Integral Dirichlet

Revisi sejak 22 Februari 2021 09.20 oleh InternetArchiveBot (bicara | kontrib) (Rescuing 0 sources and tagging 1 as dead.) #IABot (v2.0.8)


Dalam matematika, ada beberapa integral yang dikenal sebagai Integral Dirichlet, setelah ahli matematika Jerman Peter Gustav Lejeune Dirichlet, salah satunya adalah integral tak wajar dari fungsi sinc di atas garis nyata positif:

Integral ini bukanlah absolut konvergen, artinya bukan Lebesgue-integrable, sehingga integral Dirichlet tidak terdefinisi dalam arti integral Lebesgue. Hal ini, bagaimanapun, didefinisikan dalam arti integral Riemann yang tidak tepat atau Riemann yang digeneralisasikan atau integral Henstock–Kurzweil.[1][2] Nilai integral (dalam pengertian Riemann atau Henstock) dapat diturunkan dengan berbagai cara, termasuk transformasi Laplace, integrasi ganda, membedakan di bawah tanda integral, integrasi kontur, dan kernel Dirichlet.

Evaluasi

Transformasi Laplace

Maka   menjadi fungsi yang dapat didefinisikan  . Maka Transformasi Laplace diberikan oleh

 

bila integral itu ada.[3]

Properti dari Transformasi laplace berguna untuk mengevaluasi integral tak wajar adalah

 

asalkan  .

Seseorang dapat menggunakan properti ini untuk mengevaluasi integral Dirichet sebagai berikut:

 

lantaran   adalah transformasi Laplace dari fungsi tersebut  . (Lihat bagian 'Membedakan di bawah tanda integral' untuk penurunan.)

Integrasi ganda

Mengevaluasi integral Dirichlet menggunakan transformasi Laplace setara dengan mencoba mengevaluasi integral pasti ganda yang sama dalam dua cara berbeda, dengan pembalikan urutan integral, yaitu:

 
 

Diferensiasi di bawah tanda integral (trik Feynman)

Pertama, tulis ulang integral sebagai fungsi dari variabel tambahan  . Maka

 

Untuk mengevaluasi integral Dirichlet, kita perlu menentukan .

Diferensialkan sehubungan dengan   dan terapkan hukum Leibniz untuk membedakan di bawah tanda integral untuk mendapatkan

 

Sekarang, gunakan rumus Euler   sinusoid dapat dinyatakan dalam fungsi eksponensial kompleks. Jadi kami punya

 

oleh karena itu,

 

Integrasi sehubungan dengan   memberikan

 

dimana   adalah konstanta integrasi yang akan ditentukan. Karena     menggunakan nilai pokok. Maka ini berarti

 

Akhirnya, untuk  , kita punya  , seperti sebelumnya.

Integrasi kompleks

Hasil yang sama dapat diperoleh dengan integrasi kompleks. Mempertimbangkan

 

Sebagai fungsi dari variabel kompleks  , ia memiliki kutub sederhana di asalnya, yang mencegah penerapan lemma Jordan, yang hipotesis lainnya terpenuhi.

Tentukan kemudian fungsi baru[4]

 

Kutub telah dipindahkan dari sumbu sebenarnya, sehingga   dapat diintegrasikan sepanjang setengah lingkaran radius   yang berpusat di   dan ditutup pada sumbu nyata. Seseorang kemudian limitnya  .

Integral kompleks adalah nol menurut teorema residu, karena tidak ada kutub di dalam jalur integrasi

 

Istilah kedua lenyap saat   pergi ke tak terhingga. Adapun integral pertama, seseorang dapat menggunakan satu versi teorema Sokhotski–Plemelj untuk integral di atas garis nyata: untuk fungsi bernilai kompleks f yang ditentukan dan dapat terus terdiferensiasi pada garis nyata dan konstanta nyata   dan   with   seseorang menemukan

 

dimana   menunjukkan nilai pokok Cauchy. Kembali ke kalkulasi awal di atas, seseorang dapat menulis

 

Dengan mengambil bagian imajiner di kedua sisi dan mencatat fungsinya   bahkan, kita dapatkan

 

Akhirnya,

 

Atau, pilih sebagai kontur integrasi untuk   gabungan jari-jari setengah lingkaran bidang atas   dan   bersama dengan dua segmen dari garis nyata yang menghubungkannya. Di satu sisi, integral kontur adalah nol, terlepas dari   dan  ; di sisi lain, sebagai   dan   bagian imajiner integral menyatu   (maka   adalah cabang dari logaritma pada setengah bidang atas), yang mengarah ke  .

Kernel Dirichlet

Maka

 

menjadi kernel Dirichlet.[5]

Segera setelah itu 

menjelaskan

 

Jelasnya,   adalah kontinu jika  , untuk melihat keberlanjutannya di 0 terapkan Aturan L'Hopital:

 

Karenanya,   memenuhi persyaratan Riemann-Lebesgue Lemma. Ini berarti

 

(Bentuk Lemma Riemann-Lebesgue yang digunakan di sini dibuktikan dalam artikel yang dikutip.)

Pilih batasan   and  . Maka kami ingin mengatakan

 

In order to do so, however, we must justify switching the real limit in   to the integral limit in  . This is in fact justified if we can show the limit does exist, which we do now.

Using integration by parts, we have:

 

Now, as   and   the term on the left converges with no problem. See the list of limits of trigonometric functions. We now show that   is absolutely integrable, which implies that the limit exists.[6]

First, we seek to bound the integral near the origin. Using the Taylor-series expansion of the cosine about zero,

 

Therefore,

 

Splitting the integral into pieces, we have

 

for some constant  . This shows that the integral is absolutely integrable, which implies the original integral exists, and switching from   to   was in fact justified, and the proof is complete.

Lihat pula

Catatan

  1. ^ Bartle, Robert G. (10 June 1996). "Return to the Riemann Integral" (PDF). The American Mathematical Monthly. 103 (8): 625–632. doi:10.2307/2974874. JSTOR 2974874. [pranala nonaktif permanen]
  2. ^ Bartle, Robert G.; Sherbert, Donald R. (2011). "Chapter 10: The Generalized Riemann Integral". Introduction to Real Analysis . John Wiley & Sons. hlm. 311. ISBN 978-0-471-43331-6. 
  3. ^ Zill, Dennis G.; Wright, Warren S. (2013). "Chapter 7: The Laplace Transform". Differential Equations with Boundary-Value Problems . Cengage Learning. hlm. 274-5. ISBN 978-1-111-82706-9. 
  4. ^ Appel, Walter. Mathematics for Physics and Physicists. Princeton University Press, 2007, p. 226. ISBN 978-0-691-13102-3.
  5. ^ Chen, Guo (26 June 2009). A Treatment of the Dirichlet Integral Via the Methods of Real Analysis (PDF) (Laporan). 
  6. ^ R.C. Daileda. Improper Integrals (PDF) (Laporan). 

Tautan luar

Templat:Integral