Analisis kompleks

Dalam matematika, analisis kompleks (bahasa Inggris: complex analysis), merupakan cabang analisis matematis yang membahas fungsi dari bilangan kompleks (yakni mengkaji tidak hanya satu bilangan, melainkan dua bilangan, yakni bilangan riil dan bilangan imajiner).

Analisis kompleks biasanya dikenal sebagai teori fungsi variabel kompleks atau teori fungsi peubah kompleks.

Konsep analisis kompleks

Konsep analisis kompleks ini hampir mirip dengan konsep analisis real. Berikut ini merupakan konsep-konsep analisis kompleks, diantaranya

Bilangan kompleks

Lihat pula: Bilangan kompleks

Himpunan bilangan kompleks ($\mathbb {C}$) terdiri himpunan bilangan riil ($\mathbb {R}$) dan bilangan imajiner.

Dalam matematika, khususnya analisis kompleks, bilangan kompleks merupakan himpunan bilangan yang terdiri dua himpunan bilangan, yakni bilangan riil dan imajiner. Mengenai definisi bilangan kompleks, kita misalkan $z$ adalah bilangan kompleks, sehingga dapat didefinisikan

$z=\{a+bi\mid a,b\in \mathbb {R} \}$

serta himpunannya didefinisikan sebagai

$\mathbb {C} =\{z\mid z=(a,b);a,b\in \mathbb {R} \}$,

dimana $a$ adalah bagian riil, dinotasikan $\Re (z)$ dan $bi$ adalah bagian imajiner, dinotasikan $\Im (z)$, atau $\operatorname {Re} (z)$ dan $\operatorname {Im} (z)$.

Ilustrasi mengenai bilangan kompleks secara geometri.

Fungsi elementer

Pada konsep ini akan diperkenalkan fungsi elementer, yakni fungsi suku banyak, fungsi rasional, fungsi eksponensial, fungsi trigonometri, fungsi hiperbolik, fungsi logaritma (beserta inversnya), dan fungsi aljabar dan transenden.

Fungsi suku banyak

Dalam analisis kompleks, fungsi suku banyak didefinisikan sebagai

$P(z)=a_{0}z^{n-1}+a_{1}z^{n}+\dots +a_{n}$

dimana $a_{0}\neq 0$, $a_{1},\dots ,a_{n}$ adalah konstanta kompleks dan $n$ adalah bilangan bulat positif yang dinamakan derajat suku polinom $P(z)$. Mengingat kembali, fungsi rasional adalah fungsi yang mana setiap pembilang dan penyebutnya berupa fungsi polinomial. Misalkan $P$ dan $Q$ adalah fungsi polinomial dengan variabel kompleks sehingga

$R(z)={\frac {a_{0}z^{n}+a_{1}z^{n-1}+\cdots +a_{n}}{c_{0}z^{m}+c_{1}z^{m-1}+\cdots +c_{m}}}$

adalah fungsi rasional bilangan kompleks, dengan kasus khusus diperoleh

$R(z)={\frac {az+b}{cz+d}},\quad ad-bc\neq 0$

adalah suatu transformasi linear atau dinamakan transformasi bilinear.

Fungsi eksponensial

Dalam cabang ini, eksponensial dapat memperluas deret kuasa fungsi eksponensial dari bilangan riil ke bilangan kompleks. Untuk suatu bilangan riil $\theta$,

${\begin{aligned}e^{i\theta }&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(i\theta )^{n}}{n!}}\\&=1+i\theta +{\frac {1}{2!}}(i\theta )^{2}+{\frac {1}{3!}}(i\theta )^{3}+{\frac {1}{4!}}(i\theta )^{4}+\cdots \\&=\left(1-{\frac {\theta ^{2}}{2!}}-{\frac {\theta ^{4}}{4!}}-\cdots \right)+i\left(\theta -{\frac {\theta ^{3}}{3!}}-{\frac {\theta ^{5}}{5!}}-\cdots \right)\end{aligned}}$

Karena $\cos x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}\cdot x^{2n}}{(2n)!}}$ dan $\sin x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}\cdot x^{2n+1}}{(2n+1)!}}$ (lihat disini mengenai hubungan fungsi trigonometri dengan deret), maka

$e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta$

Hubungan fungsi eksponensial dengan bilangan kompleks ini dapat kita sebut sebagai rumus Euler.

Fungsi trigonometri dan fungsi hiperbolik beserta inversnya

Mengenai fungsi trigonometri cukup kita turunan rumus Euler, sehingga didapati

$\sin z={\frac {e^{iz}+e^{-iz}}{2i}}$ dan $\cos z={\frac {e^{iz}+e^{iz}}{2}}$

Sifat-sifat mengenai fungsi trigonometri dalam bilangan riil berlaku juga dalam bilangan kompleks. Karena fungsi trigonometri dan fungsi hiperbolik (beserta inversnya) berhubungan, maka berlaku juga dalam bilangan kompleks.

