Wikipedia

Pengguna:Dedhert.Jr/Uji halaman 01/7

< Pengguna:Dedhert.Jr | Uji halaman 01
Revisi sejak 3 Maret 2022 08.44 oleh Dedhert.Jr (bicara | kontrib) (→Bukti)
Untuk teorema dalam analisis kompleks, lihat Lema Schwarz § Teorema Schwarz–Pick.
i = 7, b = 8, A = i + b2 − 1 = 10

Dalam geometri, teorema Pick merupakan sebuah rumus luas poligon sederhana dengan koordinat simpul berupa bilangan bulat dengan menjumlahkan titik-titik bilangan bulat dalam poligon dan batasnya. Hasil teorema ini dijelaskan pertama kali oleh Georg Alexander Pick pada tahun 1899.[1] Teorema ini dipopulerkan oleh Hugo Steinhaus dalam bukunya berbahasa Inggris yang berjudul Mathematical Snapshots, edisi tahun 1950.[2][3] Teorema ini memiliki banyak bukti, dan teorema ini dapat dirampat ke rumus untuk jenis-jenis poligon tak sederhana.

Rumus

Tinjau bahwa sebuah poligon memiliki koordinat bilangan bulat untuk semua simpul pada poligon. Misalkan   adalah jumlah titik bilangan bulat yang ada di dalam poligon, dan misalkan   adalah jumlah titik bilangan bulat pada batas poligon (termasuk verteks dan juga titik di sisi-sisi poligon). Maka, luas poligon   adalah:[4][5][6][7]

 .

Contoh pada gambar di atas menunjukkan bahwa titik dalam dan titik luar pada poligon adalah   dan  , sehingga luas poligonnya adalah   satuan persegi.

Bukti

Melalui rumus Vieta

Salah satu bukti teorema ini melibatkan subpembagian poligon menjadi menjadi segitiga dengan tiga verteks bilangan bulat dan tidak ada titik bilangan bulat lain. Lalu, rumus ini dapat membuktikan bahwa setiap subpembagian segitiga memiliki luas setidaknya  . Oleh karena itu, luas seluruh poligon sama dengan setengah jumlah segitiga yang dibagi. Setelah mengaitkan luas dengan jumlah segitiga, bukti teorema ini dapat diselesaikan dengan mengaitkan jumlah segitiga dengan jumlah titik kisi dalam poligon melalui rumus polihedron Euler.[4]

 
Pengubinan bidang melalui salinan segitiga dengan tiga simpul bilangan bulat dan tidak ada titik bilangan bulat lain. Ini dipakai dalam membuktikan teorema Pick.

Bagian pertama mengenai bukti ini memperlihatkan bahwa segitiga dengan tiga verteks bilangan bulat dan tidak ada titik bilangan bulat lain memiliki setidaknya  , seperti yang dijelaskan melalui rumus Pick. Faktanya, bukti ini menggunakan semua segitiga yang mengubin di bidang, dengan segitiga yang berdampingan berputar 180° from each other around their shared edge.[8] For tilings by a triangle with three integer vertices and no other integer points, each point of the integer grid is a vertex of six tiles. Because the number of triangles per grid point (six) is twice the number of grid points per triangle (three), the triangles are twice as dense in the plane as the grid points. Any scaled region of the plane contains twice as many triangles (in the limit as the scale factor goes to infinity) as the number of grid points it contains. Therefore, each triangle has area  , as needed for the proof.[4] A different proof that these triangles have area   is based on the use of Minkowski's theorem on lattice points in symmetric convex sets.[9]

 
Subdivision of a grid polygon into special triangles

Bukti ini sudah membuktikan rumus Pick untuk poligon yang merupakan salah satu dari segitiga-segitiga khusus tersebut. Suatu poligon lain dapat dibagi lagi menjadi segitiga khusus. To do so, add non-crossing line segments within the polygon between pairs of grid points until no more line segments can be added. Poligon yang tidak dapat dibagi lagi menjadi bentuk yang lebih kecil hanyalah segitiga khusus. Oleh karena itu, only special triangles can appear in the resulting subdivision. Karena luas setiap segitiga khusus adalah  , luas poligon   dapat dibagi menjadi segitiga khusus dengan luas  .[4]

