Pengguna:Dedhert.Jr/Uji halaman 12

Identitas trigonometri merupakan suatu identitas yang mencakup berbagai rumus-rumus trigonometri untuk mengkomputasi bentuk-bentuk yang elusif menjadi lebih mudah. Untuk memverifikasi suatu identitas trigonometri, dibutuhkanlah suatu bukti-bukti identitas trigonometri. Berikut adalah kumpulan bukti-bukti identitas trigonometri.

Fungsi trigonometri elementer

Definisi fungsi trigonometri

Segitiga siku-siku $ABC$, dengan $\angle A=\theta$, $AB=h$ adalah hipotenusa, $BC=a$ adalah sisi depan dan $AC=b$ adalah sisi samping

Untuk memulai pemahaman identitas, kita perlu memahami definisi dari keenam fungsi trigonometri. Perhatikan bahwa trigonometri mengaitkan sudut-sudut dan sisi-sisi segitiga siku-siku. Suatu fungsi tersebut didefinisikan sebagai berikut.

Sinus dan kosinus

Secara geometri, sinus pada sudut $\theta$ sama dengan rasio sisi depan dengan hipotenusa, sementara kosinus pada sudut $\theta$ sama dengan rasio sisi samping dengan hipotenusa. Misal $a$, $b$, dan $h$ adalah sisi depan, sisi miring, dan hipotenusa.

$\sin \theta ={\frac {a}{h}}$

(1.1)

$\cos \theta ={\frac {b}{h}}$

(1.2)

Tangen

Secara geometri, tangen pada $\theta$ sama dengan rasio sisi depan dengan sisi samping. Kita rumuskan secara matematis, yaitu:

$\tan \theta ={\frac {a}{b}}$

(1.3)

Fungsi tangen juga merupakan rasio fungsi trigonometri sinus dan kosinus. Untuk membuktikannya, cukup menggunakan rumus di atas dan mengeksploitasinya dengan memakai sifat-sifat pembatalan aljabar.

$\tan \theta ={\frac {a}{b}}={\frac {\frac {a}{h}}{\frac {b}{h}}}={\frac {\sin \theta }{\cos \theta }}$

(1.4)

Kosekan, sekan, dan kotangen

Fungsi kosekan, sekan, dan kotangen merupakan invers perkalian dari sinus, kosinus, dan tangen. Ketiganya dirumuskan sebagai

$\csc \theta ={\frac {1}{\sin \theta }}={\frac {1}{\frac {a}{h}}}={\frac {h}{a}}$

(1.5)

$\sec \theta ={\frac {1}{\cos \theta }}={\frac {1}{\frac {b}{h}}}={\frac {h}{b}}$

(1.6)

$\cot \theta ={\frac {1}{\tan \theta }}={\frac {1}{\frac {\sin \theta }{\cos \theta }}}={\frac {\cos \theta }{\sin \theta }}$

(1.7)

Identitas Pythagoras

Identitas Pythagoras merupakan turunan dari teorema Pythagoras, yang melibatkan fungsi trigonometri. Dasar-dasr identitas Pythagoras ada tiga, yaitu: