Daftar identitas trigonometri

Trigonometri merupakan salah satu cabang matematika yang mempelajari sudut dalam segitiga siku-siku (yang dijelaskan secara geometri). Identitas trigonometri merupakan salah satu fungsi trigonometri dimana rumus tersebut memiliki hasil yang sama bila diuji suatu nilai variabel. Identitas berikut ini sangatlah penting dan berguna dalam komputasi yang elusif.

Daftar ini menjelaskan dasar-dasar fungsi, invers fungsi, beserta nilai sudut istimewa pada fungsi trigonometri. Dan juga mengenai jumlah dan perkalian sudut. Mengenai daftar identitas fungsi invers juga dimasukkan ke dalam halaman ini. Terdapat bukti-bukti mengenai rumus-rumus di bawah. Meski begitu, halaman ini hanya menjelaskan bukti singkat pada rumus dan adapula yang tidak. Untuk melihat bukti, lihat Bukti identitas trigonometri. Berikut adalah daftar identitas trigonometri.

Fungsi dasar trigonometri

Artikel utama: Fungsi trigonometri

Segitiga siku-siku $ABC$ dimana $AC=b$ dan $BC=a$ adalah sisi segitiga dan $AB=c$ adalah hipotenusa.

Salah satu fungsi trigonometri paling umum, semenjak kita duduk di bangku sekolah menengah atas adalah fungsi trigonometri seperti sinus, kosinus, tangen, sekan, kosekan, dan kotangen. Secara geometri, keenam fungsi trigonometri tersebut dapat didefinisikan melalui sudut pada segitiga. Misalkan $ABC$ adalah segitiga siku-siku, $a$ dan $b$ adalah sisi-sisi segitiga beserta $c$ adalah hipotenusa atau sisi miring segitiga. Misalkan $A$ adalah sudut yang diketahui. Maka,

$\sin A={\frac {a}{c}}$

$\cos A={\frac {b}{c}}$

$\tan A={\frac {a}{b}}={\frac {\sin A}{\cos A}}$

$\cot A={\frac {1}{\tan A}}={\frac {\cos A}{\sin A}}={\frac {b}{a}}$

$\sec A={\frac {1}{\cos A}}={\frac {c}{b}}$.

$\csc A={\frac {1}{\sin A}}={\frac {c}{a}}$.

Keenam fungsi trigonometri di atas memiliki grafik, dengan ranah dan kisaran pada setiap dari mereka adalah berbeda, terutama periodenya. Tanpa basa-basi, berikut adalah daftar fungsi trigonometri yang ditabelkan, dengan periode, ranah, kisaran, beserta visualisasi grafik fungsi.

Fungsi	Periode	Ranah	Kisaran	Grafik
sinus	$2\pi$	$(-\infty ,\infty )$	$[-1,1]$
kosinus	$2\pi$	$(-\infty ,\infty )$	$[-1,1]$
tangen	$\pi$	$x\neq {\frac {\pi }{2}}+n\pi$	$(-\infty ,\infty )$
sekan	$2\pi$	$x\neq {\frac {\pi }{2}}+n\pi$	$(-\infty ,-1]\cup [1,\infty )$
kosekan	$2\pi$	$x\neq n\pi$	$(-\infty ,-1]\cup [1,\infty )$
kotangen	$\pi$	$x\neq n\pi$	$(-\infty ,\infty )$

Nilai sudut istimewa

Berikut adalah nilai sudut istimewa pada keenam fungsi trigonometri:

Sinus Kosinus Tangen Kotangen Sekan Kosekan 0° $0$ $1$ $0$ $\infty$ $1$ $\infty$ 8° ${\frac {\sqrt {2}}{10}}$ ${\frac {7{\sqrt {2}}}{10}}$ ${\frac {1}{7}}$ $7$ ${\frac {5{\sqrt {2}}}{7}}$ $5{\sqrt {2}}$ 15° ${\frac {{\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}}{4}}$ ${\frac {{\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}}{4}}$ $2-{\sqrt {3}}$ $2+{\sqrt {3}}$ ${\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}$ ${\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}$ 16° ${\frac {7}{25}}$ ${\frac {24}{25}}$ ${\frac {7}{24}}$ ${\frac {24}{7}}$ ${\frac {25}{24}}$ ${\frac {25}{7}}$ 18° ${\frac {-1+{\sqrt {5}}}{4}}$ ${\frac {\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}{4}}$ ${\frac {(-5+3{\sqrt {5}}){\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}}{20}}$ ${\frac {(1+{\sqrt {5}}){\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}}{4}}$ ${\frac {(5-{\sqrt {5}}){\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}}{10}}$ $1+{\sqrt {5}}$ 30° ${\frac {1}{2}}$ ${\frac {\sqrt {3}}{2}}$ ${\frac {\sqrt {3}}{3}}$ ${\sqrt {3}}$ ${\frac {2{\sqrt {3}}}{3}}$ $2$ 36° ${\frac {\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}{4}}$ ${\frac {1+{\sqrt {5}}}{4}}$ ${\frac {(-1+{\sqrt {5}}){\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}}{4}}$ ${\frac {(5+3{\sqrt {5}}){\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}}{20}}$ $-1+{\sqrt {5}}$ ${\frac {(5+{\sqrt {5}}){\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}}{10}}$ 37° ${\frac {3}{5}}$ ${\frac {4}{5}}$ ${\frac {3}{4}}$ ${\frac {4}{3}}$ ${\frac {5}{4}}$ ${\frac {5}{3}}$ 45° ${\frac {\sqrt {2}}{2}}$ ${\frac {\sqrt {2}}{2}}$ $1$ $1$ ${\sqrt {2}}$ ${\sqrt {2}}$ 53° ${\frac {4}{5}}$ ${\frac {3}{5}}$ ${\frac {4}{3}}$ ${\frac {3}{4}}$ ${\frac {5}{3}}$ ${\frac {5}{4}}$ 54° ${\frac {1+{\sqrt {5}}}{4}}$ ${\frac {\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}{4}}$ ${\frac {(5+3{\sqrt {5}}){\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}}{20}}$ ${\frac {(-1+{\sqrt {5}}){\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}}{4}}$ ${\frac {(5+{\sqrt {5}}){\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}}{10}}$ $-1+{\sqrt {5}}$ 60° ${\frac {\sqrt {3}}{2}}$ ${\frac {1}{2}}$ ${\sqrt {3}}$ ${\frac {\sqrt {3}}{3}}$ $2$ ${\frac {2{\sqrt {3}}}{3}}$ 72° ${\frac {\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}{4}}$ ${\frac {-1+{\sqrt {5}}}{4}}$ ${\frac {(1+{\sqrt {5}}){\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}}{4}}$ ${\frac {(-5+3{\sqrt {5}}){\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}}{20}}$ $1+{\sqrt {5}}$ ${\frac {(5-{\sqrt {5}}){\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}}{10}}$ 74° ${\frac {24}{25}}$ ${\frac {7}{25}}$ ${\frac {24}{7}}$ ${\frac {7}{24}}$ ${\frac {25}{7}}$ ${\frac {25}{24}}$ 75° ${\frac {{\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}}{4}}$ ${\frac {{\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}}{4}}$ $2+{\sqrt {3}}$ $2-{\sqrt {3}}$ ${\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}$ ${\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}$ 82° ${\frac {7{\sqrt {2}}}{10}}$ ${\frac {\sqrt {2}}{10}}$ $7$ ${\frac {1}{7}}$ $5{\sqrt {2}}$ ${\frac {5{\sqrt {2}}}{7}}$ 90° $1$ $0$ $\infty$ $0$ $\infty$ $1$