Poligon yang dapat dibagi menjadi segitiga membentuk graf planar, dan rumus Euler   memberikan persamaan yang berlaku untuk jumlah simpul, tepi dan wajah suatu poligon. Simpul poligon tersebut hanya berupa jumlah kisi dari poligon, yang berjumlahkan  . Wajahnya merupakan segitiga dari subpembagian poligon, dan merupakan daerah tunggal diluar bidang poligon.[butuh perbaikan?] Jumlah segitiganya adalah  , sehingga terdapat   wajah. Untuk menghitung jumlah tepi, amati bahwa ada   sisi segitiga dalam subpembagian polihedron. Each edge interior to the polygon is the side of two triangles. However, there are   edges of triangles that lie along the boundary of the polygon, and form part of only one triangle. Therefore, the number of sides of triangles obeys an equation   from which one can solve for the number of edges,  . Plugging these values for  ,  , and   into Euler's formula   gives Rumus Pick dapat diperoleh dengan menyederhanakan persamaan linear tersebut dan mencari nilai  .[4] Perhitungan lain, yakni perhitungan di sepanjang garis yang sama melibatkan pembuktian bahwa ada jumlah tepi yang sama dengan subpembagian yang sama adalah  , mengarah ke hasil yang sama.[10][terj. masih kasar]

It is also possible to go the other direction, using Pick's theorem (proved in a different way) as the basis for a proof of Euler's formula.[5][11]

Bukti lainnya

Bukti-bukti teorema Pick lain tanpa menggunakan rumus Euler, diantaranya sebagai berikut:

  • One can recursively decompose the given polygon into triangles, allowing some triangles of the subdivision to have area larger than 1/2. Both the area and the counts of points used in Pick's formula add together in the same way as each other, so the truth of Pick's formula for general polygons follows from its truth for triangles. Any triangle subdivides its bounding box into the triangle itself and additional right triangles, and the areas of both the bounding box and the right triangles are easy to compute. Combining these area computations gives Pick's formula for triangles, and combining triangles gives Pick's formula for arbitrary polygons.[6][7][12]
  • Alternatively, instead of using grid squares centered on the grid points, it is possible to use grid squares having their vertices at the grid points. These grid squares cut the given polygon into pieces, which can be rearranged (by matching up pairs of squares along each edge of the polygon) into a polyomino with the same area.[13]
  • Pick's theorem may also be proved based on complex integration of a doubly periodic function related to Weierstrass's elliptic functions.[14]
  • Applying the Poisson summation formula to the characteristic function of the polygon leads to another proof.[15]

Pick's theorem was included in a web listing of the "top 100 mathematical theorems", dating from 1999, which later became used by Freek Wiedijk as a benchmark set to test the power of different proof assistants. Hingga 2021, a proof of Pick's theorem had been formalized in only one of the ten proof assistants recorded by Wiedijk.[16]

Perumuman

Generalizations to Pick's theorem to non-simple polygons are possible, but are more complicated and require more information than just the number of interior and boundary vertices.[2][17] For instance, a polygon with   holes bounded by simple integer polygons, disjoint from each other and from the boundary, has area[18] It is also possible to generalize Pick's theorem to regions bounded by more complex planar straight-line graphs with integer vertex coordinates, using additional terms defined using the Euler characteristic of the region and its boundary,[17] or to polygons with a single boundary polygon that can cross itself, using a formula involving the winding number of the polygon around each integer point as well as its total winding number.[2]

The Reeve tetrahedra in three dimensions have four integer points as vertices and contain no other integer points. However, they do not all have the same volume as each other. Therefore, there can be no analogue of Pick's theorem in three dimensions that expresses the volume of a polytope as a function only of its numbers of interior and boundary points.[19] However, these volumes can instead be expressed using Ehrhart polynomials.[20][21]

