Optimisasi

Optimisasi matematika (terkadang hanya ditulis sebagai optimisasi) adalah proses memilih sebuah elemen terbaik, menurut suatu atau beberapa kriteria, dari suatu himpunan berisi alternatif elemen yang tersedia. Masalah optimisasi muncul dalam banyak bidang ilmu dari ilmu komputer dan ilmu teknik sampai riset operasi dan ekonomi, juga selama bertahun-tahun menarik perhatian matematika dalam mengembangkan metode menemukan solusi.

Grafik yang dibentuk dari persamaan z = f(x, y) = −(x² + y²) + 4. Titik maksimum global fungsi terletak pada (x, y, z) = (0, 0, 4), dtandai oleh titik berwarna biru.

Visualisasi pencarian minimum Nelder-Mead untuk fungsi Siminescu. Verteks simplex diurutkan berdasarkan nilai mereka, dengan 1 menjadi nilai terkecil.

Dalam kasus paling sederhana, sebuah masalah optimisasi berisi tentang cara memaksimumkan atau meminimumkan nilai sebuah fungsi real, dengan secara sistematis memilih nilai input dari suatu himpunan yang diperbolehkan. Perumuman dari teori-teori optimisasi dan teknik-teknik ke berbagai bentuk formulasi masalah menjadi bahan kajian sebagian besar bidang matematika terapan.

Masalah optimisasi

Sebuah masalah optimisasi dapat dinyatakan dalam bentuk sebagai berikut:

Diberikan: sebuah fungsi $f:A\to \mathbb {R}$ yang memetakan suatu himpunan $A$ ke bilangan real

Dicari: sebuah elemen $\mathbf {x} _{0}\in A$ yang memenuhi $f(\mathbf {x} _{0})\leq f(\mathbf {x} )$ untuk setiap $\mathbf {x} \in A$ (masalah minimisasi), atau yang memenuhi $f(\mathbf {x} _{0})\geq f(\mathbf {x} )$ untuk setiap $\mathbf {x} \in A$ (masalah maksimisasi)

Formulasi tersebut juga disebut dengan masalah pemrograman matematika. Terminologi ini yang tidak berhubungan langsung dengan pemrograman komputer, namun masih digunakan di beberapa hal seperti pemrograman linear. Banyak masalah nyata (real-world problem) maupun masalah teoritis dapat dimodelkan dalam kerangka umum tersebut.

Perhatikan bahwa hubungan $f\left(\mathbf {x} _{0}\right)\geq f\left(\mathbf {x} \right)\Leftrightarrow {\tilde {f}}\left(\mathbf {x} _{0}\right)\leq {\tilde {f}}\left(\mathbf {x} \right)$ terpenuhi jika kita mendefinisikan ${\tilde {f}}\left(\mathbf {x} \right):=-f\left(\mathbf {x} \right),\,{\tilde {f}}\,:\,A\rightarrow \mathbb {R}$. Hal ini yang mengartikan setiap masalah maksimisasi dapat diubah menjadi masalah minimisasi (dan sebaliknya). Dalam matematika, masalah optimisasi umumnya dinyatakan sebagai masalah minimisasi. Di bidang fisika, formulasi seperti ini dapat merujuk pada teknik minimisasi energi, dengan nilai fungsi $f$ merepresentasikan energi dari sistem yang dimodelkan. Dalam pemelajaran mesin, penting untuk mengevaluasi kualitas parameter data menggunakan fungsi biaya, dengan nilai fungsi yang minimum mengimplikasikan kemungkinan parameter dengan nilai optimal (terkecil).

Umumnya $A$ adalah subset dari ruang Euklides $\mathbb {R} ^{n}$, umum ditandai oleh sebuah himpunan konstrain, yakni kumpulan persamaan atau pertidaksamaan yang perlu dipenuhi oleh anggota $A$. Domain $A$ dari fungsi $f$ disebut dengan ruang pencarian atau ruang pilihan, sedangkan elemen dari $A$ disebut dengan kandidat solusi atau solusi feasibel (solusi yang mungkin).