Fungsi invers trigonometri

Fungsi invers trigonometri merupakan fungsi yang merupakan kebalikan dari fungsi dasar trigonometri. Lazimnya, fungsi invers trigonometri biasanya dinotasikan dengan prefiks arc-. Terkadang, fungsi invers trigonometri juga dituliskan melalui notasi eksponen $^{-1}$.

Berikut adalah fungsi invers trigonometri, dengan ranah dan kisarannya, antara lain:

Nama fungsi	Simbol		Ranah		Citra/Kisaran	Fungsi invers		Ranah		Citra
sinus	$\sin$	$:$	$\mathbb {R}$	$\to$	$[-1,1]$	$\arcsin$	$:$	$[-1,1]$	$\to$	$\left[-{\tfrac {\pi }{2}},{\tfrac {\pi }{2}}\right]$
kosinus	$\cos$	$:$	$\mathbb {R}$	$\to$	$[-1,1]$	$\arccos$	$:$	$[-1,1]$	$\to$	$[0,\pi ]$
tangen	$\tan$	$:$	$\pi \mathbb {Z} +\left(-{\tfrac {\pi }{2}},{\tfrac {\pi }{2}}\right)$	$\to$	$\mathbb {R}$	$\arctan$	$:$	$\mathbb {R}$	$\to$	$\left(-{\tfrac {\pi }{2}},{\tfrac {\pi }{2}}\right)$
kotangen	$\cot$	$:$	$\pi \mathbb {Z} +(0,\pi )$	$\to$	$\mathbb {R}$	$\operatorname {arccot}$	$:$	$\mathbb {R}$	$\to$	$(0,\pi )$
sekan	$\sec$	$:$	$\pi \mathbb {Z} +\left(-{\tfrac {\pi }{2}},{\tfrac {\pi }{2}}\right)$	$\to$	$\mathbb {R} \setminus (-1,1)=(-\infty ,-1]\cup [1,\infty )$	$\operatorname {arcsec}$	$:$	$\mathbb {R} \setminus (-1,1)$	$\to$	$[\,0,\;\pi \,]\;\;\;\setminus \left\{{\tfrac {\pi }{2}}\right\}$
kosekan	$\csc$	$:$	$\pi \mathbb {Z} +(0,\pi )$	$\to$	$\mathbb {R} \setminus (-1,1)$	$\operatorname {arccsc}$	$:$	$\mathbb {R} \setminus (-1,1)$	$\to$	$\left[-{\tfrac {\pi }{2}},{\tfrac {\pi }{2}}\right]\setminus \{0\}$

Komposisi fungsi trigonometri dengan invers fungsinya sendiri akan sama dengan menuliskan suatu variabel. Dengan kata lain (tinjau $f$ adalah fungsi),

$f(f^{-1}(x))=x$ jika dan hanya jika $f^{-1}(f(x))=x$

Hal yang serupa untuk fungsi trigonometri, berikut adalah fungsi yang memetakan fungsi inversnya sendiri:

• $\sin(\arcsin(x))=x$
• $\cos(\arccos(x))=x$
• $\tan(\arctan(x))=x$
• $\sec(\operatorname {arcsec}(x))=x$
• $\csc(\operatorname {arccsc}(x))=x$
• $\cot(\operatorname {arccot}(x))=x$

Komposisi fungsi trigonometri dengan fungsi invers trigonometri lain

Komposisi fungsi invers untuk lebih lanjut dapat dilihat pada tabel di bawah ini.$${\begin{aligned}\sin(\arcsin x)&=x&\cos(\arcsin x)&={\sqrt {1-x^{2}}}&\tan(\arcsin x)&={\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}\\\sin(\arccos x)&={\sqrt {1-x^{2}}}&\cos(\arccos x)&=x&\tan(\arccos x)&={\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{x}}\\\sin(\arctan x)&={\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}&\cos(\arctan x)&={\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}&\tan(\arctan x)&=x\\\sin(\operatorname {arccsc} x)&={\frac {1}{x}}&\cos(\operatorname {arccsc} x)&={\frac {\sqrt {x^{2}-1}}{x}}&\tan(\operatorname {arccsc} x)&={\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1}}}\\\sin(\operatorname {arcsec} x)&={\frac {\sqrt {x^{2}-1}}{x}}&\cos(\operatorname {arcsec} x)&={\frac {1}{x}}&\tan(\operatorname {arcsec} x)&={\sqrt {x^{2}-1}}\\\sin(\operatorname {arccot} x)&={\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}&\cos(\operatorname {arccot} x)&={\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}&\tan(\operatorname {arccot} x)&={\frac {1}{x}}\\\end{aligned}}$$

Penyelesaian terhadap persamaan trigonometri

Berikut adalah penyelesaian persamaan trigonometri, dengan nilai $\theta$ dan $x$.