Topik yang berkaitan

Ada beberapa topik dalam matematika yang mengaitkan luas daerah dengan jumlah titik kisi, di antaranya: teorema Blichfeldt, yang mengatakan bahwa setiap bentuk yang dapat ditranslasikan memiliki setidaknya luas bentuk tersebut dalam titik kisi;[22] masalah lingkaran Gauss yang melibatkan batas galat antara luas lingkaran dengan jumlah titik kisi dalam lingkaran;[23] serta masalah menghitung jumlah titik bilangan bulat dalam polihedron cembung yang muncul dalam cabang-cabang matematika dan ilmu komputer.[24] In application areas, the dot planimeter is a transparency-based device for estimating the area of a shape by counting the grid points that it contains.[25] The Farey sequence is an ordered sequence of rational numbers with bounded denominators whose analysis involves Pick's theorem.[26]

Another simple method for calculating the area of a polygon is the shoelace formula. It gives the area of any simple polygon as a sum of terms computed from the coordinates of consecutive pairs of vertices of the polygon. Unlike Pick's theorem, it does not require the vertices to have integer coordinates.[27]

Rujukan

  1. ^ Pick, Georg (1899). "Geometrisches zur Zahlenlehre". Sitzungsberichte des deutschen naturwissenschaftlich-medicinischen Vereines für Böhmen "Lotos" in Prag. (Neue Folge). 19: 311–319. JFM 33.0216.01.  CiteBank:47270
  2. ^ a b c Grünbaum, Branko; Shephard, G. C. (February 1993). "Pick's theorem". The American Mathematical Monthly. 100 (2): 150–161. doi:10.2307/2323771. JSTOR 2323771. MR 1212401. 
  3. ^ Steinhaus, H. (1950). Mathematical Snapshots. Oxford University Press. hlm. 76. MR 0036005. 
  4. ^ a b c d e Aigner, Martin; Ziegler, Günter M. (2018). "Three applications of Euler's formula: Pick's theorem". Proofs from THE BOOK (edisi ke-6th). Springer. hlm. 93–94. doi:10.1007/978-3-662-57265-8. ISBN 978-3-662-57265-8. 
  5. ^ a b Wells, David (1991). "Pick's theorem". The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry. Penguin Books. hlm. 183–184. 
  6. ^ a b Beck, Matthias; Robins, Sinai (2015). "2.6 Pick's theorem". Computing the Continuous Discretely: Integer-Point Enumeration in Polyhedra. Undergraduate Texts in Mathematics (edisi ke-2nd). Springer. hlm. 40–43. doi:10.1007/978-1-4939-2969-6. ISBN 978-1-4939-2968-9. MR 3410115. 
  7. ^ a b Ball, Keith (2003). "Chapter 2: Counting Dots". Strange Curves, Counting Rabbits, and Other Mathematical Explorations. Princeton University Press, Princeton, NJ. hlm. 25–40. ISBN 0-691-11321-1. MR 2015451. 
  8. ^ Martin, George Edward (1982). Transformation geometry. Undergraduate Texts in Mathematics. Springer-Verlag. Theorem 12.1, page 120. doi:10.1007/978-1-4612-5680-9. ISBN 0-387-90636-3. MR 0718119. 
  9. ^ Ram Murty, M.; Thain, Nithum (2007). "Pick's theorem via Minkowski's theorem". The American Mathematical Monthly. 114 (8): 732–736. doi:10.1080/00029890.2007.11920465. JSTOR 27642309. MR 2354443. 
  10. ^ Funkenbusch, W. W. (June–July 1974). "From Euler's formula to Pick's formula using an edge theorem". Classroom Notes. The American Mathematical Monthly. 81 (6): 647–648. doi:10.2307/2319224. JSTOR 2319224. MR 1537447. 
