Pengguna:Dedhert.Jr/Uji halaman 01/16

Penambahan (+)
Pengurangan (−)
Perkalian (×)
Pembagian (÷), (/)
Eksponensiasi (^)
Penarikan akar (√)
Logaritma (log)

Dalam matematika, logaritma merupakan fungsi invers dari eksponensiasi. Dengan kata lain, logaritma suatu nilai $x$ merupakan eksponen dengan bilangan pokok $b$ yang dipangkatkan dengan bilangan sesuatu agar memperoleh nilai $x$ . Kasus sederhana dalam logaritma menghitung jumlah munculnya faktor yang sama dalam perkalian berulang. Sebagai contoh, $1000 = 10 \times 10 \times 10 = 10 3$ dibaca, "logaritma 1000 dengan bilangan pokok 10 sama dengan 3" atau dinotasikan sebagai $10 log (1000) = 3$ . Logaritma dari $x$ dengan bilangan pokok $b$ dilambangkan $b log x$ . Terkadang logaritma dilambangkan sebagai $log b (x)$ atau tanpa menggunakan tanda kurung. $log b x$ , atau bahkan tanpa menggunakan bilangan pokok, $log x$ .

Ada tiga bilangan pokok logaritma yang umum beserta kegunaannya. Logaritma bilangan pokok $10$ ( $b = 10$ ) disebut sebagai logaritma umum, yang biasanya dipakai dalam ilmu sains dan rekayasa. Adapun logaritma alami dengan bilangan pokok bilangan $e$ ( $b \approx 2.718$ ), yang dipakai dengan luas dalam matematika dan fisika karena dapat mempermudah perhitungan integral dan turunan. Adapula logaritma biner menggunakan bilangan pokok $2$ ( $b = 2$ ), yang seringkali dipakai dalam ilmu komputer.

Logaritma diperkenalkan oleh John Napier pada tahun 1614 sebagai alat yang menyederhanakan perhitungan.^[1] Logaritma dipakai lebih cepat dalam navigator, ilmu sains, rekayasa, ilmu ukur wilayah, dan bidang lainnya untuk lebih mempermudah perhitungan nilai yang sangat akurat. Dengan menggunakan tabel logaritma, cara yang membosankan dalam mengalikan digit yang banyak dapat digantikan dengan melihat tabel dan penjumlahan yang lebih mudah. Ini dapat dilakukan karena bahwa logaritma dari hasil kali bilangan merupakan logaritma dari jumlah faktor bilangan:

\log _{b}(xy)=\log _{b}x+\log _{b}y,

asalkan bahwa $b$ , $x$ dan $y$ bilangan positif dan $b \neq 1$ . Kaidah geser yang juga berasal dari logaritma dapat mempermudah perhitungan tanpa menggunakan tabel, namun perhitungannya kurang akurat. Leonhard Euler mengaitkan gagasan logaritma saat ini dengan fungsi eksponensial pada abad ke-18, dan juga memperkenalkan huruf $e$ sebagia bilangan pokok logaritma alami.^[2]

Skala logaritma mengurangi jumlah luas ke lingkup yang lebih kecil. Misalnya, desibel (dB) adalah satuan yang digunakan untuk menyatakan rasio sebagai logaritma, sebagian besar untuk kekuatan sinyal dan amplitudo (contoh umumnya pada tekanan suara). Dalam kimia, pH mengukur keasaman dari larutan berair melalui logaritma. Logaritma biasa dalam rumus ilmiah, dan dalam pengukuran kompleksitas algoritma dan objek geometris yang disebut fraktal. Logaritma juga membantu untuk menjelaskan frekuensi rasio interval musik, muncul dalam rumus yang menghitung bilangan prima atau hampiran faktorial, memberikan gambaran dalam psikofisika, dan dapat membantu perhitungan akuntansi forensik.

Konsep logaritma sebagai invers dari eksponensiasi juga memperluas ke struktur matematika lain. Namun pada umumnya, logaritma cenderung merupakan fungsi bernilai banyak. Sebagai contoh, logaritma kompleks merupakan invers dari fungsi eksponensial pada bilangan kompleks. Mirip contoh lain, logaritma diskret dalam grup hingga, merupakan invers fungsi eksponensial bernilai banyak yang memiliki kegunaan dalam kriptografi kunci publik.

