Persamaan Matematis
Persamaan Klein-Gordon dapat ditulis dalam beberapa notasi, termasuk notasi vektor empat
dibawah adalah kedua persamaan Klein-Gordon yang sering ditemui.
Persamaan Klein-Gordon menggunakan unit natural dengan notasi matrix
η
μ
ν
=
diag
(
±
1
,
∓
1
,
∓
1
,
∓
1
)
{\displaystyle \eta _{\mu \nu }={\text{diag}}(\pm 1,\mp 1,\mp 1,\mp 1)}
Posisi Ruang
x
=
(
c
t
,
x
)
{\displaystyle x=(ct,\mathbf {x} )}
Transformasi Fourier
ω
=
E
/
ℏ
,
k
=
p
/
ℏ
{\displaystyle \omega =E/\hbar ,\quad \mathbf {k} =\mathbf {p} /\hbar }
Momentum Ruang
p
=
(
E
/
c
,
p
)
{\displaystyle p=(E/c,\mathbf {p} )}
Notasi normal
(
1
c
2
∂
2
∂
t
2
−
∇
2
+
m
2
c
2
ℏ
2
)
ψ
(
t
,
x
)
=
0
{\displaystyle \left({\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}+{\frac {m^{2}c^{2}}{\hbar ^{2}}}\right)\psi (t,\mathbf {x} )=0}
ψ
(
t
,
x
)
=
∫
d
ω
2
π
ℏ
∫
d
3
k
(
2
π
ℏ
)
3
e
∓
i
(
ω
t
−
k
⋅
x
)
ψ
(
ω
,
k
)
{\displaystyle \psi (t,\mathbf {x} )=\int {\frac {\mathrm {d} \omega }{2\pi \hbar }}\int {\frac {\mathrm {d} ^{3}k}{(2\pi \hbar )^{3}}}\,e^{\mp i(\omega t-\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} )}\psi (\omega ,\mathbf {k} )}
E
2
=
p
2
c
2
+
m
2
c
4
{\displaystyle E^{2}=\mathbf {p} ^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}}
Notasi vektor-empat
(
◻
+
μ
2
)
ψ
(
x
)
=
0
,
μ
=
m
c
/
ℏ
{\displaystyle (\Box +\mu ^{2})\psi (x)=0,\quad \mu =mc/\hbar }
ψ
(
x
)
=
∫
d
4
p
(
2
π
ℏ
)
4
e
−
i
p
⋅
x
/
ℏ
ψ
(
p
)
{\displaystyle \psi (x)=\int {\frac {\mathrm {d} ^{4}p}{(2\pi \hbar )^{4}}}e^{-ip\cdot x/\hbar }\psi (p)}
p
2
=
±
m
2
c
2
{\displaystyle p^{2}=\pm m^{2}c^{2}}
Dengan,
◻
=
±
η
μ
ν
∂
μ
∂
ν
{\displaystyle \Box =\pm \eta ^{\mu \nu }\partial _{\mu }\partial _{\nu }}
d'Alembert dan
∇
2
{\displaystyle \nabla ^{2}}
Operator Laplace . Dengan kecepatan cahaya
c
{\displaystyle c}
konstanta planck
ℏ
{\displaystyle \hbar }
kesepakatan satuan dimana
c
=
ℏ
=
1
{\displaystyle c=\hbar =1}
Interaksi Gravitasi
Dalam relativitas umum, kami memasukkan efek gravitasi dengan mengganti parsial dengan turunan kovarian, dan persamaan Klein–Gordon menjadi (dalam tanda sebagian besar plus)
0
=
−
g
μ
ν
∇
μ
∇
ν
ψ
+
m
2
c
2
ℏ
2
ψ
=
−
g
μ
ν
∇
μ
(
∂
ν
ψ
)
+
m
2
c
2
ℏ
2
ψ
=
−
g
μ
ν
∂
μ
∂
ν
ψ
+
g
μ
ν
Γ
σ
μ
ν
∂
σ
ψ
+
m
2
c
2
ℏ
2
ψ
,
{\displaystyle {\begin{aligned}0&=-g^{\mu \nu }\nabla _{\mu }\nabla _{\nu }\psi +{\dfrac {m^{2}c^{2}}{\hbar ^{2}}}\psi =-g^{\mu \nu }\nabla _{\mu }(\partial _{\nu }\psi )+{\dfrac {m^{2}c^{2}}{\hbar ^{2}}}\psi \\&=-g^{\mu \nu }\partial _{\mu }\partial _{\nu }\psi +g^{\mu \nu }\Gamma ^{\sigma }{}_{\mu \nu }\partial _{\sigma }\psi +{\dfrac {m^{2}c^{2}}{\hbar ^{2}}}\psi ,\end{aligned}}}
Atau bisa ditulis dengan,
−
1
−
g
∂
μ
(
g
μ
ν
−
g
∂
ν
ψ
)
+
m
2
c
2
ℏ
2
ψ
=
0
,
{\displaystyle {\frac {-1}{\sqrt {-g}}}\partial _{\mu }\left(g^{\mu \nu }{\sqrt {-g}}\partial _{\nu }\psi \right)+{\frac {m^{2}c^{2}}{\hbar ^{2}}}\psi =0,}
Dimana gαβ invers metrik dari tensor metrik , g adalah determinan dari tensor metrik, ∇μ adalah turunan kovarian , dan Γσ μν adalah Simbol Christoffel
Tinjauan Pustaka
Catatan
Halaman ini belum sempurna, dan masih menggunakan beberapa kata dari halaman wikipedia berbahasa inggris
Beberapa koevisien dan konstanta masih belum terbuat halaman independen nya.
Lihat juga 
