Identitas trigonometri merupakan suatu identitas yang mencakup berbagai rumus-rumus trigonometri untuk mengkomputasi bentuk-bentuk yang elusif menjadi lebih mudah. Untuk memverifikasi suatu identitas trigonometri, dibutuhkanlah suatu bukti-bukti identitas trigonometri. Berikut adalah kumpulan bukti-bukti identitas trigonometri.
Untuk memulai pemahaman identitas, kita perlu memahami definisi dari keenam fungsi trigonometri. Perhatikan bahwa trigonometri mengaitkan sudut-sudut dan sisi-sisisegitiga siku-siku. Suatu fungsi tersebut didefinisikan sebagai berikut.
Secara geometri, sinus pada sudut sama dengan rasio sisi depan dengan hipotenusa, sementara kosinus pada sudut sama dengan rasio sisi samping dengan hipotenusa. Misal , , dan adalah sisi depan, sisi miring, dan hipotenusa.
Secara geometri, tangen pada sama dengan rasio sisi depan dengan sisi samping. Kita rumuskan secara matematis, yaitu:
(1.3)
Fungsi tangen juga merupakan rasio fungsi trigonometri sinus dan kosinus. Untuk membuktikannya, cukup menggunakan rumus di atas dan mengeksploitasinya dengan memakai sifat-sifat pembatalan aljabar.
Bukti dapat dipakai menggunakan segitiga siku-siku. Pada persamaan (1.8), dengan menggunakan definisi fungsi trigonometri di atas. Hal yang serupa pada persamaan (1.9) dan (1.10).
Pada pembuktian (1.9), , yang kita peroleh melalui teorema Pythagoras. Pembuktian (1.10) dan (1.11) dapat dilakukan dengan hal yang serupa. Terdapat versi lain untuk membuktikan (1.10) dan (1.11). Dengan menggunakan (1.3) dan (1.7), yakni rasio fungsi trigonometri tersebut, maka ekspresi yang diperoleh adalah
Versi lainnya adalah menggunakan teorema Pythagoras, masing-masing , , dan membagi persamaan tersebut.
Bukti-bukti mengenai identitas Pythagoras masih jauh lebih banyak. Buktinya dapat dikerjakan melalui satuan lingkaran, deret pangkat, persamaan diferensial, dan rumus Euler. Lihat Identitas Pythagoras#Bukti untuk melihat lebih lanjut.
Jumlah dan selisih sudut
Jumlah dan selisih suatu sudut dirumuskan sebagai[1]
(2.1)
(2.2)
(2.3)
Pada gambar di samping (baik kanan maupun kiri), terdapat diagram jumlah sudut yang memudahkan pemahamannya.
Bukti melalui aljabar
Pada rumus-rumus di atas, kita dapat membuktikannya secara aljabar dengan cara mengeksploitasikan suatu identitas-identitas sudut komplementer tersebut.
Sinus
Kita dapat menggunakan sifat dan , serta menggunakan (2.2).
Kosinus
Lagi-lagi, kita gunakan sifat identitas komplementer, yakni dan juga memerlukan (2.1).
Tangen
Kita tidak dapat menggunakan identitas sudut komplementer, melainkan kita menggunakan (1.4) beserta (2.1) dan (2.2).