Alasan

The graph of the logarithm base 2 crosses the x-axis at

x = 1

and passes through the points (2, 1), (4, 2), and (8, 3), depicting, e.g.,

log 2 (8) = 3

and

23 = 8

. The graph gets arbitrarily close to the

y

-axis, but does not meet it.

Operasi aritmetika yang paling dasar adalah penambahan, perkalian, dan eksponen. Kebalikan dari penambahan adalah pengurangan, dan kebalikan dari perkalian adalah pembagian. Mirip contoh sebelumnya, logaritma merupakan kebalikan dari operasi eksponesiasi. Eksponensiasi adalah sebuah bilangan bilangan pokok $b$ yang ketika dipangkatkan dengan $y$ memberikan nilai $x$ . Ini dirumuskan sebagai

b^{y}=x.

Sebagai contoh, $2$ pangkat $3$ memberikan niali $8$ . Secara matematis, $2^{3}=8$ .

Logaritma dengan bilangan pokok $b$ merupakan operasi ivners yang menyediakan nilai keluar $y$ dari nilai masukan $x$ . Dalam artian, $y=\log _{b}x$ ekuivalen dengan to $x=b^{y}$ jika $b$ bilangan real positif. (Jika $b$ bukanlah bilangan real positif, eksponensiasi dan logaritma dapat didefinisikan, namun memberikan beberapa nilai, sehingga definisi darinya semakin rumit.)

Salah satu alasan bersejarah utamanya dalam memperkenalkan logaritma adalah rumus

\log _{b}(xy)=\log _{b}x+\log _{b}y,

yang dapat mempermudah perhitungan nilai perkalian dan pembagian dengan penjumlahan, pengurangan, dan melihat tabel logaritma. Perhitungan ini ditemukan sebelum adanya penemuan komputer.

Definisi

Logarithm suatu bilangan real positif $x$ terhadap bilangan pokok $b$ ^{[nb 1]} merupakan eksponen dengan bilangan pokok $b$ yang dipangkatkan suatu bilangan agar memperoleh nilai $x$ . Dengan kata lain, logaritma bilangan pokok $b$ dari $x$ merupakan bilangan real $y$ sehingga $b^{y}=x$ .^[3] Logaritma dilambangkan sebagai $b log x$ (dibaca "logaritma $x$ dengan bilangan pokok $b$ "). Adapun definisi yang setara dan lebih ringkasnya mengatakan bahwa fungsi $b log$ invers dengan fungsi $x\mapsto b^{x}$ .

Sebagai contoh, $2 log 16 = 4$ , karena $24 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 16$ . Logaritma juga berupakan nilai negatif, sebagai contoh ${\textstyle \log _{2}\!{\frac {1}{2}}=-1}$ , karena ${\textstyle 2^{-1}={\frac {1}{2^{1}}}={\frac {1}{2}}}$ . Logaritma juga berupa nilai desimal, sebagai contoh $10 log 150$ kira-kira sama dengan 2.176, karena terletak di antara 2 dan 3, begitu pula 150 terletak antara $102 = 100$ dan $103 = 1000$ . Adapun sifat logaritma bahwa untuk setiap $b$ , $b log b = 1$ karena $b 1 = b$ , dan $b log 1 = 0$ karena $b 0 = 1$ .

Identitas logaritma

Ada beberapa rumus penting, terkadang disebut identitas logaritma, mengaitkan logaritma dengan yang lainnya.^[4]

Hasil kali, hasil bagi, pangkat, dan akar

Logaritma suatu hasil kali merupakan jumlah logaritma dari bliangan yang dikalikan dan logaritma hasil bagi dari dua bilangan merupakan selisih logaritma. Logaritma dari bilangan pangkat ke- $p$ sama dengan $p$ dikali logaritma itu sendiri dan logaritma bilangan akar ke- $p$ sama dengan logaritma dibagi dengan $p$ . Berikut adalah tabel yang memuat daftar sifat-sifat logaritma tersebut beserta conohtnya. Masing-masing identitas ini berasal dari hasil substitusi dari definisi logaritma $x=b^{\,^{b}\!\log x}$ atau $y=b^{\,^{b}\!\log y}$ pada ruas kiri.

