH → BMH yaitu “ambil blok terakhir dan pindahkan ke depan”. Bila kita menuliskan e untuk aksi “biarkan blok sebagaimana adanya” (aksi identitas) maka kita dapat menulis enam permutasi dari himpunan tiga blok sebagai berikut:

• e: MHB → MHB
• a: MHB → HMB
• b: MHB → MBH
• ab: MHB → BMH
• ba: MHB → HBM
• aba: MHB → BHM

Perhatikan bahwa aksi aa akan menyebabkan MHB → HMB → MHB atau aksi tersebut sama saja dengan aksi “biarkan blok sebagaimana adanya”. Dengan demikian, kita dapat menuliskan aa = e. Demikian pula,

• bb = e
• (aba)(aba) = e, dan
• (ab)(ba) = (ba)(ab) = e.

Jadi, tiap aksi di atas mempunyai sebuah invers.

Dengan menyelidiki, kita juga dapat menentukan sifat asosiatif dan ketertutupan. Sebagai contoh perhatikan,

• (ab)a = a(ba) = aba, dan
• (ba)b = b(ab) = aba.

Grup ini disebut grup simetri pada tiga huruf, atau S₃. Grup tersebut mempunyai orde 6 (atau 3!), dan bukan merupakan grup abelian (karena sebagai contoh ab ≠ ba). Karena S₃ dibangun dari aksi dasar a dan b maka kita dapat mengatakan bahwa himpunan {a,b} membangun S₃.

Setiap grup dapat diungkapkan dalam grup permutasi seperti S₃. Hasilnya merupakan Teorema Cayley dan dipelajari sebgai bagian dari subyek aksi grup.

Contoh lanjutan

Untuk beberapa contoh lanjutan dari grup untuk berbagai aplikasi lihat contoh-contoh grup dan daftar grup kecil.

Teorema sederhana

• Sebuah grup mempunyai hanya satu elemen identitas.
• Setiap elemen mempunyai hanya satu invers.
• Kita dapat membagi grup yaitu elemen grup a dan b dari grup $G$, hanya ada satu solusi x dalam $G$ terhadap persamaan x * a = b dan hanya satu solusi y dalam $G$ untuk persamaan a * y = b.
• Ungkapan a₁ * a₂ * ... * a_n tidak ambigu karena hasilnya akan sama dimana saja kita menempatkan tanda kurung.
• Invers perkalian adalah hasil kali invers dalam susunan terbalik: (a * b)⁻¹ = b⁻¹ * a⁻¹.

Faktor ini dan faktor dasar lainnya juga berlaku untuk semua grup tertentu yang membentuk bidang dari teori grup elementer.

Membuat grup baru dari suatu grup tertentu

1. Bila sebuah sub himpunan $H$ dari grup $(G,*)$,
2. Hasil kali dari dua grup $(G,*)$ dan $(H,/times)$ merupakan himpunan $G$x$H$ bersama dengan operasi (g₁, h₁)(g₂, h₂) = (g₁ * g₂, h₁ × h₂).
3. “Penjumlahan eksternal secara langsung” dari anggota grup merupakan sub grup perkalian yang diwakilkan oleh elemen-elemen yang mempunyai sejumlah bagian bukan nol. Bila anggota bersifat tertentu maka penjumlahan langsung dan perkalian adalah sama.
4. Grup tertentu $G$ dan sebuah sub grup normal $N$, maka grup kuosien adalah himpunan dari kohimpunan dari $G/N$ terhadap operasi (g$N$)(h$N$) = gh$N$.

Referensi

Referensi umum

• Artin, Michael (2018), Algebra, Prentice Hall, ISBN 978-0-13-468960-9 , Chapter 2 contains an undergraduate-level exposition of the notions covered in this article.
• Devlin, Keith (2000), The Language of Mathematics: Making the Invisible Visible, Owl Books, ISBN 978-0-8050-7254-9 , Chapter 5 provides a layman-accessible explanation of groups.
• Hall, G. G. (1967), Applied group theory, American Elsevier Publishing Co., Inc., New York, MR 0219593 , an elementary introduction.
• Herstein, Israel Nathan (1996), Abstract algebra (edisi ke-3rd), Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall Inc., ISBN 978-0-13-374562-7, MR 1375019 .
• Herstein, Israel Nathan (1975), Topics in algebra (edisi ke-2nd), Lexington, Mass.: Xerox College Publishing, MR 0356988 .
• Templat:Lang Algebra
• Lang, Serge (2005), Undergraduate Algebra (edisi ke-3rd), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-22025-3 .
• Ledermann, Walter (1953), Introduction to the theory of finite groups, Oliver and Boyd, Edinburgh and London, MR 0054593 .
• Ledermann, Walter (1973), Introduction to group theory, New York: Barnes and Noble, OCLC 795613 .
• Robinson, Derek John Scott (1996), A course in the theory of groups, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-94461-6 .