Persamaan	$\iff$	Penyelesaian						untuk suatu $k\in \mathbb {Z}$
$\sin \theta =x$		$\theta =\,$	$(-1)^{k}$	$\arcsin(x)$	$+$		$\pi k$
$\cos \theta =x$		$\theta =\,$	$\pm \,$	$\arccos(x)$	$+$	$2$	$\pi k$
$\tan \theta =x$		$\theta =\,$		$\arctan(x)$	$+$		$\pi k$
$\csc \theta =x$		$\theta =\,$	$(-1)^{k}$	$\operatorname {arccsc}(x)$	$+$		$\pi k$
$\sec \theta =x$		$\theta =\,$	$\pm \,$	$\operatorname {arcsec}(x)$	$+$	$2$	$\pi k$
$\cot \theta =x$		$\theta =\,$		$\operatorname {arccot}(x)$	$+$		$\pi k$

Berikut untuk persamaan dengan kedua ruas berupa fungsi trigonometri, tinjau sudut $\theta$ dan $\varphi$.

Persamaan	$\iff$	Penyelesaian						untuk suatu $k\in \mathbb {Z}$	Juga berlaku untuk persamaan
$\sin \theta =\sin \varphi$		$\theta =\,$	$(-1)^{k}$	$\varphi$	$+$		$\pi k$		$\csc \theta =\csc \varphi$
$\cos \theta =\cos \varphi$		$\theta =\,$	$\pm \,$	$\varphi$	$+$	$2$	$\pi k$		$\sec \theta =\sec \varphi$
$\tan \theta =\tan \varphi$		$\theta =\,$		$\varphi$	$+$		$\pi k$		$\cot \theta =\cot \varphi$
$-\sin \theta =\sin \varphi$		$\theta =\,$	$(-1)^{k+1}$	$\varphi$	$+$		$\pi k$		$-\csc \theta =\csc \varphi$
$-\cos \theta =\cos \varphi$		$\theta =\,$	$\pm \,$	$\varphi$	$+$	$2$	$\pi k+\pi$		$-\sec \theta =\sec \varphi$
$-\tan \theta =\tan \varphi$		$\theta =\,$	$-$	$\varphi$	$+$		$\pi k$		$-\cot \theta =\cot \varphi$
$\left|\sin \theta \right|=\left|\sin \varphi \right|$		$\theta =\,$	$\pm$	$\varphi$	$+$		$\pi k$		${\begin{aligned}\left|\cos \theta \right|&=\left|\cos \varphi \right|\\\left|\tan \theta \right|&=\left|\tan \varphi \right|\\\left|\csc \theta \right|&=\left|\csc \varphi \right|\\\left|\sec \theta \right|&=\left|\csc \varphi \right|\\\left|\cot \theta \right|&=\left|\csc \varphi \right|\end{aligned}}$

Beberapa fungsi trigonometri lainnya

Beberapa fungsi trigonometri lainnya.

Beberapa fungsi trigonometri antara lain: fungsi yang jarang digunakan seperti versin, coversin, vercosin, covercosin, haversin, havercosin, hacoversin, hacovercosin, exsec, dan excsc. Tabel di bawah menunjukkan fungsi trigonometri yang jarang digunakan beserta dengan grafiknya, antara lain sebagai berikut.

${\textrm {versin}}(\theta ):=2\sin ^{2}\!\left({\frac {\theta }{2}}\right)=1-\cos(\theta )\,$
${\textrm {coversin}}(\theta ):={\textrm {versin}}\!\left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)=1-\sin(\theta )\,$
${\textrm {vercosin}}(\theta ):=2\cos ^{2}\!\left({\frac {\theta }{2}}\right)=1+\cos(\theta )\,$
${\textrm {covercosin}}(\theta ):={\textrm {vercosin}}\!\left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)=1+\sin(\theta )\,$
${\textrm {haversin}}(\theta ):={\frac {{\textrm {versin}}(\theta )}{2}}=\sin ^{2}\!\left({\frac {\theta }{2}}\right)={\frac {1-\cos(\theta )}{2}}\,$
${\textrm {hacoversin}}(\theta ):={\frac {{\textrm {coversin}}(\theta )}{2}}={\frac {1-\sin(\theta )}{2}}\,$
${\textrm {havercosin}}(\theta ):={\frac {{\textrm {vercosin}}(\theta )}{2}}=\cos ^{2}\!\left({\frac {\theta }{2}}\right)={\frac {1+\cos(\theta )}{2}}\,$
${\textrm {hacovercosin}}(\theta ):={\frac {{\textrm {covercosin}}(\theta )}{2}}={\frac {1+\sin(\theta )}{2}}\,$

Selain fungsi yang jarang digunakan, terdapat fungsi trigonometri lainnya. Berikut di antaranya: tali busur disingkat crd, dan gd mengindikasikan fungsi Gudermann. Masing-masing dirumuskan sebagai berikut.

$\operatorname {crd} \ \theta ={\sqrt {(1-\cos \theta )^{2}+\sin ^{2}\theta }}={\sqrt {2-2\cos \theta }}=2\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)$.