Terdapat banyak nama bagi fungsi $f$, yang secara umum disebut dengan fungsi objektif. Untuk masalah minimisasi, fungsi ini terkadang disebut dengan fungsi kerugian atau fungsi biaya); sedangkan masalah maksimisasi terkadang menggunakan terminologi fungsi kecocokan (fitness function) atau fungsi utilitas. Pada beberapa bidang, fungsi ini juga disebut dengan fungsi energi. Solusi feasibel yang meminimumkan (atau memaksimumkan jika itu tujuan akhirnya) nilai fungsi objektif dikenal sebagai solusi optimal.

Sebuah [titik] minimum lokal $\mathbf {x} ^{*}$ didefinisikan sebagai elemen yang memiliki suatu $\delta >0$ dan untuk$$\forall \mathbf {x} \in A\;{\text{dengan}}\;\left\Vert \mathbf {x} -\mathbf {x} ^{\ast }\right\Vert \leq \delta ,\,$$akan berlaku hubungan $f(\mathbf {x} ^{*})\leq f(\mathbf {x} )$. Secara informal definisi ini mengatakan bahwa $\mathbf {x} ^{*}$ menghasilkan nilai fungsi yang terkecil, ketika dibandingkan tetangga-tetangga disekitarnya. [Titik] maksimum lokal didefinisikan dengan cara yang serupa. Jika titik minimum lokal memberikan solusi yang setidaknya sama baiknya dengan solusi disekitar titik tersebut, titik minimum global akan memberikan solusi yang setidaknya sama baiknya dengan semua solusi yang mungkin. Secara umum, kecuali fungsi objektif bersifat konveks, ada kemungkinan titik [minimum/maksimum] lokal, dan tidak semuanya juga merupakan titik [minimum/maksimum] global.

Banyak algoritma dikembangkan untuk menyelesaikan masalah non-konveks, namun sebagian besar tidak dapat membedakan solusi optimal lokal dengan solusi optimal global; mereka akan menganggap solusi optimal lokal sebagai solusi sebenarnya bagi masalah optimisasi. Optimisasi global adalah cabang matematika terapan dan analisis numerik yang mengkaji perkembangan algoritma deterministik dan memastikan konvergensi dalam waktu yang terbatas (finite time), untuk menemukan solusi optimal masalah non-konveks

Notasi

Masalah optimisasi sering diekspresikan menggunakan notasi khusus. Berikut beberapa notasi yang digunakan berserta penjelasan singkatnya:

Nilai minimum dan maksimum sebuah fungsi

Perhatikan notasi berikut:$$\min _{x\in \mathbb {R} }\;\left(x^{2}+1\right)$$Notasi ini menandakan nilai minimum dari fungsi objektif $x^{2}+1$, ketika $x$ dipilih dari himpunan bilangan real $\mathbb {R}$. Nilai minimum dalam kasus ini adalah 1, dan terjadi ketika $x=0$ .

Serupa dengan itu, notasi$$\max _{x\in \mathbb {R} }\;2x$$menandakan nilai maksimum dari fungsi objektif $2x$, dengan $x$ dapat berupa sebarang bilangan real. Fungsi objektif ini tidak memiliki nilai maksimum, karena fungsi tidak terbatas (dari atas). Dalam kasus ini nilai maksimum adalah "tak hingga" atau "tidak terdefinisi", tergantung konteks pembicaraan.

Argumen input yang optimal

Artikel utama: Arg max

Notasi seperti$${\underset {x\in (-\infty ,-1]}{\operatorname {arg\,min} }}\;x^{2}+1,$$atau secara ekuivalen juga dapat ditulis sebagai$${\underset {x}{\operatorname {arg\,min} }}\;x^{2}+1,\;{\text{dengan kendala:}}\;x\in (-\infty ,-1].$$menandakan nilai (atau nilai-nilai jika ada lebih dari satu) argumen $x$ pada selang $(-\infty ,-1]$ yang meminimumkan fungsi objektif $x^{2}+1$. Perlu diperhatikan notasi ini tidak merujuk pada nilai minimum dari fungsi, namun nilai argumen yang membuat nilai fungsi minimum. Dalam kasus ini, jawabannya adalah $x=-1$. Nilai $x=0$ bukan solusi karena dia bukan anggota himpunan feasibel $x^{2}+1$.