Fungsi logaritma

Lihat pula: Fungsi logaritma kompleks

Dalam konsep ini, fungsi ini berupa generalisasi logaritma alami terhadap bilangan kompleks bukan nol. Misalkan $w=\log z$, dimana $z=e^{a+bi}=e^{a}\cdot e^{bi}$ dan persamaan ini ekuivalen dengan

$e^{a}=\left|w\right|\quad {\text{ dan }}\quad e^{b}={\frac {w}{|w|}}$.

Dengan substitusi, maka diperoleh

$w=\log e^{a}+\log e^{bi}=\log |w|+i\arg w$

dimana $b=\arg w$.

Limit dan kekontinuan

Suatu fungsi $f(z)$ terdefinisi atau mempunyai limit $L$ untuk $z$ mendekati $z_{0}$ dituliskan sebagai

$\lim _{z\to z_{0}}f(z)=L$.

Definisi limit dapat kita agak-agihkan lebih lanjut menggunakan definsi limit (ε,δ).

Teorema — Jika nilai $f(z)$ mendekati $L$ untuk setiap $z$ mendekati $z_{0}$, maka untuk setiap bilangan real positif sangat kecil $\varepsilon$, dapat ditemukan bilangan real positif sangat kecil $\delta$ yang bergantung pada $\varepsilon$ sedemikian rupa sehingga untuk setiap di dalam lengkungan $0<\left|z-z_{0}\right|<\delta$ kecuali pada $z\neq z_{0}$, diperoleh $\left|f(z)-L\right|<\varepsilon$. Secara simbolik dituliskan sebagai berikut.

Untuk semua $\varepsilon$, terdapat $\delta$ sedemikian rupa sehingga $0<\left|z-z_{0}\right|<\delta \Longrightarrow \left|f(z)-L\right|<\varepsilon$.

Turunan

Turunan dalam analisis kompleks mirip dengan turunan dalam analisis riil. Namun, karena halaman ini membahas tentang analisis kompleks, kita akan menganggap $z$ adalah bilangan kompleks. Menurut definisi, jika diturunkan di $z_{0}$, maka turunan $f$ dirumuskan

$f'(z_{0})=\lim _{\Delta z\to 0}{\frac {f(z_{0}-\Delta z)-f(z_{0})}{\Delta z}}$ atau $f'(z_{0})=\lim _{z\to z_{0}}{\frac {f(z)-f(z_{0})}{z-z_{0}}}$.

Integral

Dalam analisis kompleks, integral mirip dengan analisis riil (termasuk juga dengan kalkulus), yakni cabang dari analisis matematis yang menyelidiki fungsi dari bilangan kompleks. Dengan memisalkan $f(t)$ adalah fungsi kompleks dengan variabel riil $t$ dimana $f(t)=u(t)+i\cdot v(t)$ sehingga $u(t)$ dan $v(t)$ kontinu di interval $[a,b]$. Kita dapat menuliskannya sebagai

$\int _{a}^{b}f(t)\,\mathrm {d} t=\int _{a}^{b}u(t)\,\mathrm {d} t+i\int _{a}^{b}v(t)\,\mathrm {d} t$.

Integral dalam cabang ini dibagi menjadi:

• Integral lintasan, yaitu suatu integral yang didefinisikan dalam bentuk $f(z)$ sepanjang lintasan $C$ dari $z_{1}$ hingga ke $z_{2}$. Ini dapat ditulis sebagai

$\int _{C}f(z)\,\mathrm {d} z$ atau $\int _{z_{1}}^{z_{2}}f(z)\,\mathrm {d} z$.

• Integral kontur, metode menghitung integral tertentu di sepanjang lintasan dalam bidang kompleks.
• Teorema integral Cauchy atau dikenal teorema Cauchy–Goursat adalah pernyataan penting tentang integral garis terhadap fungsi holomorfik dalam bidang kompleks. Teorema ini berbunyi

Bila $f$ analitik di dalam dan pada kontur tertutup sederhana $C$ arah positif dan bila $z_{0}$ suatu titik di dalam $C$ maka

$\int _{C}{\frac {f(z)}{z-z_{0}}}\,\mathrm {d} z=2\pi if(z_{0})$

jika dan hanya jika

$f(z_{0})={\frac {1}{2\pi i}}\int _{C}{\frac {f(z)}{z-z_{0}}}\,\mathrm {d} z$.

