Pengguna:Dedhert.Jr/Uji halaman 12

Identitas trigonometri merupakan suatu identitas yang mencakup berbagai rumus-rumus trigonometri untuk mengkomputasi bentuk-bentuk yang elusif menjadi lebih mudah. Untuk memverifikasi suatu identitas trigonometri, dibutuhkanlah suatu bukti-bukti identitas trigonometri. Berikut adalah kumpulan bukti-bukti identitas trigonometri.

Fungsi trigonometri elementer

Definisi fungsi trigonometri

Segitiga siku-siku $ABC$, dengan $\angle A=\theta$, $AB=h$ adalah hipotenusa, $BC=a$ adalah sisi depan dan $AC=b$ adalah sisi samping

Untuk memulai pemahaman identitas, perlu terlebih dahulu memahami definisi dari keenam fungsi trigonometri. Perhatikan bahwa trigonometri mengaitkan sudut-sudut dan sisi-sisi segitiga siku-siku. Suatu fungsi tersebut didefinisikan sebagai berikut.

Sinus dan kosinus

Secara geometri, sinus pada sudut $\theta$ sama dengan rasio sisi depan dengan hipotenusa, sementara kosinus pada sudut $\theta$ sama dengan rasio sisi samping dengan hipotenusa. Misal $a$, $b$, dan $h$ adalah sisi depan, sisi miring, dan hipotenusa.

$\sin \theta ={\frac {a}{h}}$

(1.1)

$\cos \theta ={\frac {b}{h}}$

(1.2)

Tangen

Secara geometri, tangen pada $\theta$ sama dengan rasio sisi depan dengan sisi samping. Ini dirumuskan secara matematis, yaitu:

$\tan \theta ={\frac {a}{b}}$

(1.3)

Fungsi tangen juga merupakan rasio fungsi trigonometri sinus dan kosinus. Untuk membuktikannya, cukup menggunakan rumus di atas dan mengeksploitasinya dengan memakai sifat-sifat pembatalan aljabar.

$\tan \theta ={\frac {a}{b}}={\frac {\frac {a}{h}}{\frac {b}{h}}}={\frac {\sin \theta }{\cos \theta }}$

(1.4)

Kosekan, sekan, dan kotangen

Fungsi kosekan, sekan, dan kotangen merupakan invers perkalian dari sinus, kosinus, dan tangen. Ketiganya dirumuskan sebagai

$\csc \theta ={\frac {1}{\sin \theta }}={\frac {1}{\frac {a}{h}}}={\frac {h}{a}}$

(1.5)

$\sec \theta ={\frac {1}{\cos \theta }}={\frac {1}{\frac {b}{h}}}={\frac {h}{b}}$

(1.6)

$\cot \theta ={\frac {1}{\tan \theta }}={\frac {1}{\frac {\sin \theta }{\cos \theta }}}={\frac {\cos \theta }{\sin \theta }}$

(1.7)

Identitas Pythagoras

Identitas Pythagoras merupakan turunan dari teorema Pythagoras, yang melibatkan fungsi trigonometri. Dasar-dasar identitas Pythagoras ada tiga, yaitu:

$\sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta =1$

(1.8)

$\tan ^{2}\theta +1=\sec ^{2}\theta$

(1.9)

$\cot ^{2}\theta +1=\csc ^{2}\theta$

(1.10)

Bukti dapat dipakai menggunakan segitiga siku-siku. Pada persamaan (1.8), dengan menggunakan definisi fungsi trigonometri di atas. Hal yang serupa pada persamaan (1.9) dan (1.10).