$\operatorname {gd} x=\int _{0}^{x}\operatorname {sech} t\,\mathrm {d} t$.

Identitas Pythagoras

Artikel utama: Identitas Pythagoras

Identitas Pythagoras adalah identitas trigonometri yang diturunkan dari teorema Pythagoras. Dengan kata lain, identitas Pythagoras merupakan konsep teorema Pythagoras melalui fungsi trigonometri. Berikut adalah identitas Pythagoras beserta buktinya, antara lain:

$\sin ^{2}A+\cos ^{2}A=1$

Klik "tampil" 'tuk melihat bukti
Dengan menggunakan definisi dari fungsi sinus dan kosinus, maka $\sin ^{2}A+\cos ^{2}A=\left({\frac {b}{c}}\right)^{2}+\left({\frac {a}{c}}\right)^{2}={\frac {a^{2}+b^{2}}{c^{2}}}$ Karena berupa segitiga siku-siku, maka menurut teorema Pythagoras, $a^{2}+b^{2}=c^{2}$. Jadi, $\sin ^{2}A+\cos ^{2}A={\frac {c^{2}}{c^{2}}}=1$. $\blacksquare$

$1+\tan ^{2}A=\sec ^{2}A$

Klik "tampil" 'tuk melihat bukti
$1+\tan ^{2}A={\frac {\cos ^{2}A}{\cos ^{2}A}}+{\frac {\sin ^{2}A}{\cos ^{2}A}}={\frac {1}{\cos ^{2}A}}=\sec ^{2}A$. $\blacksquare$

$1+\cot ^{2}A=\csc ^{2}A$

Klik "tampil" 'tuk melihat bukti
$1+\cot ^{2}A={\frac {\sin ^{2}A}{\sin ^{2}A}}+{\frac {\cos ^{2}A}{\sin ^{2}A}}={\frac {1}{\sin ^{2}A}}=\csc ^{2}A$. $\blacksquare$

Dengan menggunakan ketiga identitas di atas, kita dapat menentukan identitas trigonometri lainnya. Tabel berikut menunjukkannya.

	$\sin \theta$	$\cos \theta$	$\tan \theta$	$\csc \theta$	$\sec \theta$	$\cot \theta$
$\sin \theta$	$\sin \theta$	$\pm {\sqrt {1-\cos ^{2}\theta }}$	$\pm {\frac {\tan \theta }{\sqrt {1+\tan ^{2}\theta }}}$	${\frac {1}{\csc \theta }}$	$\pm {\frac {\sqrt {\sec ^{2}\theta -1}}{\sec \theta }}$	$\pm {\frac {1}{\sqrt {1+\cot ^{2}\theta }}}$
$\cos \theta$	$\pm {\sqrt {1-\sin ^{2}\theta }}$	$\cos \theta$	$\pm {\frac {1}{\sqrt {1+\tan ^{2}\theta }}}$	$\pm {\frac {\sqrt {\csc ^{2}\theta -1}}{\csc \theta }}$	${\frac {1}{\sec \theta }}$	$\pm {\frac {\cot \theta }{\sqrt {1+\cot ^{2}\theta }}}$
$\tan \theta$	$\pm {\frac {\sin \theta }{\sqrt {1-\sin ^{2}\theta }}}$	$\pm {\frac {\sqrt {1-\cos ^{2}\theta }}{\cos \theta }}$	$\tan \theta$	$\pm {\frac {1}{\sqrt {\csc ^{2}\theta -1}}}$	$\pm {\sqrt {\sec ^{2}\theta -1}}$	${\frac {1}{\cot \theta }}$
$\csc \theta$	${\frac {1}{\sin \theta }}$	$\pm {\frac {1}{\sqrt {1-\cos ^{2}\theta }}}$	$\pm {\frac {\sqrt {1+\tan ^{2}\theta }}{\tan \theta }}$	$\csc \theta$	$\pm {\frac {\sec \theta }{\sqrt {\sec ^{2}\theta -1}}}$	$\pm {\sqrt {1+\cot ^{2}\theta }}$
$\sec \theta$	$\pm {\frac {1}{\sqrt {1-\sin ^{2}\theta }}}$	${\frac {1}{\cos \theta }}$	$\pm {\sqrt {1+\tan ^{2}\theta }}$	$\pm {\frac {\csc \theta }{\sqrt {\csc ^{2}\theta -1}}}$	$\sec \theta$	$\pm {\frac {\sqrt {1+\cot ^{2}\theta }}{\cot \theta }}$
$\cot \theta$	$\pm {\frac {\sqrt {1-\sin ^{2}\theta }}{\sin \theta }}$	$\pm {\frac {\cos \theta }{\sqrt {1-\cos ^{2}\theta }}}$	${\frac {1}{\tan \theta }}$	$\pm {\sqrt {\csc ^{2}\theta -1}}$	$\pm {\frac {1}{\sqrt {\sec ^{2}\theta -1}}}$	$\cot \theta$

Refleksi dan putaran sudut

Transformasi koordinat $(a,b)$ ketika putaran sudut refleksi $\alpha$ bertambah ${\frac {\pi }{4}}$ radian.

Kita dapat menentukan pencerminan dan putaran sudut bila kita meneliti satuan lingkaran. Berikut adalah tabel-tabel mengenai pencerminan dan putaran sudut.

Refleksi sudut

Berikut adalah tabel-tabel mengenai pencerminan sudut. Misal $\alpha$ adalah suatu sudut sembarang yang mencerminkan atau merefleksikan sudut $\theta$. Tabel berikut hanya menjelaskan refleksi $\theta$ terhadap $\alpha$ yang bernilaikan satuan radian, $0$, ${\textstyle {\frac {\pi }{4}}}$, ${\textstyle {\frac {\pi }{2}}}$, ${\textstyle {\frac {3\pi }{4}}}$, dan $\pi$. Sudut dengan nilai radian $\pi$ dapat kita bandingkan dengan sudut $0$

Dalam tabel yang bersubjudulkan $\alpha =0$ merupakan identitas fungsi ganjil dan genap terhadap fungsi trigonometri.