  11. ^ DeTemple, Duane; Robertson, Jack M. (March 1974). "The equivalence of Euler's and Pick's theorems". The Mathematics Teacher. 67 (3): 222–226. doi:10.5951/mt.67.3.0222. JSTOR 27959631. MR 0444503. 
  12. ^ Varberg, Dale E. (1985). "Pick's theorem revisited". The American Mathematical Monthly. 92 (8): 584–587. doi:10.2307/2323172. JSTOR 2323172. MR 0812105. 
  13. ^ Trainin, J. (November 2007). "An elementary proof of Pick's theorem". The Mathematical Gazette. 91 (522): 536–540. doi:10.1017/S0025557200182270. JSTOR 40378436. 
  14. ^ Diaz, Ricardo; Robins, Sinai (1995). "Pick's formula via the Weierstrass  -function". The American Mathematical Monthly. 102 (5): 431–437. doi:10.2307/2975035. JSTOR 2975035. MR 1327788. 
  15. ^ Brandolini, L.; Colzani, L.; Robins, S.; Travaglini, G. (2021). "Pick's theorem and convergence of multiple Fourier series". The American Mathematical Monthly. 128 (1): 41–49. doi:10.1080/00029890.2021.1839241. MR 4200451. 
  16. ^ Wiedijk, Freek. "Formalizing 100 Theorems". Radboud University Institute for Computing and Information Sciences. Diakses tanggal 2021-07-10. 
  17. ^ a b Rosenholtz, Ira (1979). "Calculating surface areas from a blueprint". Mathematics Magazine. 52 (4): 252–256. doi:10.1080/0025570X.1979.11976797. JSTOR 2689425. MR 1572312. 
  18. ^ Sankar, P. V.; Krishnamurthy, E. V. (August 1978). "On the compactness of subsets of digital pictures". Computer Graphics and Image Processing. 8 (1): 136–143. doi:10.1016/s0146-664x(78)80021-5. 
  19. ^ Reeve, J. E. (1957). "On the volume of lattice polyhedra". Proceedings of the London Mathematical Society. Third Series. 7: 378–395. doi:10.1112/plms/s3-7.1.378. MR 0095452. 
  20. ^ (Beck & Robins 2015), 3.6 "From the discrete to the continuous volume of a polytope", pp. 76–77
  21. ^ Diaz, Ricardo; Robins, Sinai (1997). "The Ehrhart polynomial of a lattice polytope". Annals of Mathematics. Second Series. 145 (3): 503–518. doi:10.2307/2951842. JSTOR 2951842. MR 1454701. 
  22. ^ Olds, C. D.; Lax, Anneli; Davidoff, Giuliana P. (2000). "Chapter 9: A new principle in the geometry of numbers". The Geometry of Numbers. Anneli Lax New Mathematical Library. 41. Mathematical Association of America, Washington, DC. hlm. 119–127. ISBN 0-88385-643-3. MR 1817689. 
  23. ^ Guy, Richard K. (2004). "F1: Gauß's lattice point problem". Unsolved Problems in Number Theory. Problem Books in Mathematics (edisi ke-3rd). New York: Springer-Verlag. hlm. 365–367. doi:10.1007/978-0-387-26677-0. ISBN 0-387-20860-7. MR 2076335. 
  24. ^ Barvinok, Alexander (2008). Integer Points In Polyhedra. Zurich Lectures in Advanced Mathematics. Zürich: European Mathematical Society. doi:10.4171/052. ISBN 978-3-03719-052-4. MR 2455889. 
  25. ^ Bellhouse, D. R. (1981). "Area estimation by point-counting techniques". Biometrics. 37 (2): 303–312. doi:10.2307/2530419. JSTOR 2530419. MR 0673040. 
  26. ^ Bruckheimer, Maxim; Arcavi, Abraham (1995). "Farey series and Pick's area theorem". The Mathematical Intelligencer. 17 (4): 64–67. doi:10.1007/BF03024792. MR 1365013. 
  27. ^ Bart Braden (1986). "The Surveyor's Area Formula" (PDF). The College Mathematics Journal. 17 (4): 326–337. doi:10.2307/2686282. JSTOR 2686282. 

Pranala luar

Diperoleh dari "https://wiki-indonesia.club/w/index.php?title=Pengguna:Dedhert.Jr/Uji_halaman_01/7&oldid=20779626"