	Rumus	Contoh
Hasil kali	${\textstyle \log _{b}(xy)=\log _{b}x+\log _{b}y}$	${\textstyle \log _{3}243=\log _{3}(9\cdot 27)=\log _{3}9+\log _{3}27=2+3=5}$
Hasil bagi	${\textstyle \log _{b}\!{\frac {x}{y}}=\log _{b}x-\log _{b}y}$	${\textstyle \log _{2}16=\log _{2}\!{\frac {64}{4}}=\log _{2}64-\log _{2}4=6-2=4}$
Pangkat	${\textstyle \log _{b}\left(x^{p}\right)=p\log _{b}x}$	${\textstyle \log _{2}64=\log _{2}\left(2^{6}\right)=6\log _{2}2=6}$
Akar	${\textstyle \log _{b}{\sqrt[{p}]{x}}={\frac {\log _{b}x}{p}}}$	${\textstyle \log _{10}{\sqrt {1000}}={\frac {1}{2}}\log _{10}1000={\frac {3}{2}}=1.5}$

Mengubah bilangan pokok

Logaritma $b log x$ dapat dihitung sebagai hasil bagi logaritma $x$ dengan logaritma $b$ terhadap bilangan pokok sembarang $k$ . Secara matematis dirumuskan sebagai:

\log _{b}x={\frac {\log _{k}x}{\log _{k}b}}.\,

Turunan dari faktor konversi antara logaritma dengan bilangan pokok sembarang

Pada identitas

x=b^{\log _{b}x}

dapat menerapkan $k log$ pada kedua ruas sehingga memperoleh

\log _{k}x=\log _{k}\left(b^{\log _{b}x}\right)=\log _{b}x\cdot \log _{k}b

.

Mencari solusi untuk $\log _{b}x$ menghasilkan persamaan:

\log _{b}x={\frac {\log _{k}x}{\log _{k}b}}

,

showing the conversion factor from given $\log _{k}$ -values to their corresponding $\log _{b}$ -values to be $(\log _{k}b)^{-1}.$

Typical scientific calculators calculate the logarithms to bases 10 and $e$ .^[5] Logarithms with respect to any base $b$ can be determined using either of these two logarithms by the previous formula:

\log _{b}x={\frac {\log _{10}x}{\log _{10}b}}={\frac {\log _{e}x}{\log _{e}b}}.

Given a number $x$ and its logarithm $y = log b x$ to an unknown base $b$ , the base is given by:

b=x^{\frac {1}{y}},

which can be seen from taking the defining equation $x=b^{\,\log _{b}x}=b^{y}$ to the power of ${\tfrac {1}{y}}.$

Referensi

^ Hobson, Ernest William (1914), John Napier and the invention of logarithms, 1614; a lecture, University of California Libraries, Cambridge : University Press
^ Remmert, Reinhold. (1991), Theory of complex functions, New York: Springer-Verlag, ISBN 0387971955, OCLC 21118309
^ Kate, S.K.; Bhapkar, H.R. (2009), Basics Of Mathematics, Pune: Technical Publications, ISBN 978-81-8431-755-8 , chapter 1
^ All statements in this section can be found in Shailesh Shirali 2002, section 4, (Douglas Downing 2003, p. 275), or Kate & Bhapkar 2009, p. 1-1, for example.
^ Bernstein, Stephen; Bernstein, Ruth (1999), Schaum's outline of theory and problems of elements of statistics. I, Descriptive statistics and probability, Schaum's outline series, New York: McGraw-Hill, ISBN 978-0-07-005023-5 , p. 21

Kesalahan pengutipan: Ditemukan tag <ref> untuk kelompok bernama "nb", tapi tidak ditemukan tag <references group="nb"/> yang berkaitan

[1] Hobson, Ernest William (1914), John Napier and the invention of logarithms, 1614; a lecture, University of California Libraries, Cambridge : University Press

[2] Remmert, Reinhold. (1991), Theory of complex functions, New York: Springer-Verlag, ISBN 0387971955, OCLC 21118309

[4] Kate, S.K.; Bhapkar, H.R. (2009), Basics Of Mathematics, Pune: Technical Publications, ISBN 978-81-8431-755-8 , chapter 1

[5] All statements in this section can be found in Shailesh Shirali 2002, section 4, (Douglas Downing 2003, p. 275), or Kate & Bhapkar 2009, p. 1-1, for example.

[6] Bernstein, Stephen; Bernstein, Ruth (1999), Schaum's outline of theory and problems of elements of statistics. I, Descriptive statistics and probability, Schaum's outline series, New York: McGraw-Hill, ISBN 978-0-07-005023-5 , p. 21

[1]

[2]

[nb 1]

[3]

[4]

[5]