$\theta$ refleksi terhadap $\alpha =0$	$\theta$ refleksi terhadap $\alpha ={\frac {\pi }{4}}$	$\theta$ refleksi terhadap $\alpha ={\frac {\pi }{2}}$	$\theta$ refleksi terhadap $\alpha ={\frac {3\pi }{4}}$	$\theta$ refleksi terhadap $\alpha =\pi$(Bandingkan dengan $\alpha =0$)
$\sin(-\theta )=-\sin \theta$	$\sin \left({\tfrac {\pi }{2}}-\theta \right)=\cos \theta$	$\sin(\pi -\theta )=+\sin \theta$	$\sin \left({\tfrac {3\pi }{2}}-\theta \right)=-\cos \theta$	$\sin(2\pi -\theta )=-\sin(\theta )=\sin(-\theta )$
$\cos(-\theta )=+\cos \theta$	$\cos \left({\tfrac {\pi }{2}}-\theta \right)=\sin \theta$	$\cos(\pi -\theta )=-\cos \theta$	$\cos \left({\tfrac {3\pi }{2}}-\theta \right)=-\sin \theta$	$\cos(2\pi -\theta )=+\cos(\theta )=\cos(-\theta )$
$\tan(-\theta )=-\tan \theta$	$\tan \left({\tfrac {\pi }{2}}-\theta \right)=\cot \theta$	$\tan(\pi -\theta )=-\tan \theta$	$\tan \left({\tfrac {3\pi }{2}}-\theta \right)=+\cot \theta$	$\tan(2\pi -\theta )=-\tan(\theta )=\tan(-\theta )$
$\csc(-\theta )=-\csc \theta$	$\csc \left({\tfrac {\pi }{2}}-\theta \right)=\sec \theta$	$\csc(\pi -\theta )=+\csc \theta$	$\csc \left({\tfrac {3\pi }{2}}-\theta \right)=-\sec \theta$	$\csc(2\pi -\theta )=-\csc(\theta )=\csc(-\theta )$
$\sec(-\theta )=+\sec \theta$	$\sec \left({\tfrac {\pi }{2}}-\theta \right)=\csc \theta$	$\sec(\pi -\theta )=-\sec \theta$	$\sec \left({\tfrac {3\pi }{2}}-\theta \right)=-\csc \theta$	$\sec(2\pi -\theta )=+\sec(\theta )=\sec(-\theta )$
$\cot(-\theta )=-\cot \theta$	$\cot \left({\tfrac {\pi }{2}}-\theta \right)=\tan \theta$	$\cot(\pi -\theta )=-\cot \theta$	$\cot \left({\tfrac {3\pi }{2}}-\theta \right)=+\tan \theta$	$\cot(2\pi -\theta )=-\cot(\theta )=\cot(-\theta )$

Transformasi koordinat $(a,b)$ ketika putaran sudut $\theta$ bertambah ${\frac {\pi }{2}}$ radian.

Putaran sudut

Putaran seperempat radian	Putaran setengan radian	Putaran satu radian	Periode
$\sin(\theta \pm {\tfrac {\pi }{2}})=\pm \cos \theta$	$\sin(\theta +\pi )=-\sin \theta$	$\sin(\theta +k\cdot 2\pi )=+\sin \theta$	$2\pi$
$\cos(\theta \pm {\tfrac {\pi }{2}})=\mp \sin \theta$	$\cos(\theta +\pi )=-\cos \theta$	$\cos(\theta +k\cdot 2\pi )=+\cos \theta$	$2\pi$
$\csc(\theta \pm {\tfrac {\pi }{2}})=\pm \sec \theta$	$\csc(\theta +\pi )=-\csc \theta$	$\csc(\theta +k\cdot 2\pi )=+\csc \theta$	$2\pi$
$\sec(\theta \pm {\tfrac {\pi }{2}})=\mp \csc \theta$	$\sec(\theta +\pi )=-\sec \theta$	$\sec(\theta +k\cdot 2\pi )=+\sec \theta$	$2\pi$
$\tan(\theta \pm {\tfrac {\pi }{4}})={\tfrac {\tan \theta \pm 1}{1\mp \tan \theta }}$	$\tan(\theta +{\tfrac {\pi }{2}})=-\cot \theta$	$\tan(\theta +k\cdot \pi )=+\tan \theta$	$\pi$
$\cot(\theta \pm {\tfrac {\pi }{4}})={\tfrac {\cot \theta \mp 1}{1\pm \cot \theta }}$	$\cot(\theta +{\tfrac {\pi }{2}})=-\tan \theta$	$\cot(\theta +k\cdot \pi )=+\cot \theta$	$\pi$

Definisi eksponensiasi

Untuk suatu fungsi trigonometri dasar beserta inversnya, dapat didefinisikan melalui eksponensiasi. Tabel berikut menunjukkannya.