$\left.{\begin{matrix}{\begin{aligned}\sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta &=\left({\frac {b}{h}}\right)^{2}+\left({\frac {a}{h}}\right)^{2}\\&={\frac {a^{2}+b^{2}}{h^{2}}}\\&={\frac {h^{2}}{h^{2}}}\\&=1\end{aligned}}\\\end{matrix}}\right|\left.{\begin{matrix}{\begin{aligned}\tan ^{2}\theta +1&=\left({\frac {a}{b}}\right)^{2}+1\\&={\frac {a^{2}+b^{2}}{b^{2}}}\\&={\frac {h^{2}}{b^{2}}}=\left({\frac {h}{b}}\right)^{2}\\&=\sec ^{2}\theta \end{aligned}}\end{matrix}}\right|{\begin{aligned}\cot ^{2}\theta +1&=\left({\frac {b}{a}}\right)^{2}+1\\&={\frac {b^{2}+a^{2}}{a^{2}}}\\&={\frac {h^{2}}{a^{2}}}=\left({\frac {h}{a}}\right)^{2}\\&=\csc ^{2}\theta \qquad \blacksquare \end{aligned}}$

Pada pembuktian (1.9), $a^{2}+b^{2}=h^{2}$, yang diperoleh melalui teorema Pythagoras. Pembuktian (1.10) dan (1.11) dapat dilakukan dengan hal yang serupa. Terdapat versi lain untuk membuktikan (1.10) dan (1.11). Dengan menggunakan (1.3) dan (1.7), yakni rasio fungsi trigonometri tersebut, maka ekspresi yang diperoleh adalah

$\left.{\begin{matrix}{\begin{aligned}\tan ^{2}\theta +1&={\frac {\sin ^{2}\theta }{\cos ^{2}\theta }}+{\frac {\cos ^{2}\theta }{\cos ^{2}\theta }}\\&={\frac {1}{\cos ^{2}\theta }}\\&=\sec ^{2}\theta \end{aligned}}\end{matrix}}\right|{\begin{aligned}\cot ^{2}\theta +1&={\frac {\cos ^{2}\theta }{\sin ^{2}\theta }}+{\frac {\sin ^{2}\theta }{\sin ^{2}\theta }}\\&={\frac {1}{\sin ^{2}A\theta }}\\&=\csc ^{2}\theta \qquad \blacksquare \end{aligned}}$

Versi lainnya adalah menggunakan teorema Pythagoras, masing-masing $h^{2}$, $b^{2}$, dan $a^{2}$ membagi persamaan tersebut.

$\left.{\begin{matrix}{\begin{aligned}a^{2}+b^{2}&=h^{2}\\\left({\frac {a}{h}}\right)^{2}+\left({\frac {b}{h}}\right)^{2}&=\left({\frac {h}{h}}\right)^{2}\\\sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta &=1\end{aligned}}\\\end{matrix}}\right|\left.{\begin{matrix}{\begin{aligned}a^{2}+b^{2}&=h^{2}\\\left({\frac {a}{b}}\right)^{2}+\left({\frac {b}{b}}\right)^{2}&=\left({\frac {h}{b}}\right)^{2}\\\tan ^{2}\theta +1&=\sec ^{2}\theta \end{aligned}}\end{matrix}}\right|{\begin{aligned}a^{2}+b^{2}&=h^{2}\\\left({\frac {a}{a}}\right)^{2}+\left({\frac {b}{a}}\right)^{2}&=\left({\frac {h}{a}}\right)^{2}\\1+\cot ^{2}\theta &=\csc ^{2}\theta \qquad \blacksquare \end{aligned}}$

Bukti-bukti mengenai identitas Pythagoras masih jauh lebih banyak. Buktinya dapat dikerjakan melalui satuan lingkaran, deret pangkat, persamaan diferensial, dan rumus Euler. Lihat Identitas Pythagoras#Bukti untuk melihat lebih lanjut.

Jumlah dan selisih sudut

Jumlah dan selisih suatu sudut dirumuskan sebagai

$\sin(\alpha \pm \beta )=\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta$

(2.1)

$\cos(\alpha \pm \beta )=\cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta$

(2.2)

$\tan(\alpha \pm \beta )={\frac {\tan \alpha \pm \tan \beta }{1\mp \tan \alpha \tan \beta }}$

(2.3)

:

$\cot(\alpha \pm \beta )={\frac {\cot \alpha \cot \beta \pm 1}{\cot \beta \pm \cot \alpha }}$

(2.4)

Bukti melalui aljabar

Pada rumus-rumus di atas, dapat dibuktikannya secara aljabar dengan cara mengeksploitasikan suatu identitas-identitas sudut komplementer tersebut.