Residu

Lihat pula: Residu (analisis kompleks)

Residu dalam analisis kompleks ialah bilangan kompleks yang sebanding dengan integral kontur dari fungsi meromorfik di sepanjang lintasan yang melintasi salah satu singularitasnya. Biasanya dilambangkan sebagai $\operatorname {Res} (f,c)$ atau $\operatorname {Res} _{c}f$. Misal $f$ adalah fungsi yang analitik di titik $z_{0}$, yang dapat diekspansi ke dalam deret Laurent yang berbentuk

$f(z)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}(z-z_{0})^{n}$.

Pada koefisien $a_{-1}$, terdapat pada suku deret Laurent yang berbentuk ${\frac {1}{z-z_{0}}}$ dinamakan residu $f$ pada $z_{0}$. Ini ditulis dengan

$a_{-1}=\operatorname {Res} (f,z_{0})$.

Teorema residu Cauchy

Teorema residu (kadangkala disebut teorema residu Cauchy) merupakan teorema yang cukup penting untuk menghitung integral garis fungsi analitik terhadap kurva tertutup dan kerap kala dipakai untuk menghitung integral riil dan deret takhingga juga. Diberikan $C$ adalah lintasan tertutup sederhana yang berorientasi positif, dengan eksepsi pada berhingga banyaknya titik $z_{1},\dots ,z_{n}$ yang masing-masing merupakan singularitas terasing $f$. Maka,

$\int _{C}f(z)\,\mathrm {d} z=2\pi i\sum _{k=1}^{n}\operatorname {Res} (f,z_{k})$

atau kita tuliskan sebagai

$\int _{C}f(z)\,\mathrm {d} z=2\pi i\sum _{k=1}^{n}{\underset {z=z_{k}}{\operatorname {Res} }}f(z)$.

Ilustrasi mengenai pemetaan konformal $f$, yang mengakibatkan besar dan arah sudut tidak berubah.

Pemetaan konformal

Lihat pula: Pemetaan konformal

Pemetaan konformal (terkadang disebut juga sebagai transformasi konformal atau pemetaan bihomorfik) merupakan suatu pemetaan yang mempertahankan besar dan arah sudut. Pemetaan ini juga didefinisikan sebagai suatu teknik dalam matematika (terutama analisis kompleks) yang digunakan untuk mentransformasikan suatu permasalahan matematika beserta penyelesaiannya ke bentuk lain.

Dengan meninjau diberikan suatu pemetaan, $w=f(z)=f(x+iy)$, beserta sebarang dua kurva $C_{1}$, $C_{2}$ pada bidang $z$ berpotongan pada titik $(x_{0},y_{0})$ dipetakan berturut-turut sebagai kurva $C_{1}$ dan $C_{2}$ pada bidang $w$ yang berpotongan di $(u_{0},v_{0})$ antara kurva $C_{1}$ dan $C_{2}$, maka pemetaan $w=f(z)=f(x+iy)$ konformal pada $(x_{0},y_{0})$.

Hubungan analisis kompleks dengan cabang matematika lainnya

Analisis kompleks berguna terhadap cabang lainnya, diantaranya

• Geometri aljabar, hubungan dimana metode transendental ke geometri aljabar, bersama dengan lebih banyak aspek geometri analisis kompleks, yaitu geometri kompleks.
• Teori bilangan, salah satunya hipotesis Riemann, berasal dari Masalah Milenium. Masalah ini diperluas ke seluruh bidang kompleks melalui kontinuasi analitik.
• Kombinatorik analitik, dimana cabang ini dapat diterapkan pada ekspansi binomial pada bilangan kompleks, seperti deret Taylor, deret Laurent, dan teorema binomial.

Hubungan analisis kompleks dengan cabang fisika

Namun, hubungan analisis kompleks masih berkaitan dengan cabang fisika, di antaranya

• Hidrodinamika atau dinamika fluida, dimana bilangan kompleks dapat diterapkan ke dalam kasus penghitungan potensial untuk aliran inkompresibel dimensi 2.
• Termodinamika, dimana hipotesis Riemann berhubungan dengan mekanika statistik, lihat gas Riemann bebas (en).
• Mekanika kuantum, bilangan kompleks dapat diterapkan pada dualitas gelombang partikel, kontroversi kucing Schrödinger, studi kasus spin dan dadu, percobaan celah ganda (berupa contoh pedagogik), dan lain sebagainya.

Lihat pula

• Analisis real atau analisis riil, cabang yang membahas analisis mengenai bilangan riil.
• Daftar topik analisis kompleks, meliputi topik yang berkenaan dengan analisis kompleks.