Fungsi	Fungsi invers
$\sin \theta ={\frac {e^{i\theta }-e^{-i\theta }}{2i}}$	$\arcsin \theta =-i\,\ln \left(i\theta +{\sqrt {1-\theta ^{2}}}\right)$
$\cos \theta ={\frac {e^{i\theta }+e^{-i\theta }}{2}}$	$\arccos \theta =-i\,\ln \left(\theta +\,{\sqrt {\theta ^{2}-1}}\right)$
$\tan \theta =-i\,{\frac {e^{i\theta }-e^{-i\theta }}{e^{i\theta }+e^{-i\theta }}}$	$\arctan \theta ={\frac {i}{2}}\ln \left({\frac {i+\theta }{i-\theta }}\right)$
$\csc \theta ={\frac {2i}{e^{i\theta }-e^{-i\theta }}}$	$\operatorname {arccsc} \theta =-i\,\ln \left({\frac {i}{\theta }}+{\sqrt {1-{\frac {1}{\theta ^{2}}}}}\right)$
$\sec \theta ={\frac {2}{e^{i\theta }+e^{-i\theta }}}$	$\operatorname {arcsec} \theta =-i\,\ln \left({\frac {1}{\theta }}+i{\sqrt {1-{\frac {1}{\theta ^{2}}}}}\right)$
$\cot \theta =i\,{\frac {e^{i\theta }+e^{-i\theta }}{e^{i\theta }-e^{-i\theta }}}$	$\operatorname {arccot} \theta ={\frac {i}{2}}\ln \left({\frac {\theta -i}{\theta +i}}\right)$
$\operatorname {cis} \theta =e^{i\theta }$	$\operatorname {arccis} \theta =-i\ln \theta$

Disini, $e$ adalah konstanta dengan nilai $2.718281845\dots$, $i$ adalah bilangan imajiner, dan $\operatorname {cis}$ merupakan fungsi trigonometri kosinus ditambahkan oleh fungsi trigonometri sinus yang dikali oleh imajiner, yaitu

$\operatorname {cis} \theta =\cos \theta +i\sin \theta$.

Pada tabel terakhir, baris awal dan kolom akhir, tepat di bawah kiri sel, rumus tersebut disebut juga sebagai rumus Euler.

Jumlah dan selisih sudut

Jumlah sudut dimana ketika suatu fungsi trigonometri dengan variabel merupakan jumlah sudut-sudut. Sebagai permisalan, diberikan $\alpha$ dan $\beta$ adalah sudut sembarang, kita rumuskan untuk suatu fungsi trigonometri. Berikut di antaranya,

Sinus	$\sin(\alpha \pm \beta )$			$=$	$\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta$
Kosinus	$\cos(\alpha \pm \beta )$			$=$	$\cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta$
Tangen	$\tan(\alpha \pm \beta )$			$=$	${\frac {\tan \alpha \pm \tan \beta }{1\mp \tan \alpha \tan \beta }}$
Kosekan	$\csc(\alpha \pm \beta )$			$=$	${\frac {\sec \alpha \sec \beta \csc \alpha \csc \beta }{\sec \alpha \csc \beta \pm \csc \alpha \sec \beta }}$
Sekan	$\sec(\alpha \pm \beta )$			$=$	${\frac {\sec \alpha \sec \beta \csc \alpha \csc \beta }{\csc \alpha \csc \beta \mp \sec \alpha \sec \beta }}$
Kotangen	$\cot(\alpha \pm \beta )$			$=$	${\frac {\cot \alpha \cot \beta \mp 1}{\cot \beta \pm \cot \alpha }}$
Invers sinus	$\arcsin x\pm \arcsin y$			$=$	$\arcsin \left(x{\sqrt {1-y^{2}}}\pm y{\sqrt {1-x^{2}}}\right)$
Invers kosinus	$\arccos x\pm \arccos y$			$=$	$\arccos \left(xy\mp {\sqrt {\left(1-x^{2}\right)\left(1-y^{2}\right)}}\right)$
Invers tangen	$\arctan x\pm \arctan y$			$=$	$\arctan \left({\frac {x\pm y}{1\mp xy}}\right)$
Invers kotangen	$\operatorname {arccot} x\pm \operatorname {arccot} y$			$=$	$\operatorname {arccot} \left({\frac {xy\mp 1}{y\pm x}}\right)$

Jumlah dan selisih sudut sekan juga dirumuskan sebagai

$\sec(\alpha \pm \beta )={\frac {\sec \alpha \sec \beta }{1\mp \tan \alpha \tan \beta }}$.

Sudut rangkap

Sudut rangkap merupakan sudut yang dimana suatu variabel yang sama ditambahkan oleh variabel tersendiri. Sudut rangkap dapat dibuktikan melalui sifat jumlah sudut. Sebagai contoh, ketika kita ingin mencari $\sin 2x$, maka kita gunakan rumus jumlah sudut untuk memperoleh rumus sudut sinus dua rangkap ini.

${\begin{aligned}\sin 2\theta &=\sin({\color {red}{\theta }}+{\color {green}{\theta }})\\&=\sin {\color {red}{\theta }}\cos {\color {green}{\theta }}+\sin {\color {green}{\theta }}\cos {\color {red}{\theta }}\\&=2\sin \theta \cos \theta \end{aligned}}$

Rumus jumlah sudut tersebut juga kita pakai untuk mencari sudut rangkap tiga. Andaikan kita diminta untuk mencari $\sin 3x$, maka dengan menggunakan rumus jumlah sudut.

${\begin{aligned}\sin 3\theta &=\sin(2\theta +\theta )\\&=\sin 2\theta \cos \theta +\sin \theta \cos 2\theta \\&=2\sin \theta \cos ^{2}\theta +\sin \theta (1-2\sin ^{2}\theta )\\&=2\sin \theta (1-\sin ^{2}\theta )+\sin \theta -2\sin ^{3}\theta \\&=2\sin \theta -2\sin ^{3}\theta +\sin \theta -2\sin ^{3}\theta \\&=3\sin \theta -4\sin ^{3}\theta \end{aligned}}$

Dengan cara yang serupa, kita dapat mencari rumus untuk fungsi trigonometri sudut rangkap lainnya, seperti kosinus, tangen, kotangen, sekan, serta dengan kosekan.

Kita telah memperoleh rumus sudut rangkap dua dan sudut rangkap tiga (pada kotak di samping), maka kita beralih ke sudut $n$-rangkap, dimana $n=1,2,3\dots$. Dengan kata lain, rumus sudut $n$-rangkap dapat kita pakai untuk nilai $n$ sembarang. Sebagai contoh, ketika $n=2$, maka kita memperoleh sudut dua rangkap dan begitu pula seterusnya.

