Pengguna:Dedhert.Jr/Uji halaman 01/7

$i = 7$ , $b = 8$ , $A = i + b 2 - 1 = 10$

Dalam geometri, teorema Pick merupakan sebuah rumus luas poligon sederhana dengan koordinat simpul berupa bilangan bulat dengan menjumlahkan titik-titik bilangan bulat dalam poligon dan batasnya. Hasil teorema ini dijelaskan pertama kali oleh Georg Alexander Pick pada tahun 1899.^[1] Teorema ini dipopulerkan dalam bahasa Inggris oleh Hugo Steinhaus dalam bukunya berjudul Mathematical Snapshots, edisi tahun 1950.^[2]^[3] Teorema ini memiliki banyak bukti, dan teorema ini dapat dirampat ke rumus untuk jenis-jenis poligon tak sederhana.

Rumus

Tinjau bahwa sebuah poligon memiliki koordinat bilangan bulat untuk semua simpul pada poligon. Misalkan $i$ adalah jumlah titik bilangan bulat yang ada di dalam poligon, dan misalkan $b$ adalah jumlah titik bilangan bulat pada batas poligon (termasuk verteks dan juga titik di sisi-sisi poligon). Maka, luas poligon $A$ adalah:^[4]^[5]^[6]^[7]

A=i+{\frac {b}{2}}-1

.

Contoh pada gambar di atas menunjukkan bahwa titik dalam dan titik luar pada poligon adalah $i=7$ dan $b=8$ , sehingga luas poligonnya adalah ${\textstyle A=7+{\frac {8}{2}}-1=10}$ satuan persegi.

Bukti

Melalui rumus Vieta

Pengubinan bidang melalui salinan segitiga dengan tiga simpul bilangan bulat dan tidak ada titik bilangan bulat lain. Ini dipakai dalam membuktikan teorema Pick.

Salah satu bukti teorema ini melibatkan subpembagian poligon menjadi menjadi segitiga dengan tiga verteks bilangan bulat dan tidak ada titik bilangan bulat lain. Lalu, rumus ini dapat membuktikan bahwa setiap subpembagian segitiga memiliki luas setidaknya ${\tfrac {1}{2}}$ . Oleh karena itu, luas seluruh poligon sama dengan setengah jumlah segitiga yang dibagi. Setelah mengaitkan luas dengan jumlah segitiga, bukti teorema ini dapat diselesaikan dengan mengaitkan jumlah segitiga dengan jumlah titik kisi dalam poligon melalui rumus polihedron Euler.^[4]

Bagian pertama mengenai bukti ini memperlihatkan bahwa segitiga dengan tiga verteks bilangan bulat dan tidak ada titik bilangan bulat lain memiliki setidaknya ${\tfrac {1}{2}}$ , seperti yang dijelaskan melalui rumus Pick. Faktanya, bukti ini menggunakan semua segitiga yang mengubin di bidang, dengan segitiga yang berdampingan berputar 180° from each other around their shared edge.^[8]

Bukti ini sudah membuktikan rumus Pick untuk poligon yang merupakan salah satu dari segitiga-segitiga khusus tersebut. Suatu poligon lain dapat dibagi lagi menjadi segitiga khusus. To do so, add non-crossing line segments within the polygon between pairs of grid points until no more line segments can be added.

Poligon yang dapat dibagi menjadi segitiga membentuk graf planar, dan rumus Euler $V-E+F=2$ memberikan persamaan yang berlaku untuk jumlah simpul, tepi dan wajah suatu poligon. Simpul poligon tersebut hanya berupa jumlah kisi dari poligon, yang berjumlahkan $V=i+b$ .

