Analisis kompleks

Revisi sejak 12 Oktober 2021 13.28 oleh Dedhert.Jr (bicara | kontrib) (←Membuat halaman berisi 'Dalam matematika, '''analisis kompleks''' ({{Lang-en|complex analysis}}), merupakan cabang analisis matematis yang membahas fungsi dari bilangan kompleks (yakni mengkaji tidak hanya satu bilangan, melainkan dua bilangan, yakni bilangan riil dan bilangan imajiner<ref>Fitri Aryani (2014). Sifat Subkelas Fungsi Univalen, hlm. 1</ref>). Analisis kompleks biasanya dikenal sebagai '''teori fungsi variabel kompleks''' atau '''teori fungsi...')
(beda) ← Revisi sebelumnya | Revisi terkini (beda) | Revisi selanjutnya → (beda)

Dalam matematika, analisis kompleks (bahasa Inggris: complex analysis), merupakan cabang analisis matematis yang membahas fungsi dari bilangan kompleks (yakni mengkaji tidak hanya satu bilangan, melainkan dua bilangan, yakni bilangan riil dan bilangan imajiner[1]).

Analisis kompleks biasanya dikenal sebagai teori fungsi variabel kompleks atau teori fungsi peubah kompleks.

Konsep analisis kompleks

Konsep analisis kompleks ini hampir mirip dengan konsep analisis real. Berikut ini merupakan konsep-konsep analisis kompleks, diantaranya

Bilangan kompleks

 
Himpunan bilangan kompleks ( ) terdiri himpunan bilangan riil ( ) dan bilangan imajiner.

Dalam matematika, khususnya analisis kompleks, bilangan kompleks merupakan himpunan bilangan yang terdiri dua himpunan bilangan, yakni bilangan riil dan imajiner. Mengenai definisi bilangan kompleks, kita misalkan   adalah bilangan kompleks, sehingga dapat didefinisikan

 [2]

serta himpunannya didefinisikan sebagai

 ,[3]

dimana   adalah bagian riil, dinotasikan   dan   adalah bagian imajiner, dinotasikan  ,[2] atau   dan  .[3]

 
Ilustrasi mengenai bilangan kompleks

Fungsi elementer

Pada konsep ini akan diperkenalkan fungsi elementer, yakni fungsi suku banyak, fungsi rasional, fungsi eksponensial, fungsi trigonometri, fungsi hiperbolik, fungsi logaritma (beserta inversnya), dan fungsi aljabar dan transenden.[4]

Fungsi suku banyak

Dalam analisis kompleks, fungsi suku banyak didefinisikan sebagai

 

dimana  ,   adalah konstanta kompleks dan   adalah bilangan bulat positif yang dinamakan derajat suku polinom  .[4] Mengingat kembali, fungsi rasional adalah fungsi yang mana setiap pembilang dan penyebutnya berupa fungsi polinomial. Misalkan   dan   adalah fungsi polinomial dengan variabel kompleks sehingga

 

adalah fungsi rasional bilangan kompleks[5], dengan kasus khusus diperoleh

 

adalah suatu transformasi linear atau dinamakan transformasi bilinear.[6]

Fungsi eksponensial

Dalam cabang ini, eksponensial dapat memperluas deret kuasa fungsi eksponensial dari bilangan riil ke bilangan kompleks. Untuk suatu bilangan riil  ,

 

Karena   dan   (lihat disini mengenai hubungan fungsi trigonometri dengan deret), maka

 [7]

Hubungan fungsi eksponensial dengan bilangan kompleks ini dapat kita sebut sebagai rumus Euler.

Fungsi trigonometri dan fungsi hiperbolik beserta inversnya

Mengenai fungsi trigonometri cukup kita turunan rumus Euler, sehingga didapati

  dan  

Sifat-sifat mengenai fungsi trigonometri dalam bilangan riil berlaku juga dalam bilangan kompleks.[8] Karena fungsi trigonometri dan fungsi hiperbolik[9] (beserta inversnya) berhubungan, maka berlaku juga dalam bilangan kompleks.[10]

Fungsi logaritma

Dalam konsep ini, fungsi ini berupa generalisasi logaritma alami terhadap bilangan kompleks bukan nol. Misalkan  , dimana   dan persamaan ini ekuivalen dengan

 .[11]

Dengan substitusi, maka diperoleh

 [7]

dimana  .