Referensi khusus

• Artin, Emil (1998), Galois Theory, New York: Dover Publications, ISBN 978-0-486-62342-9 .
• Aschbacher, Michael (2004), "The Status of the Classification of the Finite Simple Groups" (PDF), Notices of the American Mathematical Society, 51 (7): 736–740 .
• Becchi, C. (1997), Introduction to Gauge Theories, hlm. 5211, arXiv:hep-ph/9705211 , Bibcode:1997hep.ph....5211B .
• Besche, Hans Ulrich; Eick, Bettina; O'Brien, E. A. (2001), "The groups of order at most 2000", Electronic Research Announcements of the American Mathematical Society, 7: 1–4, doi:10.1090/S1079-6762-01-00087-7 , MR 1826989 .
• Bishop, David H. L. (1993), Group theory and chemistry, New York: Dover Publications, ISBN 978-0-486-67355-4 .
• Borel, Armand (1991), Linear algebraic groups, Graduate Texts in Mathematics, 126 (edisi ke-2nd), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-97370-8, MR 1102012 .
• Carter, Roger W. (1989), Simple groups of Lie type, New York: John Wiley & Sons, ISBN 978-0-471-50683-6 .
• Conway, John Horton; Delgado Friedrichs, Olaf; Huson, Daniel H.; Thurston, William P. (2001), "On three-dimensional space groups", Beiträge zur Algebra und Geometrie, 42 (2): 475–507, arXiv:math.MG/9911185 , MR 1865535 .
• Coornaert, M.; Delzant, T.; Papadopoulos, A. (1990), Géométrie et théorie des groupes [Geometry and Group Theory], Lecture Notes in Mathematics (dalam bahasa Prancis), 1441, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-52977-4, MR 1075994 .
• Denecke, Klaus; Wismath, Shelly L. (2002), Universal algebra and applications in theoretical computer science, London: CRC Press, ISBN 978-1-58488-254-1 .
• Dudek, W.A. (2001), "On some old problems in n-ary groups", Quasigroups and Related Systems, 8: 15–36 .
• Frucht, R. (1939), "Herstellung von Graphen mit vorgegebener abstrakter Gruppe [Construction of Graphs with Prescribed Group]", Compositio Mathematica (dalam bahasa Jerman), 6: 239–50, diarsipkan dari versi asli tanggal 2008-12-01  .
• Fulton, William; Harris, Joe (1991), Representation theory. A first course, Graduate Texts in Mathematics, Readings in Mathematics, 129, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-97495-8, MR 1153249 
• Goldstein, Herbert (1980), Classical Mechanics (edisi ke-2nd), Reading, MA: Addison-Wesley Publishing, hlm. 588–596, ISBN 0-201-02918-9 .
• Hatcher, Allen (2002), Algebraic topology, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-79540-1 .
• Husain, Taqdir (1966), Introduction to Topological Groups, Philadelphia: W.B. Saunders Company, ISBN 978-0-89874-193-3 
• Jahn, H.; Teller, E. (1937), "Stability of Polyatomic Molecules in Degenerate Electronic States. I. Orbital Degeneracy", Proceedings of the Royal Society A, 161 (905): 220–235, Bibcode:1937RSPSA.161..220J, doi:10.1098/rspa.1937.0142  .
• Kuipers, Jack B. (1999), Quaternions and rotation sequences—A primer with applications to orbits, aerospace, and virtual reality, Princeton University Press, ISBN 978-0-691-05872-6, MR 1670862 .
• Kuga, Michio (1993), Galois' dream: group theory and differential equations, Boston, MA: Birkhäuser Boston, ISBN 978-0-8176-3688-3, MR 1199112 .
• Kurzweil, Hans; Stellmacher, Bernd (2004), The theory of finite groups, Universitext, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-40510-0, MR 2014408 .
• Lay, David (2003), Linear Algebra and Its Applications, Addison-Wesley, ISBN 978-0-201-70970-4 .
• Mac Lane, Saunders (1998), Categories for the Working Mathematician (edisi ke-2nd), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-98403-2 .
• Michler, Gerhard (2006), Theory of finite simple groups, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-86625-5 .
• Milne, James S. (1980), Étale cohomology, Princeton University Press, ISBN 978-0-691-08238-7 
• Mumford, David; Fogarty, J.; Kirwan, F. (1994), Geometric invariant theory, 34 (edisi ke-3rd), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-56963-3, MR 1304906 .
• Naber, Gregory L. (2003), The geometry of Minkowski spacetime, New York: Dover Publications, ISBN 978-0-486-43235-9, MR 2044239 .
• Neukirch, Jürgen (1999), Algebraic Number Theory, Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, 322, Berlin: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-65399-8, MR 1697859, Zbl 0956.11021 
• Romanowska, A.B.; Smith, J.D.H. (2002), Modes, World Scientific, ISBN 978-981-02-4942-7 .
• Ronan, Mark (2007), Symmetry and the Monster: The Story of One of the Greatest Quests of Mathematics, Oxford University Press, ISBN 978-0-19-280723-6 .
• Rosen, Kenneth H. (2000), Elementary number theory and its applications (edisi ke-4th), Addison-Wesley, ISBN 978-0-201-87073-2, MR 1739433 .
• Rudin, Walter (1990), Fourier Analysis on Groups, Wiley Classics, Wiley-Blackwell, ISBN 0-471-52364-X .
• Seress, Ákos (1997), "An introduction to computational group theory" (PDF), Notices of the American Mathematical Society, 44 (6): 671–679, MR 1452069 .
• Serre, Jean-Pierre (1977), Linear representations of finite groups, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90190-9, MR 0450380 .
• Shatz, Stephen S. (1972), Profinite groups, arithmetic, and geometry, Princeton University Press, ISBN 978-0-691-08017-8, MR 0347778 
• Suzuki, Michio (1951), "On the lattice of subgroups of finite groups", Transactions of the American Mathematical Society, 70 (2): 345–371, doi:10.2307/1990375 , JSTOR 1990375 .
• Warner, Frank (1983), Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Groups, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90894-6 .
• Weinberg, Steven (1972), Gravitation and Cosmology, New York: John Wiley & Sons, ISBN 0-471-92567-5 .
• Welsh, Dominic (1989), Codes and cryptography, Oxford: Clarendon Press, ISBN 978-0-19-853287-3 .
• Weyl, Hermann (1952), Symmetry, Princeton University Press, ISBN 978-0-691-02374-8 .