Sinus

Ini dapat menggunakan sifat $\sin \theta =\cos \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)$ dan $\cos \theta =\sin \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)$, serta menggunakan (2.2).

${\begin{aligned}\sin(\alpha +\beta )&=\cos \left({\frac {\pi }{2}}-(\alpha +\beta )\right)\\&=\cos \left(\left({\frac {\pi }{2}}-\alpha \right)-\beta \right)\\&=\cos \left({\frac {\pi }{2}}-\alpha \right)\cos \beta +\sin \left({\frac {\pi }{2}}-\alpha \right)\sin \beta \\&=\sin \alpha \cos \beta +\sin \beta \cos \alpha \end{aligned}}$

Hal yang serupa untuk membuktikan $\sin(\alpha -\beta )=\sin \alpha \cos \beta -\sin \beta \cos \alpha$.

Kosinus

Lagi-lagi, gunakan sifat identitas komplementer, yakni $\cos \theta =\sin \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)$ dan juga memerlukan (2.1).

${\begin{aligned}\cos(\alpha +\beta )&=\sin \left(\left({\frac {\pi }{2}}-\alpha \right)-\beta \right)\\&=\sin \left({\frac {\pi }{2}}-\alpha \right)\cos \beta -\sin \alpha \cos \left({\frac {\pi }{2}}-\alpha \right)\\&=\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta \end{aligned}}$

Hal yang seruap untuk membuktikan $\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta$.

Tangen

Ini tidak dapat menggunakan identitas sudut komplementer, melainkan menggunakan (1.4) beserta (2.1) dan (2.2), lalu membagi pembilang dan penyebut pada pecahan tersebut dengan $\cos \alpha \cos \beta$.

${\begin{aligned}\tan(\alpha +\beta )&={\frac {\sin(\alpha +\beta )}{\cos(\alpha +\beta )}}\\&={\frac {\sin \alpha \cos \beta +\sin \beta \cos \alpha }{\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta }}\\&={\frac {\sin \alpha \cos \beta +\sin \beta \cos \alpha }{\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta }}\cdot {\frac {\frac {1}{\cos \alpha \cos \beta }}{\frac {1}{\cos \alpha \cos \beta }}}\qquad {\text{ bagi penyebut dan pembilang dengan }}\cos \alpha \cos \beta \\&={\frac {\tan \alpha +\tan \beta }{1-\tan \alpha \tan \beta }}\end{aligned}}$

Hal yang serupa untuk membuktikan $\tan(\alpha -\beta )={\frac {\tan \alpha -\tan \beta }{1+\tan \alpha \tan \beta }}$.

Kotangen

Ini dilakukan dengan cara yang serupa, cukup membagi pembilang dan penyebut pada pecahan tersebut dengan $\sin \alpha \sin \beta$.

${\begin{aligned}\cot(\alpha +\beta )&={\frac {\cos(\alpha +\beta )}{\sin(\alpha +\beta )}}\\&={\frac {\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta }{\sin \alpha \cos \beta +\sin \beta \cos \alpha }}\\&={\frac {\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta }{\sin \alpha \cos \beta +\sin \beta \cos \alpha }}\cdot {\frac {\frac {1}{\sin \alpha \sin \beta }}{\frac {1}{\sin \alpha \sin \beta }}}\qquad {\text{ bagi penyebut dan pembilang dengan }}\sin \alpha \sin \beta \\&={\frac {\cot \alpha \cot \beta -1}{\cot \beta +\cot \alpha }}\end{aligned}}$

Hal yang serupa untuk membuktikan $\cot(\alpha -\beta )={\frac {\cot \alpha \cot \beta +1}{\cot \beta -\cot \alpha }}$.