Limit dan kekontinuan

Suatu fungsi   terdefinisi atau mempunyai limit   untuk   mendekati   dituliskan sebagai

 .[12]

Definisi limit dapat kita agak-agihkan lebih lanjut menggunakan definsi limit (ε,δ).

Teorema — Jika nilai   mendekati   untuk setiap   mendekati  , maka untuk setiap bilangan real positif sangat kecil  , dapat ditemukan bilangan real positif sangat kecil   yang bergantung pada   sedemikian rupa sehingga untuk setiap di dalam lengkungan   kecuali pada  , diperoleh  . Secara simbolik dituliskan sebagai berikut.

Untuk semua  , terdapat   sedemikian rupa sehingga  .[13]

Turunan

Turunan dalam analisis kompleks mirip dengan turunan dalam analisis riil. Namun, karena halaman ini membahas tentang analisis kompleks, kita akan menganggap   adalah bilangan kompleks. Menurut definisi, jika diturunkan di  , maka turunan   dirumuskan

  atau  .[14]

Integral

Dalam analisis kompleks, integral mirip dengan analisis riil (termasuk juga dengan kalkulus), yakni cabang dari analisis matematis yang menyelidiki fungsi dari bilangan kompleks. Dengan memisalkan   adalah fungsi kompleks dengan variabel riil   dimana   sehingga   dan   kontinu di interval  . Kita dapat menuliskannya sebagai

 .[15]

Integral dalam cabang ini dibagi menjadi:

  • Integral lintasan, yaitu suatu integral yang didefinisikan dalam bentuk   sepanjang lintasan   dari   hingga ke  . Ini dapat ditulis sebagai

  atau  .[16]

Bila   analitik di dalam dan pada kontur tertutup sederhana   arah positif dan bila   suatu titik di dalam   maka

 

jika dan hanya jika

 .[20]


Residu

Residu dalam analisis kompleks ialah bilangan kompleks yang sebanding dengan integral kontur dari fungsi meromorfik di sepanjang lintasan yang melintasi salah satu singularitasnya. Biasanya dilambangkan sebagai   atau  . Misal   adalah fungsi yang analitik di titik  , yang dapat diekspansi ke dalam deret Laurent yang berbentuk

 .

Pada koefisien  , terdapat pada suku deret Laurent yang berbentuk   dinamakan residu   pada  . Ini ditulis dengan

 .[21]

Teorema residu Cauchy

Teorema residu (kadangkala disebut teorema residu Cauchy) merupakan teorema yang cukup penting untuk menghitung integral garis fungsi analitik terhadap kurva tertutup dan kerap kala dipakai untuk menghitung integral riil dan deret takhingga juga. Diberikan   adalah lintasan tertutup sederhana yang berorientasi positif, dengan eksepsi pada berhingga banyaknya titik   yang masing-masing merupakan singularitas terasing  . Maka,

 [22]

atau kita tuliskan sebagai

 .[23]
 
Ilustrasi mengenai pemetaan konformal  , yang mengakibatkan besar dan arah sudut tidak berubah.

Pemetaan konformal

Pemetaan konformal (terkadang disebut juga sebagai transformasi konformal atau pemetaan bihomorfik) merupakan suatu pemetaan yang mempertahankan besar dan arah sudut. Pemetaan ini juga didefinisikan sebagai suatu teknik dalam matematika (terutama analisis kompleks) yang digunakan untuk mentransformasikan suatu permasalahan matematika beserta penyelesaiannya ke bentuk lain.

Dengan meninjau diberikan suatu pemetaan,  , beserta sebarang dua kurva  ,   pada bidang   berpotongan pada titik   dipetakan berturut-turut sebagai kurva   dan   pada bidang   yang berpotongan di   antara kurva   dan  , maka pemetaan   konformal pada  .[24]

Hubungan analisis kompleks dengan cabang matematika lainnya

Analisis kompleks berguna terhadap cabang lainnya, diantaranya

Hubungan analisis kompleks dengan cabang fisika

Namun, hubungan analisis kompleks masih berkaitan dengan cabang fisika, di antaranya