Historical references

Lihat pula: Historically important publications in group theory

• Borel, Armand (2001), Essays in the History of Lie Groups and Algebraic Groups, Providence, R.I.: American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-0288-5 
• Cayley, Arthur (1889), The collected mathematical papers of Arthur Cayley, II (1851–1860), Cambridge University Press .
• O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., "The development of group theory", Arsip Sejarah Matematika MacTutor, Universitas St Andrews .
• Curtis, Charles W. (2003), Pioneers of Representation Theory: Frobenius, Burnside, Schur, and Brauer, History of Mathematics, Providence, R.I.: American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-2677-5 .
• von Dyck, Walther (1882), "Gruppentheoretische Studien (Group-theoretical Studies)", Mathematische Annalen (dalam bahasa Jerman), 20 (1): 1–44, doi:10.1007/BF01443322, diarsipkan dari versi asli tanggal 2014-02-22  .
• Galois, Évariste (1908), Tannery, Jules, ed., Manuscrits de Évariste Galois [Évariste Galois' Manuscripts] (dalam bahasa Prancis), Paris: Gauthier-Villars  (Galois work was first published by Joseph Liouville in 1843).
• Jordan, Camille (1870), Traité des substitutions et des équations algébriques [Study of Substitutions and Algebraic Equations] (dalam bahasa Prancis), Paris: Gauthier-Villars .
• Kleiner, Israel (1986), "The Evolution of Group Theory: A Brief Survey", Mathematics Magazine, 59 (4): 195–215, doi:10.2307/2690312, JSTOR 2690312, MR 0863090 .
• Lie, Sophus (1973), Gesammelte Abhandlungen. Band 1 [Collected papers. Volume 1] (dalam bahasa Jerman), New York: Johnson Reprint Corp., MR 0392459 .
• Mackey, George Whitelaw (1976), The theory of unitary group representations, University of Chicago Press, MR 0396826 
• Smith, David Eugene (1906), History of Modern Mathematics, Mathematical Monographs, No. 1 .
• Wussing, Hans (2007), The Genesis of the Abstract Group Concept: A Contribution to the History of the Origin of Abstract Group Theory, New York: Dover Publications, ISBN 978-0-486-45868-7 .

Pranala luar

• (Inggris) Weisstein, Eric W. "Group". MathWorld. 
• Group (mathematics) di Encyclopædia Britannica