Serupa dengan itu, notasi seperti

${\underset {x\in [-5,5],\;y\in \mathbb {R} }{\operatorname {arg\,max} }}\;x\cos y,$

atau juga dapat ditulis sebagai

${\underset {x,\;y}{\operatorname {arg\,max} }}\;x\cos y,\;{\text{dengan kendala:}}\;x\in [-5,5],\;y\in \mathbb {R} ,$

merepresentasikan semua himpunan berurut $\{x,y\}$ yang memaksimumkan nilai fungsi objektif $x\cos y$, dengan batasan nilai $x$ perlu terletak di selang $[-5,5]$. Dalam kasus ini, solusi dari notasi tersebut adalah semua himpunan berurut yang memiliki bentuk $\{5,2k\pi \}$ dan $\{-5,(2k+1)\pi \}$, dengan $k$ merupakan bilangan bulat.

Operators $\arg \min$ dan $\arg \max$ terkadang juga ditulis sebagai ${\text{argmin}}$ dan ${\text{argmax}}$; secara berurutan memiliki arti "argumen dari minimum" dan "argumen dari maksimum".

Sejarah

Fermat dan Lagrange menemukan formula untuk mengidentifikasi nilai optimal, yang berdasar pada kalkulus. Sementara itu, Newton dan Gauss mengusulkan metode iteratif yang mengubah nilai feasibel ke arah nilai optimal. George B. Dantzig mencetuskan istilah "pemrograman linear" untuk menyelesaikan beberapa kasus optimisasi,walau sebagian teori sudah diperkenalkan oleh Leonid Kantorovich pada tahun 1939. Kata "pemrograman" dalam konteks ini tidak merujuk pada "pemrogramam komputer", namun merujuk pada penggunaan program oleh pihak militer Amerika Serikat untuk menyebut proposal pelatihan dan jadwal; masalah-masalah yang dipelajari oleh Dantzig pada waktu itu. Pada tahun 1947, Dantzig mempublikasikan algoritma simplex, sedangkan John von Neumann mengembangkan teori dualitas. Beberapa peneliti lain yang terkenal dalam bidang optimisasi adalah:

• Richard Bellman
• Roger Fletcher
• Ronald A. Howard
• Fritz John
• Narendra Karmarkar
• William Karush
• Leonid Khachiyan
• Bernard Koopman
• Harold Kuhn
• László Lovász
• Arkadi Nemirovski
• Yurii Nesterov
• Lev Pontryagin
• R. Tyrrell Rockafellar
• Naum Z. Shor
• Albert Tucker

Bacaan lebih lanjut

• Boyd, Stephen P.; Vandenberghe, Lieven (2004). Convex Optimization. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-83378-7. 
• Gill, P. E.; Murray, W.; Wright, M. H. (1982). Practical Optimization. London: Academic Press. ISBN 0-12-283952-8. 
• Lee, Jon (2004). A First Course in Combinatorial Optimization. Cambridge University Press. ISBN 0-521-01012-8. 
• Nocedal, Jorge; Wright, Stephen J. (2006). Numerical Optimization (edisi ke-2nd). Berlin: Springer. ISBN 0-387-30303-0. 
• Snyman, J. A.; Wilke, D. N. (2018). Practical Mathematical Optimization : Basic Optimization Theory and Gradient-Based Algorithms (edisi ke-2nd). Berlin: Springer. ISBN 978-3-319-77585-2. 

Pranala luar

• "Decision Tree for Optimization Software".  Links to optimization source codes
• "Global optimization". 
• "EE364a: Convex Optimization I". Course from Stanford University. 
• Varoquaux, Gaël. "Mathematical Optimization: Finding Minima of Functions".