Pengguna:Dedhert.Jr/Uji halaman 01/16

Grafik fungsi logaritma dengan tiga basis yang umum. Titik khusus ^blog b = 1 diperlihatkan oleh garis bertitik, dan semua kurva fungsi memotong di ^blog 1 = 0.

Dalam matematika, logaritma merupakan fungsi invers dari eksponensiasi. Dengan kata lain, logaritma suatu nilai x merupakan eksponen dengan basis b yang dipangkatkan dengan bilangan sesuatu agar memperoleh nilai x. Kasus sederhana dalam logaritma menghitung jumlah munculnya faktor yang sama dalam perkalian berulang. Sebagai contoh, 1000 = 10 × 10 × 10 = 10³ dibaca, "logaritma basis 10 dari 1000 sama dengan 3" atau dinotasikan sebagai ¹⁰log (1000) = 3. Logaritma dari x dengan basis b dilambangkan ^blog x. Terkadang logaritma dilambangkan sebagai log_b (x) atau tanpa menggunakan tanda kurung. log_b x, atau bahkan tanpa menggunakan basis, log x.

Ada tiga basis logaritma yang umum beserta kegunaannya. Logaritma basis 10 (b = 10) disebut sebagai logaritma umum, yang biasanya dipakai dalam ilmu sains dan rekayasa. Adapun logaritma alami dengan basis bilangan e (b ≈ 2.718), yang dipakai dengan luas dalam matematika dan fisika karena dapat mempermudah perhitungan integral dan turunan. Adapula logaritma biner menggunakan basis 2 (b = 2), yang seringkali dipakai dalam ilmu komputer.

Logaritma diperkenalkan oleh John Napier pada tahun 1614 sebagai alat yang menyederhanakan perhitungan. Logaritma dipakai lebih cepat dalam navigator, ilmu sains, rekayasa, ilmu ukur wilayah, dan bidang lainnya untuk lebih mempermudah perhitungan nilai yang sangat akurat. Dengan menggunakan tabel logaritma, cara yang membosankan dalam mengalikan digit yang banyak dapat digantikan dengan melihat tabel dan penjumlahan yang lebih mudah. Ini dapat dilakukan karena bahwa logaritma dari hasil kali bilangan merupakan logaritma dari jumlah faktor bilangan:

$\log _{b}(xy)=\log _{b}x+\log _{b}y,$

asalkan bahwa b, x dan y bilangan positif dan b ≠ 1. Kaidah geser yang juga berasal dari logaritma dapat mempermudah perhitungan tanpa menggunakan tabel, namun perhitungannya kurang akurat. Leonhard Euler mengaitkan gagasan logaritma saat ini dengan fungsi eksponensial pada abad ke-18, dan juga memperkenalkan huruf e sebagia basis logaritma alami.

Skala logaritma mengurangi jumlah luas ke lingkup yang lebih kecil. Misalnya, desibel (dB) adalah satuan yang digunakan untuk menyatakan rasio sebagai logaritma, sebagian besar untuk kekuatan sinyal dan amplitudo (contoh umumnya pada tekanan suara). Dalam kimia, pH mengukur keasaman dari larutan berair melalui logaritma. Logaritma biasa dalam rumus ilmiah, dan dalam pengukuran kompleksitas algoritma dan objek geometris yang disebut fraktal. Logaritma juga membantu untuk menjelaskan frekuensi rasio interval musik, muncul dalam rumus yang menghitung bilangan prima atau hampiran faktorial, memberikan gambaran dalam psikofisika, dan dapat membantu perhitungan akuntansi forensik.

Konsep logaritma sebagai invers dari eksponensiasi juga memperluas ke struktur matematika lain. Namun pada umumnya, logaritma cenderung merupakan fungsi bernilai banyak. Sebagai contoh, logaritma kompleks merupakan invers dari fungsi eksponensial pada bilangan kompleks. Mirip contoh lain, logaritma diskret dalam grup hingga, merupakan invers fungsi eksponensial bernilai banyak yang memiliki kegunaan dalam kriptografi kunci publik.

Alasan

The graph of the logarithm base 2 crosses the x-axis at x = 1 and passes through the points (2, 1), (4, 2), and (8, 3), depicting, e.g., log₂(8) = 3 and 2³ = 8. The graph gets arbitrarily close to the y-axis, but does not meet it.

Operasi aritmetika yang paling dasar adalah penambahan, perkalian, dan eksponen. Kebalikan dari penambahan adalah pengurangan, dan kebalikan dari perkalian adalah pembagian. Mirip contoh sebelumnya, logaritma merupakan kebalikan dari operasi eksponesiasi. Eksponensiasi adalah sebuah bilangan basis b yang ketika dipangkatkan dengan y memberikan nilai x. Ini dirumuskan sebagai

$b^{y}=x.$

Sebagai contoh, 2 pangkat 3 memberikan niali 8. Secara matematis, $2^{3}=8$.

Logaritma basis b merupakan operasi ivners yang menyediakan nilai keluar y dari nilai masukan x. Dalam artian, $y=\log _{b}x$ ekuivalen dengan to $x=b^{y}$ jika b bilangan real positif. (Jika b bukanlah bilangan real positif, eksponensiasi dan logaritma dapat didefinisikan, namun memberikan beberapa nilai, sehingga definisi darinya semakin rumit.)

Salah satu alasan bersejarah utamanya dalam memperkenalkan logaritma adalah rumus

$\log _{b}(xy)=\log _{b}x+\log _{b}y,$

yang dapat mempermudah perhitungan nilai perkalian dan pembagian dengan penjumlahan, pengurangan, dan melihat tabel logaritma. Perhitungan ini ditemukan sebelum adanya penemuan komputer.