Lihat pula

Referensi

  1. ^ Fitri Aryani (2014). Sifat Subkelas Fungsi Univalen, hlm. 1
  2. ^ a b Ahmad Lubab M.Si., Fungsi kompleks, Buku Perkuliahan Program S-1 Jurusan Pendidikan Matematika Fakultas Tarbiyah IAIN Sunan Ampel Surabaya. hlm. 6
  3. ^ a b Endang Dedy, M.Si, Encum Sumianti, M.Si, Fungsi Variabel Kompleks. PT Bumi Aksara, hlm. 1. ISBN 978-602-444-713-7
  4. ^ a b M.Pd., Dr. Kadir (Februari 2016). Fungsi Peubah Kompleks (PDF). UIN JAKARTA PRESS. hlm. 61. ISBN 978-602-346-028-1. 
  5. ^ Ahlfors, Lars V. Complex Analysis, An Introduction to the Theory of Analytic Functions of One Complex Variable, Third Edition (PDF). hlm. 30. 
  6. ^ M. Pd., Dr. Kadir (Februari 2016). Fungsi Peubah Kompleks. UIN JAKARTA PRESS. hlm. 62. ISBN 978-602-346-028-1. 
  7. ^ a b Howie, John. M. (January 2003). Complex Analysis. hlm. 24. 
  8. ^ M.Pd., Dr. Kadir (Februari 2016). Fungsi Peubah Kompleks (PDF). UIN JAKARTA PRESS. hlm. 70. ISBN 978-602-346-028-1. 
  9. ^ M. Pd., Dr. Kadir (Februari 2016). Fungsi Peubah Kompleks (PDF). UIN JAKARTA PRESS. hlm. 77. ISBN 978-602-346-028-1. 
  10. ^ M. Pd., Dr. Kadir (Februari 2016). Fungsi Peubah Kompleks (PDF). UIN JAKARTA PRESS. hlm. 86. ISBN 978-602-346-028-1. 
  11. ^ Ahlfors, Lars V. Complex Analysis, An Introduction to the Theory of Analytic Functions of One Complex Variable, Third Edition. hlm. 46. 
  12. ^ M.Pd., Dr. Kadir (Februari 2016). Fungsi Peubah Kompleks (PDF). UIN JAKARTA PRESS. hlm. 97. ISBN 978-602-346-028-1. 
  13. ^ M.Pd., Dr. Kadir (Februari 2016). Fungsi Peubah Kompleks (PDF). UIN JAKARTA PRESS. hlm. 97. ISBN 978-602-346-028-1. 
  14. ^ M.Pd., Dr. Kadir (Februari 2016). Fungsi Peubah Kompleks (PDF). UIN JAKARTA PRESS. hlm. 116. ISBN 978-602-346-028-1. 
  15. ^ Nurwan, S.Pd. M.Si, 2019, Integral Kompleks, hlm. 1
  16. ^ Drs. Bainnudin Yani, M.S., M.Pd. Dr. Anwar, Drs. Syahjuzar M.Si, Pengantar Analisis Kompleks, Syiah Kuala Universitas Press, hlm. 127. ISBN 978-602-5679-03-2
  17. ^ Stalker, John (1998). Complex Analysis: Fundamentals of the Classical Theory of Functions. Springer. hlm. 77. ISBN 0-8176-4038-X. 
  18. ^ Bak, Joseph; Newman, Donald J. (1997). "Chapters 11 & 12". Complex Analysis. Springer. hlm. 130–156. ISBN 0-387-94756-6. 
  19. ^ Krantz, Steven George (1999). "Chapter 2". Handbook of Complex Variables. Springer. ISBN 0-8176-4011-8. 
  20. ^ Dra. Retno Marsitin, M.Pd, | Fungsi Kompleks, Yayasan Edelweis, hlm. 122. ISBN 978-602-14916-3-8
  21. ^ Dian Devita Yohanie, Aplikasi Teori Rsidu Dalam Perhitungan Suatu Integral, hlm. 17.
  22. ^ Dian Devita Yohanie, Aplikasi Teori Rsidu Dalam Perhitungan Suatu Integral, hlm. 20 (teorema 1).
  23. ^ Residu dan Pole, hlm. 5.
  24. ^ H. A. Parhusip, Sulistyono, Pemetaan Konformal Dan Modifikasinya Untuk Suatu Bidang Persegi, hlm. AA-43.
  25. ^ Hendra Gunawan, Fungsi zeta Riemann & Hipotesis Riemann.
  26. ^ Siti Ayu Setia Nastiti, Fungsi Pembangkit dari Polinomial Chebyshev Berdasarkan Ekspansi Binomial  , hlm. 11.
  27. ^ Evita Chandra, Aplikasi Bilangan Kompleks pada Dinamika Fluida.
  28. ^ Hendradi Hardhienata, Tutorial Mekanika Kuantum, (ver.1.1 [16.01.14] Vol. I.