Rujukan

^ Pick, Georg (1899). "Geometrisches zur Zahlenlehre". Sitzungsberichte des deutschen naturwissenschaftlich-medicinischen Vereines für Böhmen "Lotos" in Prag. (Neue Folge). 19: 311–319. JFM 33.0216.01. CiteBank:47270
^ Grünbaum, Branko; Shephard, G. C. (Februari 1993). "Pick's theorem". The American Mathematical Monthly. 100 (2): 150–161. doi:10.2307/2323771. JSTOR 2323771. MR 1212401.
^ Steinhaus, H. (1950). Mathematical Snapshots. Oxford University Press. hlm. 76. MR 0036005.
^ ^a ^b Aigner, Martin; Ziegler, Günter M. (2018). "Three applications of Euler's formula: Pick's theorem". Proofs from THE BOOK (6th ed.). Springer. hlm. 93–94. doi:10.1007/978-3-662-57265-8. ISBN 978-3-662-57265-8.
^ Wells, David (1991). "Pick's theorem". The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry. Penguin Books. hlm. 183–184.
^ Beck, Matthias; Robins, Sinai (2015). "2.6 Pick's theorem". Computing the Continuous Discretely: Integer-Point Enumeration in Polyhedra. Undergraduate Texts in Mathematics (2nd ed.). Springer. hlm. 40–43. doi:10.1007/978-1-4939-2969-6. ISBN 978-1-4939-2968-9. MR 3410115.
^ Ball, Keith (2003). "Chapter 2: Counting Dots". Strange Curves, Counting Rabbits, and Other Mathematical Explorations. Princeton University Press, Princeton, NJ. hlm. 25–40. ISBN 0-691-11321-1. MR 2015451.
^ Martin, George Edward (1982). Transformation geometry. Undergraduate Texts in Mathematics. Springer-Verlag. Theorem 12.1, hlm. 120. doi:10.1007/978-1-4612-5680-9. ISBN 0-387-90636-3. MR 0718119.

Pranala luar

Pick's Theorem by Ed Pegg, Jr., the Wolfram Demonstrations Project.
Pi using Pick's Theorem by Mark Dabbs, GeoGebra

[1] Pick, Georg (1899). "Geometrisches zur Zahlenlehre". Sitzungsberichte des deutschen naturwissenschaftlich-medicinischen Vereines für Böhmen "Lotos" in Prag. (Neue Folge). 19: 311–319. JFM 33.0216.01. CiteBank:47270

[2] Grünbaum, Branko; Shephard, G. C. (Februari 1993). "Pick's theorem". The American Mathematical Monthly. 100 (2): 150–161. doi:10.2307/2323771. JSTOR 2323771. MR 1212401.

[3] Steinhaus, H. (1950). Mathematical Snapshots. Oxford University Press. hlm. 76. MR 0036005.

[:0-4] Aigner, Martin; Ziegler, Günter M. (2018). "Three applications of Euler's formula: Pick's theorem". Proofs from THE BOOK (6th ed.). Springer. hlm. 93–94. doi:10.1007/978-3-662-57265-8. ISBN 978-3-662-57265-8.

[5] Wells, David (1991). "Pick's theorem". The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry. Penguin Books. hlm. 183–184.

[6] Beck, Matthias; Robins, Sinai (2015). "2.6 Pick's theorem". Computing the Continuous Discretely: Integer-Point Enumeration in Polyhedra. Undergraduate Texts in Mathematics (2nd ed.). Springer. hlm. 40–43. doi:10.1007/978-1-4939-2969-6. ISBN 978-1-4939-2968-9. MR 3410115.

[7] Ball, Keith (2003). "Chapter 2: Counting Dots". Strange Curves, Counting Rabbits, and Other Mathematical Explorations. Princeton University Press, Princeton, NJ. hlm. 25–40. ISBN 0-691-11321-1. MR 2015451.

[8] Martin, George Edward (1982). Transformation geometry. Undergraduate Texts in Mathematics. Springer-Verlag. Theorem 12.1, hlm. 120. doi:10.1007/978-1-4612-5680-9. ISBN 0-387-90636-3. MR 0718119.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]