Identitas Euler

Identitas Euler^{[n 1]} (bahasa Inggris: Euler's identity; juga dikenal sebagai persamaan Euler, bahasa Inggris: Euler's equation), dalam analisis matematika, adalah suatu persamaan yang dirumuskan sebagai:

e^{i\pi }+1=0,\,\!

di mana $e\,\!$ adalah bilangan Euler, $i\,\!$ adalah unit imajiner dan $\pi \,\!$ adalah pi (atau konstanta Archimedes).

Analisis

Rumus Euler untuk suatu sudut umum

Persamaan tersebut menunjukkan hubungan yang erat antar kelima bilangan paling penting dalam matematika, yaitu:

$0\,\!$ adalah identitas penambahan,
$1\,\!$ adalah identitas perkalian,
$e\,\!$ adalah bilangan Euler, basis logaritma natural, yang nilainya adalah mendekati 2.71828182845905,
$i\,\!$ adalah unit imajiner, salah satu dari dua bilangan kompleks yang kuadratnya negatif satu (bilangan yang satu lagi adalah $-i\,\!$ ), dan
$\pi \,\!$ adalah pi, rasio perbandingan antara keliling lingkaran dengan diameternya, yang nilainya adalah mendekati 3.14159265358979.

Perhatikan juga bahwa dalam persamaan tersebut terdapat operasi dasar aritmetika yaitu penambahan, perkalian, dan perpangkatan, dan masing-masing muncul tepat satu kali.

Identitas Euler dinamakan untuk mengenang ahli matematika Leonhard Euler.

Secara geometris persamaan ini dapat dibayangkan sebagai rotasi titik $(1,0)$ pada bidang kompleks sebesar 180° ( $\pi$ radian), dilanjutkan dengan translasi sebesar $1$ searah sumbu $x$ . Deretan transformasi tersebut tiba pada titik asal $(0,0)$ .

Bukti

Identitas Euler dapat dibuktikan menggunaan formula:

e^{ix}=\cos x+i\sin x\,\!

dengan mensubtitusikan $x$ dengan $\pi$ didapat:

{\begin{aligned}e^{i\pi }&=\cos \pi +i\sin \pi \\&=-1+i0\\=-1\end{aligned}}

Sehingga dengan menambahkan kedua ruas dengan 1 diperoleh persamaan:

e^{i\pi }+1=0\,\!

Lihat pula

Bilangan kompleks

Catatan

^ The term "Euler's identity" (or "Euler identity") is also used elsewhere to refer to other concepts, including the related general formula $e ix = cos x + i sin x$ ,^[1] and the Euler product formula.^[2]

Referensi

^ Dunham, 1999, p. xxiv.
^ Stepanov, S. A. (7 February 2011). "Euler identity". Encyclopedia of Mathematics. Diakses tanggal 18 February 2014.

[3] The term "Euler's identity" (or "Euler identity") is also used elsewhere to refer to other concepts, including the related general formula $e ix = cos x + i sin x$ ,^[1] and the Euler product formula.^[2]

[1] Dunham, 1999, p. xxiv.

[EOM-2] Stepanov, S. A. (7 February 2011). "Euler identity". Encyclopedia of Mathematics. Diakses tanggal 18 February 2014.

[n 1]

[1]

[2]