Tanpa basa-basi, berikut adalah rumus sudut $n$-rangkap. Pembuktiannya dapat dilihat di bawah masing-masing rumus.

$\sin(nx)=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}\cos ^{k}x\sin ^{n-k}x\sin \left({\frac {\pi }{2}}(n-k)\right)$

Klik "tampil" 'tuk melihat bukti

Dengan menggunakan definisi eksponensiasi di atas, kita memperoleh $\sin(nx)={\frac {e^{inx}-e^{-inx}}{2i}}={\frac {(e^{ix})^{n}-(e^{-ix})^{n}}{2i}}={\frac {(\cos(x)+i\sin(x))^{n}-(\cos(x)-i\sin(x))^{n}}{2i}}$ Dengan menggunakan teorema binomial, kita memperoleh $\sin nx=\sum _{k=1}^{n}{\binom {n}{k}}{\frac {\cos ^{k}x(i\sin x)^{n-k}-(\cos ^{k}x(-i\sin x)^{n-k})}{2i}}=\sum _{k=0}^{n}\cos ^{k}x\sin ^{n-k}x\cdot {\frac {i^{n-k}-(-i)^{n-k}}{2i}}=\sum _{k=0}^{n}\cos ^{k}x\sin ^{n-k}x\sin \left({\frac {\pi }{2}}(n-k)\right)$. $\blacksquare$

$\cos(nx)=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}\cos ^{k}x\sin ^{n-k}x\cos \left({\frac {\pi }{2}}(n-k)\right)$

Klik "tampil" 'tuk melihat bukti

Dengan menggunakan cara yang serupa, $\cos(nx)={\frac {e^{inx}+e^{-inx}}{2i}}={\frac {(e^{ix})^{n}+(e^{-ix})^{n}}{2i}}={\frac {(\cos(x)+i\sin(x))^{n}+(\cos(x)-i\sin(x))^{n}}{2i}}$ Lagi, menggunakan teorema binomial memperoleh $\cos nx=\sum _{k=1}^{n}{\binom {n}{k}}{\frac {\cos ^{k}x(i\sin x)^{n-k}+(\cos ^{k}x(-i\sin x)^{n-k})}{2i}}=\sum _{k=0}^{n}\cos ^{k}x\sin ^{n-k}x\cdot {\frac {i^{n-k}+(-i)^{n-k}}{2i}}=\sum _{k=0}^{n}\cos ^{k}x\sin ^{n-k}x\cos \left({\frac {\pi }{2}}(n-k)\right)$. $\blacksquare$

Metode Chebyshev

Metode Chebyshev adalah algoritme rekursif yang mencari rumus sudut $n$-rangkap dengan diketahui nilai ke-$(n-1)$ dan ke-$(n-2)$. Metode Chebyshev dapat dirumuskan untuk sudut rangkap fungsi sinus dan kosinus.

${\begin{aligned}\sin(nx)&=2\cos x\sin((n-1)x)-\sin((n-2)x)\\\cos(nx)&=2\cos x\cos((n-1)x)-\cos((n-2)x)\\\tan(nx)&={\frac {\tan((n-1)x)+\tan x}{1-\tan((n-1)x)\tan x}}\end{aligned}}$

Sudut setengah rangkap

Berikut adalah sudut setengah rangkap, antara lain

${\begin{aligned}\sin {\frac {\theta }{2}}&=\pm {\sqrt {\frac {1-\cos \theta }{2}}}\\[3pt]\cos {\frac {\theta }{2}}&=\pm {\sqrt {\frac {1+\cos \theta }{2}}}\\[3pt]\tan {\frac {\theta }{2}}&=\csc \theta -\cot \theta =\pm \,{\sqrt {\frac {1-\cos \theta }{1+\cos \theta }}}={\frac {\sin \theta }{1+\cos \theta }}\\[3pt]&={\frac {1-\cos \theta }{\sin \theta }}={\frac {-1\pm {\sqrt {1+\tan ^{2}\theta }}}{\tan \theta }}={\frac {\tan \theta }{1+\sec {\theta }}}\\[3pt]\cot {\frac {\theta }{2}}&=\csc \theta +\cot \theta =\pm \,{\sqrt {\frac {1+\cos \theta }{1-\cos \theta }}}={\frac {\sin \theta }{1-\cos \theta }}={\frac {1+\cos \theta }{\sin \theta }}\end{aligned}}$

Masih terdapat rumus-rumus lainnya berkaitan dengan sudut setengah rangkap. Berikut di antaranya:

${\begin{aligned}\tan {\frac {\eta \pm \theta }{2}}&={\frac {\sin \eta \pm \sin \theta }{\cos \eta +\cos \theta }}\\[3pt]\tan \left({\frac {\theta }{2}}+{\frac {\pi }{4}}\right)&=\sec \theta +\tan \theta \\[3pt]{\sqrt {\frac {1-\sin \theta }{1+\sin \theta }}}&={\frac {\left|1-\tan {\frac {\theta }{2}}\right|}{\left|1+\tan {\frac {\theta }{2}}\right|}}\end{aligned}}$

Penjumlahan dan perkalian fungsi trigonometri

Suatu penjumlahan fungsi trigonometri dapat dikonversikan menjadi perkalian fungsi trigonometri. Sebaliknya, perkalian fungsi trigonometri juga dapat dikonversikan menjadi penjumlahan fungsi trigonometri. Tabel berikut menunjukkan perkalian ke penjumlahan suatu fungsi trigonometri dan begitu juga dengan penjumlahan ke perkalian suatu fungsi trigonometri.