Bukti melalui geometri

Kotangen

Misal $ABC$ adalah segitiga siku-siku. Titik $I$ dan $J$ masing-masing berada di garis $AB$ (sebagai hipotenusa) dan $BC$.(sebagai sisi segitiga) sehingga $AJ$ dan $IJ$ tegak lurus. Begitu pula dengan titik $K$ adalah titik di pertengahan garis $AC$ sehingga $JK$ dan $AC$ juga tegak lurus. Misalkan pula $L$ adalah titik di pertengahan garis $JK$ (tetapi tidak terletak di $AJ$ sehingga $L$ bukanlah titik perpotongan kedua garis tersebut). Maka, $IJL$ adalah segitiga siku-siku.

Sekarang, misalkan $\angle AKL=\alpha$ dan $\angle AJI=\beta$, maka $\angle BAC=\alpha +\beta$ sehingga

$\cot(\alpha +\beta )={\frac {AK}{JK}}$.

Disini, terdapat $AK=AC-KC$, $JK=JL+LK$, dan $JC=LK$ sehingga

$\cot(\alpha +\beta )={\frac {AC-KC}{JL+LK}}={\frac {AC-KC}{JL+JC}}$.

Karena

$\cot \alpha ={\frac {AC}{JC}}\iff AC=JC\cot \alpha$,

maka

$\cot(\alpha +\beta )={\frac {JC\cot \alpha -KC}{JL+JC}}$.

Targetnya adalah mencari $\cot \alpha$ pada segitiga $IJL$. Untuk memulainya, perlu berfokus pada sudut, bahwa $\angle JAC=\angle AJL=\alpha$. Karena garis $AJ$ dan $IJ$ tegak lurus, maka $\angle AJI$ sudut siku-siku. Juga, $IJL$ adalah segitiga siku-siku sehingga $\angle ILJ$ adalah sudut siku-siku, yakni $90^{\circ }$ derajat atau ${\tfrac {\pi }{2}}$ radian.

${\begin{aligned}\angle AJI&=\angle AJL+\angle LIJ\\{\frac {\pi }{2}}&=\alpha +\angle LIJ\\\angle LIJ&={\frac {\pi }{2}}-\alpha \end{aligned}}\left|{\begin{aligned}\angle ILJ+\angle IJL+\angle LIJ&=\pi \\{\frac {\pi }{2}}+{\frac {\pi }{2}}-\alpha +\angle LIJ&=\pi \\\pi -\alpha +\angle LIJ&=\pi \\\angle LIJ&=\alpha \end{aligned}}\right|{\begin{aligned}\cot \alpha &={\frac {IL}{JL}}\\IL&=JL\cot \alpha \end{aligned}}$

Sebagai catatan, bahwa $KC=JL$. Dengan demikian, persamaan di atas dapat dimodifikasikan sebagai

$\cot(\alpha +\beta )={\frac {JC\cot \alpha -KC}{JL\cot \alpha +JC}}={\frac {JL\left({\frac {JC}{JL}}\cot \alpha -{\frac {KC}{JL}}\right)}{JL\left(\cot \alpha +{\frac {JC}{JL}}\right)}}={\frac {{\frac {JC}{JL}}\cot \alpha -1}{\cot \alpha +{\frac {JC}{JL}}}}$

Hanya perlu mencari $\sin \alpha$ pada segitiga siku-siku $ABC$ dan $IJL$ untuk melengkapi potongan-potongan bukti ini. Arkian, cari rumus untuk ${\textstyle {\frac {JC}{JL}}}$ dan $\cot \beta$, kemudian substitusi ke persamaan jumlah sudut kotangen.

$\left.{\begin{aligned}\sin \alpha &={\frac {JC}{AJ}}\\&={\frac {JL}{IJ}}\\{\frac {JC}{AJ}}&={\frac {JL}{IJ}}\\{\frac {JC}{JL}}&={\frac {AJ}{IJ}}\\\end{aligned}}\qquad \right|\left.\qquad {\begin{aligned}\cot(\alpha +\beta )&={\frac {{\frac {AJ}{IJ}}\cot \alpha -1}{\cot \alpha +{\frac {AJ}{IJ}}}}\\\cot \beta &={\frac {AI}{IJ}}\\\cot(\alpha +\beta )&={\frac {\cot \alpha \cot \beta -1}{\cot \alpha +\cot \beta }}\qquad \blacksquare \end{aligned}}\right.$