Perkalian ke penjumlahan dan penjumlahan ke perkalian
$2\cos \theta \cos \varphi ={\cos(\theta -\varphi )+\cos(\theta +\varphi )}$
$2\sin \theta \sin \varphi ={\cos(\theta -\varphi )-\cos(\theta +\varphi )}$
$2\sin \theta \cos \varphi ={\sin(\theta +\varphi )+\sin(\theta -\varphi )}$
$2\cos \theta \sin \varphi ={\sin(\theta +\varphi )-\sin(\theta -\varphi )}$
$\tan \theta \tan \varphi ={\frac {\cos(\theta -\varphi )-\cos(\theta +\varphi )}{\cos(\theta -\varphi )+\cos(\theta +\varphi )}}$
${\begin{aligned}\prod _{k=1}^{n}\cos \theta _{k}&={\frac {1}{2^{n}}}\sum _{e\in S}\cos(e_{1}\theta _{1}+\cdots +e_{n}\theta _{n})\\[6pt]&{\text{dimana }}S=\{1,-1\}^{n}\end{aligned}}$
$\prod _{k=1}^{n}\sin(\theta _{k})={\frac {(-1)^{\lfloor {\frac {n}{2}}\rfloor }}{2^{n}}}{\begin{cases}\sum _{e\in S}\cos(e_{1}\theta _{1}+\cdots +e_{n}\theta _{n})\prod _{j=1}^{n}e_{j}\;{\text{jika}}\;n\;{\text{ genap}},\\\sum _{e\in S}\sin(e_{1}\theta _{1}+\cdots +e_{n}\theta _{n})\prod _{j=1}^{n}e_{j}\;{\text{jika}}\;n\;{\text{ ganjil}}\end{cases}}$
$\sin \theta \pm \sin \varphi =2\sin \left({\frac {\theta \pm \varphi }{2}}\right)\cos \left({\frac {\theta \mp \varphi }{2}}\right)$
$\cos \theta +\cos \varphi =2\cos \left({\frac {\theta +\varphi }{2}}\right)\cos \left({\frac {\theta -\varphi }{2}}\right)$
$\cos \theta -\cos \varphi =-2\sin \left({\frac {\theta +\varphi }{2}}\right)\sin \left({\frac {\theta -\varphi }{2}}\right)$

Kalkulus

Limit

Contoh limit fungsi trigonometri yang paling sering digunakan adalah

$\lim _{x\to 0}{\frac {\sin x}{x}}=1$

Kita dapat membuktikan contoh pertama dengan menggunakan satuan lingkaran dan teorema apit. Terdapat contoh limit yang juga paling sering dipakai,

$\lim _{x\to 0}{\frac {1-\cos x}{x}}=0$

Limit tersebut dapat dibuktikan melalui fungsi trigonometri tangen rangkap setengah. Untuk limit fungsi trigonometri lainnya, berikut adalah limit fungsi trigonometri beserta dengan pembuktiannya.

• $\lim _{x\to 0}{\frac {\sin ax}{bx}}=\lim _{x\to 0}{\frac {ax}{\sin bx}}=\lim _{x\to 0}{\frac {\sin ax}{\sin bx}}={\frac {a}{b}}$

Sifat berikut juga memiliki beragam limit fungsi trigonometri yang sama dengan ${\frac {a}{b}}$. Limit fungsi di antaranya ialah $\lim _{x\to 0}{\frac {\tan ax}{bx}}$, $\lim _{x\to 0}{\frac {ax}{\tan bx}}$, dan $\lim _{x\to 0}{\frac {\tan ax}{\tan bx}}$. Beberapa limit fungsi trigonometri ini serupa juga dengan $\lim _{x\to 0}{\frac {\sin ax}{\tan bx}}=\lim _{x\to 0}{\frac {\tan ax}{\sin bx}}$.

Turunan dan antiturunan

Untuk suatu fungsi trigonometri, terdapat turunan dan antiturunan. Walakin, halaman ini hanya menjelaskan turunan dan antiturunan terhadap fungsi trigonometri yang bersifat dasar beserta fungsi inversnya. Untuk mengenai antiturunan fungsi trigonometri lainnya, lihat Daftar integral dari fungsi trigonometri dan Daftar integral dari fungsi invers trigonometri. Tabel berikut ini menunjukkan turunan dan antiturunan, antara lain:

Turunan	Integral
${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\sin x=\cos x$	$\int \sin x\,\mathrm {d} x=-\cos x+C$
${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\cos x=-\sin x$	$\int \cos \,\mathrm {d} x=\sin x+C$
${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\tan x=\sec ^{2}x$	$\int \tan x\,\mathrm {d} x=-\ln \left|\cos x\right|+C$
${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\csc x=-\cot x\csc x$	$\int \csc x\,\mathrm {d} x=-\ln \left|\csc x+\cot x\right|+C$
${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\sec x=\tan x\sec x$	$\int \sec x\,\mathrm {d} x=\ln \left|\sec x+\tan x\right|+C$
${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\cot x=-\csc ^{2}x$	$\int \cot x\,\mathrm {d} x=\ln \left|\sin x\right|+C$

Representasi deret

Suatu fungsi trigonometri dapat dikonversikan sebagai deret, dimana bentuk tersebut merupakan representasinya. Deret tersebut dapat merupakan representasi dari deret Maclaurin datau deret Laurent. Keterangan mengenai rumus-rumus di bawah, $B_{n}$ adalah bilangan Bernoulli dan $E_{n}$ adalah bilangan Euler.

• $\sin x=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}x^{2n-1}}{(2n-1)!}}$
• $\cos x=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n}}{(2n)!}}$
• $\tan x=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}}$
• $\csc x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}}$
• $\sec x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}E_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}}$
• $\cot x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}2^{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}}$

Lihat pula

• Bukti identitas trigonometri
• Daftar integral dari fungsi trigonometri
  • Daftar integral dari fungsi invers trigonometri
• Fungsi trigonometri
• Trigonometri

Catatan, rujukan, dan bibliografi

Bibliografi

• Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., ed. (1972). Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. New York: Dover Publications. ISBN 978-0-486-61272-0.